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2019年内蒙古通辽市中考数学试卷 一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑） 1．（3分）（2019•通辽）的相反数是　　 A．2019 B． C． D． 2．（3分）（2019•通辽）的平方根是　　 A． B．4 C． D．2 3．（3分）（2019•通辽）2018年12月，在国家发展改革委发布《关于全力做好2019年春运工作的意见》中预测，2019年春运全国民航旅客发送量将达到7300万人次，比上一年增长，其中7300万用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 4．（3分）（2019•通辽）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是　　 A． B． C． D． 5．（3分）（2019•通辽）如图，直线经过点，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 6．（3分）（2019•通辽）一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为　　 A．48 B．24 C．24或40 D．48或80 7．（3分）（2019•通辽）如图，等边三角形内接于，若的半径为2，则图中阴影部分的面积等于　　 A． B． C． D． 8．（3分）（2019•通辽）现有以下命题： ①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等； ②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等； ③通常温度降到以下，纯净的水会结冰是随机事件； ④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 其中真命题的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（3分）（2019•通辽）关于、的二元一次方程组的解满足，则直线与双曲线在同一平面直角坐标系中大致图象是　　 A． B． C． D． 10．（3分）（2019•通辽）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①； ②； ③； ④为实数）； ⑤． 其中错误结论的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上） 11．（3分）（2019•通辽）如图，是我市6月份某7天的最高气温折线统计图，则这些最高气温的中位数是　　． 12．（3分）（2019•通辽）某机床生产一种零件，在6月6日至9日这4天中出现次品的数量如下表： 日期 6月6日 6月7日 6月8日 6月9日 次品数量（个 1 0 2 若出现次品数量的唯一众数为1，则数据1，0，2，的方差等于　　． 13．（3分）（2019•通辽）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为　　． 14．（3分）（2019•通辽）已知三个边长分别为，，的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为　　． 15．（3分）（2019•通辽）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为　　． 16．（3分）（2019•通辽）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为，则数字使分式方程无解的概率为　　． 17．（3分）（2019•通辽）如图，在边长为3的菱形中，，是边上的一点，且，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接．则长度的最小值是　　． 三、解答题（本题包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 18．（5分）（2019•通辽）计算： 19．（6分）（2019•通辽）先化简，再求值． ，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的求值． 20．（5分）（2019•通辽）两栋居民楼之间的距离，楼和均为10层，每层楼高为．上午某时刻，太阳光线与水平面的夹角为，此刻楼的影子会遮挡到楼的第几层？（参考数据：， 21．（6分）（2019•通辽）有四张反面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上． （1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是　　． （2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用、、、表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平． 22．（9分）（2019•通辽）通辽市某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的学生中，分别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查结果的部分数据如下表（图所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级最喜欢排球的人数为10人． 七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表 项目 排球 篮球 踢毽 跳绳 其他 人数（人 7 8 14 　　 6 请根据以上统计表（图解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少人？ （2）补全统计表和统计图． （3）该校有学生1800人，学校想对“最喜欢踢毽子”的学生每4人提供一个毽子，学校现有124个毽子，能否够用？请说明理由． 23．（8分）（2019•通辽）如图，内接于，是的直径，，连接交于点，延长至点，使，连接． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的长． 24．（9分）（2019•通辽）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量（本与销售单价（元之间的函数关系式及自变量的取值范围． （2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求的值． 25．（9分）（2019•通辽）如图，点是正方形内的一点，连接，将线段绕点顺时旋转，得到线段，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图，延长交直线于点． ①如图2，求证：； ②如图3，若为等边三角形，判断的形状，并说明理由． 26．（12分）（2019•通辽）已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式． （2）在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标． 2019年内蒙古通辽市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑） 1．（3分）的相反数是　　 A．2019 B． C． D． 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：的相反数是：． 故选：． 2．（3分）的平方根是　　 A． B．4 C． D．2 【分析】根据算术平方根的意义，可得16的算术平方根，再根据平方根的意义，可得答案． 【解答】解：，， 故选：． 3．