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2019年浙江省宁波市中考数学试卷 一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（4分）（2019•宁波）的绝对值是　　 A． B． C．2 D． 2．（4分）（2019•宁波）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 3．（4分）（2019•宁波）宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资为1526000000元人民币．数1526000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 4．（4分）（2019•宁波）若分式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．（4分）（2019•宁波）如图，下列关于物体的主视图画法正确的是　　 A． B． C． D． 6．（4分）（2019•宁波）不等式的解为　　 A． B． C． D． 7．（4分）（2019•宁波）能说明命题“关于的方程一定有实数根”是假命题的反例为　　 A． B． C． D． 8．（4分）（2019•宁波）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克如表所示： 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 2.1 1.9 2 1.9 今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．（4分）（2019•宁波）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（4分）（2019•宁波）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为　　 A． B． C． D． 11．（4分）（2019•宁波）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下　　 A．31元 B．30元 C．25元 D．19元 12．（4分）（2019•宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出　　 A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 二、填空题（每小题4分，共24分） 13．（4分）（2019•宁波）写出一个小于4的无理数　 　． 14．（4分）（2019•宁波）分解因式：　 　． 15．（4分）（2019•宁波）袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个白球．从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为　　． 16．（4分）（2019•宁波）如图，某海防哨所发现在它的西北方向，距离哨所400米的处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东方向的处，则此时这艘船与哨所的距离约为　　米．（精确到1米，参考数据：， 17．（4分）（2019•宁波）如图，中，，，点在边上，，．点是线段上一动点，当半径为6的与的一边相切时，的长为　　． 18．（4分）（2019•宁波）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点．为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结．若，的面积为8，则的值为　　． 三、解答题（本大题有8小题，共78分） 19．（6分）（2019•宁波）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）（2019•宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 21．（8分）（2019•宁波）今年5月15日，亚洲文明对话大会在北京开幕．为了增进学生对亚洲文化的了解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动．为了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取100名学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为整数），并根据这100人的测试成绩，制作了如下统计图表． 100名学生知识测试成绩的频数表 成绩（分 频数（人 10 15 40 15 由图表中给出的信息回答下列问题： （1）　　，并补全频数直方图； （2）小明在这次测试中成绩为85分，你认为85分一定是这100名学生知识测试成绩的中位数吗？请简要说明理由； （3）如果80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数． 22．（10分）（2019•宁波）如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求的值和图象的顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上． ①当时，求的值； ②若点到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围． 23．（10分）（2019•宁波）如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上． （1）求证：； （2）若为中点，，求菱形的周长． 24．（10分）（2019•宁波）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程（米与时间（分的函数关系如图2所示． （1）求第一班车离入口处的路程（米与时间（分的函数表达式． （2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间． （3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变） 25．（12分）（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． （1）如图1，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点． 求证：四边形是邻余四边形． （2）如图2，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上． （3）如图3，在（1）的条件下，取中点，连结并延长交于点，延长交于点．若为的中点，，，求邻余线的长． 26．（14分）（2019•宁波）如图1，经过等边的顶点，（圆心在内），分别与，的延长线交于点，，连结，交于点． （1）求证：． （2）当，时，求的长． （3）设，． ①求关于的函数表达式； ②如图2，连结，，若的面积是面积的10倍，求的值． 2019年浙江省宁波市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（4分）的绝对值是　　 A． B． C．2 D． 【考点】15：绝对值 【分析】根据绝对值的意义求出即可． 【解答】解：的绝对值为2， 故选：． 2．（4分）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【考点】47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法；35：合并同类项 【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可． 