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2019年吉林省中考数学试卷 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1．（2分）（2019•吉林）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为　　 A．3 B．2 C．1 D． 2．（2分）（2019•吉林）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为　　 A． B． C． D． 3．（2分）（2019•吉林）若为实数，则下列各式的运算结果比小的是　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2019•吉林）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2019•吉林）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2019•吉林）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，、两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是　　 A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 二、填空题（每小题3分，共24分） 7．（3分）（2019•吉林）分解因式：　 　． 8．（3分）（2019•吉林）不等式的解是　 　． 9．（3分）（2019•吉林）计算：　　． 10．（3分）（2019•吉林）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为　　（写出一个即可）． 11．（3分）（2019•吉林）如图，为边延长线上一点，过点作．若，，则　　． 12．（3分）（2019•吉林）如图，在四边形中，，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为　　． 13．（3分）（2019•吉林）在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为　　． 14．（3分）（2019•吉林）如图，在扇形中，．，分别是半径，上的点，以，为邻边的的顶点在上．若，，则阴影部分图形的面积是　　（结果保留． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15．（5分）（2019•吉林）先化简，再求值：，其中． 16．（5分）（2019•吉林）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率． 17．（5分）（2019•吉林）已知是的反比例函数，并且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值． 18．（5分）（2019•吉林）如图，在中，点在边上，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接、．求证：． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19．（7分）（2019•吉林）图①，图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段，在图②中已画出线段，其中、、、均为格点，按下列要求画图： （1）在图①中，以为对角线画一个菱形，且，为格点； （2）在图②中，以为对角线画一个对边不相等的四边形，且，为格点，． 20．（7分）（2019•吉林）问题解决 糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？ 反思归纳 现有根竹签，个山楂．若每根竹签串个山楂，还剩余个山楂，则下列等式成立的是　　（填写序号）． （1）；（2）；（3）． 21．（7分）（2019•吉林）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座与地面的距离为，花洒的长为，与墙壁的夹角为．求花洒顶端到地面的距离（结果精确到．（参考数据：，， 22．（7分）（2019•吉林）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”． （1）该机构设计了以下三种调查方案： 方案一：随机抽取部分城区居民进行调查； 方案二：随机抽取部分农村居民进行调查； 方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查． 其中最具有代表性的一个方案是　　； （2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题： ①这次接受调查的居民人数为　　人； ②统计图中人数最多的选项为　　； ③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23．（8分）（2019•吉林）甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到地，乙车立即以原速原路返回到地．甲、乙两车距地的路程与各自行驶的时间之间的关系如图所示． （1）　　，　　； （2）求乙车距地的路程关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当甲车到达地时，求乙车距地的路程． 24．（8分）（2019•吉林）性质探究 如图①，在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为　　． 理解运用 （1）若顶角为的等腰三角形的周长为，则它的面积为　　； （2）如图②，在四边形中，． ①求证：； ②在边，上分别取中点，，连接．若，，直接写出线段的长． 类比拓展 顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　（用含的式子表示）． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25．（10分）（2019•吉林）如图，在矩形中，，，为边上一点，，连接．动点、从点同时出发，点以的速度沿向终点运动；点以的速度沿折线向终点运动．设点运动的时间为，在运动过程中，点，点经过的路线与线段围成的图形面积为． （1）　　，　　； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当时，直接写出的值． 26．（10分）（2019•吉林）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且． （1）求此抛物线的解析式； （2）当点位于轴下方时，求面积的最大值； （3）设此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②当时，直接写出的面积． 2019年吉林省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为　　 A．3 B．2 C．1 D． 【分析】直接利用数轴得出结果即可． 