（3分）2018年12月，在国家发展改革委发布《关于全力做好2019年春运工作的意见》中预测，2019年春运全国民航旅客发送量将达到7300万人次，比上一年增长，其中7300万用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：其中7300万用科学记数法表示为． 故选：． 4．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据图形、找出几何体的左视图与俯视图，判断即可． 【解答】解：、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故不符合题意； 、左视图和俯视图相同，故符合题意； 、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故不符合题意； 、左视图是一列两个小正方形，俯视图一层三个小正方形，故不符合题意； 故选：． 5．（3分）如图，直线经过点，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可． 【解答】解：观察图象知：当时，， 故选：． 6．（3分）一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为　　 A．48 B．24 C．24或40 D．48或80 【分析】利用因式分解法解方程得到，，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后计算 菱形的面积． 【解答】解：， 所以，， 菱形一条对角线长为8， 菱形的边长为5， 菱形的另一条对角线为， 菱形的面积． 故选：． 7．（3分）如图，等边三角形内接于，若的半径为2，则图中阴影部分的面积等于　　 A． B． C． D． 【分析】连接，如图，利用等边三角形的性质得，，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算． 【解答】解：连接，如图， 为等边三角形， ，， 图中阴影部分的面积． 故选：． 8．（3分）现有以下命题： ①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等； ②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等； ③通常温度降到以下，纯净的水会结冰是随机事件； ④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 其中真命题的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分别利用全等三角形的性质、平移的性质、随机事件等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题； ②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等或在同一直线上，错误，是假命题； ③通常温度降到以下，纯净的水会结冰是必然事件，故错误，是假命题； ④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题； 真命题有2个， 故选：． 9．（3分）关于、的二元一次方程组的解满足，则直线与双曲线在同一平面直角坐标系中大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】关于、的二元一次方程组的解满足确定的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定图象即可． 【解答】解：元一次方程组中第二个方程减去第一个方程得：， 关于、的二元一次方程组的解满足， ， ， 即：， 经过一三四象限，双曲线的两个分支位于一三象限，选项符合， 故选：． 10．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①； ②； ③； ④为实数）； ⑤． 其中错误结论的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由抛物线可知：，， 对称轴， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于的对称点为， 时，，故③正确； ④当时，的最小值为， 时，， ， 即，故④错误； ⑤抛物线与轴有两个交点， △， 即， ，故⑤正确； 故选：． 二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上） 11．（3分）如图，是我市6月份某7天的最高气温折线统计图，则这些最高气温的中位数是　27　． 【分析】先找出这7天的最高气温，然后根据中位数的概念求解． 【解答】解：根据7天的最高气温折线统计图，将这7天的最高气温按大小排列为：24，25，26，27，28，28，29，故中位数为， 故答案为27． 12．（3分）某机床生产一种零件，在6月6日至9日这4天中出现次品的数量如下表： 日期 6月6日 6月7日 6月8日 6月9日 次品数量（个 1 0 2 若出现次品数量的唯一众数为1，则数据1，0，2，的方差等于　　． 【分析】求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 【解答】解：出现次品数量的唯一众数为1， ， ， ， 故答案为． 13．（3分）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为　　． 【分析】由矩形的性质可得，可证，可得，由勾股定理可求的长． 【解答】解：四边形是矩形 ， 平分 ，且，， ，且 ， ， ， ， 故答案为：． 14．（3分）已知三个边长分别为，，的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为　　． 【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可． 【解答】解：对角线所分得的三个三角形相似， 根据相似的性质可知， 解得， 即阴影梯形的上底就是． 再根据相似的性质可知， 解得：， 所以梯形的下底就是， 所以阴影梯形的面积是． 故答案为：． 15．（3分）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为　6或或　． 【分析】根据不同边上的高为4分类讨论即可得到本题的答案． 【解答】解：①如图1 当，， 则， 底边长为6； ②如图2． 当，时， 则， ， ， 此时底边长为； ③如图 当，时， 则， ， ， 此时底边长为． 故答案为：6或或． 16．（3分）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为，则数字使分式方程无解的概率为　　． 【分析】由分式方程，得或时，分式方程无解，时，，时，，所以在1，2，3，4，5取一个数字使分式方程无解的概率为． 【解答】解：由分式方程，得 或时，分式方程无解， 时，， 时，， 所以在1，2，3，4，5取一个数字使分式方程无解的概率为． 17．（3分）如图，在边长为3的菱形中，，是边上的一点，且，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接．则长度的最小值是　　． 【分析】过点作，由勾股定理可求的长，由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，则当点在线段上时，长度有最小值． 【解答】解：过点作交延长线于点，连接， ， ， ， ， 将沿所在直线翻折得到△， ， 点在以为圆心，为半径的圆上， 当点在线段上时，长度有最小值 长度的最小值 故答案为： 三、解答题（本题包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 18．（5分）计算： 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式 ． 19．（6分）先化简，再求值． ，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的求值． 