【解答】解：、与不是同类项，故不能合并，故选项不合题意； 、故选项不合题意； 、，故选项不合题意； 、，故选项符合题意． 故选：． 3．（4分）宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资为1526000000元人民币．数1526000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【考点】：科学记数法表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：数字1526000000科学记数法可表示为元． 故选：． 4．（4分）若分式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【考点】62：分式有意义的条件 【分析】分式有意义时，分母，由此求得的取值范围． 【解答】解：依题意得：， 解得． 故选：． 5．（4分）如图，下列关于物体的主视图画法正确的是　　 A． B． C． D． 【考点】：简单组合体的三视图 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，进而得出答案． 【解答】解：物体的主视图画法正确的是：． 故选：． 6．（4分）不等式的解为　　 A． B． C． D． 【考点】：解一元一次不等式 【分析】去分母、移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 7．（4分）能说明命题“关于的方程一定有实数根”是假命题的反例为　　 A． B． C． D． 【考点】：命题与定理 【分析】利用使方程没有实数解，从而可把作为说明命题“关于的方程一定有实数根”是假命题的反例． 【解答】解：当时，方程变形为， 因为△， 所以方程没有实数解， 所以可作为说明命题“关于的方程一定有实数根”是假命题的反例． 故选：． 8．（4分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克如表所示： 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 2.1 1.9 2 1.9 今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】：算术平均数；：方差 【分析】先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定． 【解答】解：因为甲组、乙组的平均数丙组、丁组大， 而乙组的方差比甲组的小， 所以乙组的产量比较稳定， 所以乙组的产量既高又稳定， 故选：． 9．（4分）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【考点】：等腰直角三角形；：平行线的性质 【分析】先求出，再根据平行线的性质可知． 【解答】解：设与直线交于点， 则． 又直线， ． 故选：． 10．（4分）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为　　 A． B． C． D． 【考点】：矩形的性质；：圆锥的计算 【分析】设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可． 【解答】解：设，则， 根据题意，得， 解得． 故选：． 11．（4分）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下　　 A．31元 B．30元 C．25元 D．19元 【考点】95：二元一次方程的应用 【分析】设每支玫瑰元，每支百合元，根据总价单价数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于，的二元一次方程，整理后可得出，再将其代入中即可求出结论． 【解答】解：设每支玫瑰元，每支百合元， 依题意，得：， ， ． 故选：． 12．（4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出　　 A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 【考点】：勾股定理 【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可． 【解答】解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为， 由勾股定理得，， 阴影部分的面积， 较小两个正方形重叠部分的长，宽， 则较小两个正方形重叠部分底面积， 知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选：． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13．（4分）写出一个小于4的无理数　　． 【考点】：估算无理数的大小 【分析】由于，则． 【解答】解：， ， 即为小于4的无理数． 故答案为． 14．（4分）分解因式：　　． 【考点】53：因式分解提公因式法 【分析】直接提取公因式即可． 【解答】解：． 15．（4分）袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个白球．从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为　　． 【考点】：概率公式 【分析】直接利用概率公式求解． 【解答】解：从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率． 故答案为． 16．（4分）如图，某海防哨所发现在它的西北方向，距离哨所400米的处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东方向的处，则此时这艘船与哨所的距离约为　283　米．（精确到1米，参考数据：， 【考点】：解直角三角形的应用方向角问题 【分析】通过解直角求得的长度，然后通过解直角求得的长度即可． 【解答】解：如图，设线段交轴于， 在直角中，，则． 米， （米． 在直角中，，米， （米 故答案是：283． 17．（4分）如图，中，，，点在边上，，．点是线段上一动点，当半径为6的与的一边相切时，的长为　6.5或　． 【考点】：切线的判定与性质 【分析】根据勾股定理得到，，当于相切时，点到的距离，过作于，则，当于相切时，点到的距离，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：在中，，，， ， 在中，，，， ， 当于相切时，点到的距离， 过作于， 则， ， ， ， ， ， ， ， ； 当于相切时，点到的距离， 过作于， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 半径为6的不与的边相切， 综上所述，的长为6.5或， 故答案为：6.5或． 18．（4分）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点．为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结．若，的面积为8，则的值为　6　． 【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】连接，，过点作轴，过点作轴，过点作；由经过原点，则与关于原点对称，再由，为的平分线， 可得，进而可得；设点，由已知条件，，可得，则点，证明，得到，所以；即可求解； 【解答】解：连接，，过点作轴，过点作轴，过点作， 过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， 与关于原点对称， 是的中点， ， ， ， 为的平分线， ， ， ， ，的面积为8， ， 设点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； 故答案为6； 三、解答题（本大题有8小题，共78分） 19．（6分）先化简，再求值：，其中． 