【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为， 故选：． 2．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为　　 A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示： 故选：． 3．（2分）若为实数，则下列各式的运算结果比小的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小于本身，减去一个负数大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比较便可． 【解答】解：．，选项错误； ．，选项正确； ．，选项错误； ．，选项错误； 故选：． 4．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为　　 A． B． C． D． 【分析】根据图形的对称性，用除以3计算即可得解． 【解答】解：， 旋转的角度是的整数倍， 旋转的角度至少是． 故选：． 5．（2分）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出的度数，进而由角的和差求得结果． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，、两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是　　 A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案． 【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程． 故选：． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7．（3分）分解因式：　　． 【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：． 【解答】解：． 故答案为：． 8．（3分）不等式的解是　　． 【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变． 【解答】解：， ， ， 原不等式的解集为：． 故答案为． 9．（3分）计算：　　． 【分析】根据分式乘除法的法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 10．（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为　5（答案不唯一，只有即可）　（写出一个即可）． 【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△，由此可以得到关于的不等式，解不等式就可以求出的取值范围． 【解答】解：一元二次方程化为， △， 解上式得． 故答为5（答案不唯一，只有即可）． 11．（3分）如图，为边延长线上一点，过点作．若，，则　60　． 【分析】利用平行线的性质，即可得到，再根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 【解答】解：， ， 又， 中，， 故答案为：60． 12．（3分）如图，在四边形中，，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为　20　． 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到，再根据折叠的性质，即可得到四边形的周长为． 【解答】解：，点是的中点， ， 由折叠可得，，， 四边形的周长为， 故答案为：20． 13．（3分）在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为　54　． 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论． 【解答】解：设这栋楼的高度为， 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为， ，解得． 故答案为：54． 14．（3分）如图，在扇形中，．，分别是半径，上的点，以，为邻边的的顶点在上．若，，则阴影部分图形的面积是　　（结果保留． 【分析】连接，根据同样只统计得到是矩形，由矩形的性质得到．根据勾股定理得到，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接， ，四边形是平行四边形， 是矩形， ． ，， ， 阴影部分图形的面积． 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15．（5分）先化简，再求值：，其中． 【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式， 当时，原式． 16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率． 【分析】画出树状图，共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能，由概率公式即可得出结果． 【解答】解：画树状图如下： 共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果， 则取出的扇子和手绢都是红色的概率为． 17．（5分）已知是的反比例函数，并且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值． 【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）直接利用代入求出答案． 【解答】解：（1）是的反例函数， 所以，设， 当时，． 所以，， 所以，； （2）当时，． 18．（5分）如图，在中，点在边上，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接、．求证：． 【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案． 【解答】证明：由题意可得：， 在平行四边形中，， 在和中，， 所以，． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19．（7分）图①，图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段，在图②中已画出线段，其中、、、均为格点，按下列要求画图： （1）在图①中，以为对角线画一个菱形，且，为格点； （2）在图②中，以为对角线画一个对边不相等的四边形，且，为格点，． 【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）． （2）利用数形结合的思想解决问题即可． 【解答】解：（1）如图，菱形即为所求． （2）如图，四边形即为所求． 20．（7分）问题解决 糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？ 反思归纳 现有根竹签，个山楂．若每根竹签串个山楂，还剩余个山楂，则下列等式成立的是　（2）　（填写序号）． （1）；（2）；（3）． 【分析】问题解决 设竹签有根，山楂有个，由题意得出方程组：，解方程组即可； 反思归纳 由每根竹签串个山楂，还剩余个山楂，得出即可． 