【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后由不等式组，可以求得的取值范围，再从中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解： ， 由不等式组，得， 当时，原式． 20．（5分）两栋居民楼之间的距离，楼和均为10层，每层楼高为．上午某时刻，太阳光线与水平面的夹角为，此刻楼的影子会遮挡到楼的第几层？（参考数据：， 【分析】设太阳光线交于点，过作于，解，求出，那么，由，可得此刻楼的影子会遮挡到楼的第5层． 【解答】解：设太阳光线交于点，过作于， 由题意知，，，， 在中，， ， ， ，所以在四层的上面，即第五层， 答：此刻楼的影子会遮挡到楼的第5层． 21．（6分）有四张反面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上． （1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是　　． （2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用、、、表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平． 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可． （2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出概率；得出游戏不公平；关键概率相等修改即可． 【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种， 从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是； 故答案为：； （2）游戏不公平，理由如下： 列表得： 共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即，， （两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）， 游戏不公平． 修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜． 22．（9分）通辽市某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的学生中，分别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查结果的部分数据如下表（图所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级最喜欢排球的人数为10人． 七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表 项目 排球 篮球 踢毽 跳绳 其他 人数（人 7 8 14 　15　 6 请根据以上统计表（图解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少人？ （2）补全统计表和统计图． （3）该校有学生1800人，学校想对“最喜欢踢毽子”的学生每4人提供一个毽子，学校现有124个毽子，能否够用？请说明理由． 【分析】（1）从九年级最喜欢运动的项目统计图中得知，九年级最喜欢排球的人数占总数的百分数，又知九年级最喜欢排球的人数为10人，所以求出九年级最喜欢运动的人数，再由七、八、九年级的学生中，分别抽取相同数量的学生，得出本次调查共抽取的学生数； （2）先根据（1）得七年级最喜欢跳绳的人数，从而能求出八、九年级最喜欢跳绳的人数，然后求出最喜欢跳绳的学生数，补全统计表和统计图即可； （3）根据题意列式计算即可得到结论． 【解答】解：（1）从九年级最喜欢运动的项目统计图中得知，九年级最喜欢排球的人数占总数的百分比为：， 又知九年级最喜欢排球的人数为10人， 九年级最喜欢运动的人数有（人， 本次调查抽取的学生数为：（人． （2）根据（1）得七年级最喜欢跳绳的人数有人， 那么八年级最喜欢跳绳的人数有人， 最喜欢踢毽的学生有人， 九年级最喜欢排球的人数占全年级的百分比， 补全统计表和统计图如图所示； 七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表 项目 排球 篮球 踢毽 跳绳 其他 人数（人 7 8 14 15 6 （3）不够用，理由：， ， 不够用． 故答案为：15． 23．（8分）如图，内接于，是的直径，，连接交于点，延长至点，使，连接． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，，得到，等量代换得到，求得，于是得到结论； （2）过点作，根据三角函数的定义得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）直线是的切线，理由是：连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又点在上， 直线是的切线； （2）过点作， ， ， ， 设，则， 在中，根据勾股定理，， ， 解得， ， ， ． 24．（9分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量（本与销售单价（元之间的函数关系式及自变量的取值范围． （2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求的值． 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为元．根据题意得到求得对称轴为，若，则，则当时，取得最大值，解方程得到，，于是得到． 【解答】解：（1）根据题意得，； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为元． 对称轴为，且，则， 则当时，取得最大值， ，（不合题意舍去）， ． 25．（9分）如图，点是正方形内的一点，连接，将线段绕点顺时旋转，得到线段，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图，延长交直线于点． ①如图2，求证：； ②如图3，若为等边三角形，判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据旋转的性质证明，得到； （2）①根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案； ②根据等边三角形的性质和旋转的性质求出，，判断的形状． 【解答】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）①如图，， ，又， ， ； ②为等边三角形， ， ，又， ，又，， ， 同理：， 为等腰直角三角形． 26．（12分）已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式． （2）在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标． 【分析】（1）二次函数表达式为：，即可求解； （2），则，即可求解； （3）分是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）二次函数表达式为：， 将点的坐标代入上式并解得：， 故抛物线的表达式为：①， 则点， 将点、的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线的表达式为：； （2）存在，理由： 二次函数对称轴为：，则点， 过点作轴的平行线交于点， 设点，点， ， 则， 解得：或5（舍去， 故点； （3）设点、点，， ①当是平行四边形的一条边时， 点向左平移4个单位向下平移16个单位得到， 同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点， 即：，，而， 解得：或， 故点或； ②当是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：，，而， 解得：， 故点，或，； 综上，点或或，或，． 第30页（共30页）