【考点】：整式的混合运算化简求值 【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的法则把原式化简，代入计算即可． 【解答】解： ， 当时，原式． 20．（8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【考点】：等边三角形的判定与性质；：利用轴对称设计图案；：利用旋转设计图案 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案； （2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案． 【解答】解：（1）如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形； （2）如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 21．（8分）今年5月15日，亚洲文明对话大会在北京开幕．为了增进学生对亚洲文化的了解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动．为了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取100名学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为整数），并根据这100人的测试成绩，制作了如下统计图表． 100名学生知识测试成绩的频数表 成绩（分 频数（人 10 15 40 15 由图表中给出的信息回答下列问题： （1）　20　，并补全频数直方图； （2）小明在这次测试中成绩为85分，你认为85分一定是这100名学生知识测试成绩的中位数吗？请简要说明理由； （3）如果80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数． 【考点】：用样本估计总体；：中位数；：频数（率分布直方图；：频数（率分布表 【分析】（1）由总人数为100可得的值，从而补全图形； （2）根据中位数的定义判断即可得； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【解答】解：（1）， 补全图形如下： 故答案为：20； （2）不一定是， 理由：将100名学生知识测试成绩从小到大排列，第50、51名的成绩都在分数段中， 当他们的平均数不一定是85分； （3）估计全校1200名学生中成绩优秀的人数为（人． 22．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求的值和图象的顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上． ①当时，求的值； ②若点到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围． 【考点】：二次函数的性质；：二次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）把点代入中，即可求出； （2）①把代入解析式即可求的值； ②由点到轴的距离小于2，可得，在此范围内求即可； 【解答】解：（1）把点代入中， ， ， 顶点坐标为； （2）①当时，， ②点到轴的距离小于2， ， ， ； 23．（10分）如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上． （1）求证：； （2）若为中点，，求菱形的周长． 【考点】：全等三角形的判定与性质；：菱形的性质；：矩形的性质 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，得到，求得，根据菱形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）连接，根据菱形的性质得到，，求得，，得到四边形是平行四边形，得到，于是得到结论． 【解答】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ； （2）连接， 四边形是菱形， ，， 为中点， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 菱形的周长． 24．（10分）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程（米与时间（分的函数关系如图2所示． （1）求第一班车离入口处的路程（米与时间（分的函数表达式． （2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间． （3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变） 【考点】：一次函数的应用 【分析】（1）设，运用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）的结论即可； （3）设小聪坐上了第班车，，解得，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，可设函数表达式为：， 把，代入，得，解得， 第一班车离入口处的路程（米与时间（分的函数表达为； （2）把代入，解得， （分， 第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟； （3）设小聪坐上了第班车，则 ，解得， 小聪坐上了第5班车， 等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：（分， 步行所需时间：（分， （分， 比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟． 25．（12分）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． （1）如图1，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点． 求证：四边形是邻余四边形． （2）如图2，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上． （3）如图3，在（1）的条件下，取中点，连结并延长交于点，延长交于点．若为的中点，，，求邻余线的长． 【考点】：四边形综合题 【分析】（1），是的角平分线，又，则，则与互余，即可求解； （2）如图所示（答案不唯一），四边形为所求； （3）证明，即可求解． 【解答】解：（1），是的角平分线， ，，， 与互余， 四边形是邻余四边形； （2）如图所示（答案不唯一）， 四边形为所求； （3），是的角平分线， ， ， ， ， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 26．（14分）如图1，经过等边的顶点，（圆心在内），分别与，的延长线交于点，，连结，交于点． （1）求证：． （2）当，时，求的长． （3）设，． ①求关于的函数表达式； ②如图2，连结，，若的面积是面积的10倍，求的值． 【考点】：圆的综合题 【分析】（1）根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可； （2）过点作于点，根据等边三角形的性质和勾股定理解得即可； （3）①过点作于点，根据三角函数和函数解析式解得即可； ②过点作于点，根据相似三角形的判定和性质解答即可． 【解答】证明：（1）是等边三角形， ， ，， ， ； （2）如图1，过点作于点， 是等边三角形，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，； （3）①如图1，过点作于点， ， 在中，， ，， ， ， ， ， 在中，， ； ②如图2，过点作于点， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， 的面积， 的面积是的面积的10倍， ， ， 解得：， ， 第31页（共31页）