【解答】问题解决 解：设竹签有根，山楂有个， 由题意得：， 解得：， 答：竹签有20根，山楂有104个； 反思归纳 解：每根竹签串个山楂，还剩余个山楂， 则， 故答案为：（2）． 21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座与地面的距离为，花洒的长为，与墙壁的夹角为．求花洒顶端到地面的距离（结果精确到．（参考数据：，， 【分析】过作于，于是得到，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过作于， 则， 在中，，， ， ， ， 答：花洒顶端到地面的距离为． 22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”． （1）该机构设计了以下三种调查方案： 方案一：随机抽取部分城区居民进行调查； 方案二：随机抽取部分农村居民进行调查； 方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查． 其中最具有代表性的一个方案是　方案三　； （2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题： ①这次接受调查的居民人数为　　人； ②统计图中人数最多的选项为　　； ③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数． 【分析】（1）根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可； （2）①把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可； ②从统计图中找出人数最多的选项即可； ③用该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人数所占的百分比即可得到结论． 【解答】解：（1）最具有代表性的一个方案是方案三， 故答案为：方案三； （2）①这次接受调查的居民人数为人； ②统计图中人数最多的选项为手机； ③万人， 答：该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数52.8万人． 故答案为：1000，手机． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23．（8分）甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到地，乙车立即以原速原路返回到地．甲、乙两车距地的路程与各自行驶的时间之间的关系如图所示． （1）　4　，　　； （2）求乙车距地的路程关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当甲车到达地时，求乙车距地的路程． 【分析】（1）观察图象即可解决问题； （2）运用待定系数法解得即可； （3）把代入（2）的结论即可． 【解答】解：（1）根据题意可得，； 故答案为：4；120； （2）设关于的函数解析式为， 因为图象经过， 所以， 解得， 所以关于的函数解析式为， 设关于的函数解析式为， 因为图象经过，两点， 所以， 解得， 所以关于的函数解析式为； （3）当时，． 所以当甲车到达地时，乙车距地的路程为． 24．（8分）性质探究 如图①，在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为　　． 理解运用 （1）若顶角为的等腰三角形的周长为，则它的面积为　　； （2）如图②，在四边形中，． ①求证：； ②在边，上分别取中点，，连接．若，，直接写出线段的长． 类比拓展 顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　（用含的式子表示）． 【分析】性质探究 作于，则，由等腰三角形的性质得出，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出结果； 理解运用 （1）同上得出则，，由等腰三角形的周长得出，解得：，得出，由三角形面积公式即可得出结果； （2）①由等腰三角形的性质得出，，得出即可； ②连接，作于，由等腰三角形的性质得出，由①得：，由四边形内角和定理求出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形的性质得出，，得出，证明是的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果； 类比拓展 作于，由等腰三角形的性质得出，，由三角函数得出，得出，即可得出结果． 【解答】性质探究 解：作于，如图①所示： 则， ，， ，， ，， ， ； 故答案为：； 理解运用 （1）解：如图①所示： 同上得：，， ， ， 解得：， ， 的面积； 故答案为： （2）①证明：， ，， ； ②解：连接，作于，如图②所示： 则，由①得：， ， ， ， ， ， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ； 类比拓展 解：如图③所示：作于， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25．（10分）如图，在矩形中，，，为边上一点，，连接．动点、从点同时出发，点以的速度沿向终点运动；点以的速度沿折线向终点运动．设点运动的时间为，在运动过程中，点，点经过的路线与线段围成的图形面积为． （1）　　，　　； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当时，直接写出的值． 【分析】（1）由勾股定理可求的长，由等腰三角形的性质可求的度数； （2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解； （3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解． 【解答】解：（1），， ， 故答案为：，45 （2）当时，如图，过点作， ，， ， ， （2）当时，如图，过点作， ， ， 当时，如图，点与点重合． ， （3）当时 ， 当时，过点作 四边形是矩形 ，， ， △ 方程无解 当时， ， ， 综上所述：或 26．（10分）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且． （1）求此抛物线的解析式； （2）当点位于轴下方时，求面积的最大值； （3）设此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②当时，直接写出的面积． 【分析】（1）将点代入即可； （2）易求，，抛物线顶点为，当位于抛物线顶点时，的面积有最大值； （3）①当时，；当时，；当时，； ②当时若，此时△，无解；若，则，则，的面积； 【解答】解：（1）将点代入， 得， ； （2）令，或， ，， ； 抛物线顶点为， 当位于抛物线顶点时，的面积有最大值， ； （3）①当时，； 当时，； 当时，； ②当时 若，此时△，无解； 若，则， ， ，， 的面积； 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/10 10:09:00；用户：数学；邮箱：85886818-2@；学号：27755521 第27页（共27页）