2019年广东省广州市中考数学试卷.doc

2019年广东省广州市中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2019•广州）|﹣6|＝（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣ D． 2．（3分）（2019•广州）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（　　） A．5 B．5.2 C．6 D．6.4 3．（3分）（2019•广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　） A．75m B．50m C．30m D．12m 4．（3分）（2019•广州）下列运算正确的是（　　） A．﹣3﹣2＝﹣1 B．3×（﹣）2＝﹣ C．x3•x5＝x15 D．•＝a 5．（3分）（2019•广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 6．（3分）（2019•广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 7．（3分）（2019•广州）如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　） A．EH＝HG B．四边形EFGH是平行四边形 C．AC⊥BD D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍 8．（3分）（2019•广州）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3 9．（3分）（2019•广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（　　） A．4 B．4 C．10 D．8 10．（3分）（2019•广州）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（　　） A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）（2019•广州）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是　 　cm． 12．（3分）（2019•广州）代数式有意义时，x应满足的条件是　 　． 13．（3分）（2019•广州）分解因式：x2y+2xy+y＝　 　． 14．（3分）（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为　 　． 15．（3分）（2019•广州）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为　 　．（结果保留π） 16．（3分）（2019•广州）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论： ①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2． 其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（共9小题，满分102分） 17．（9分）（2019•广州）解方程组：． 18．（9分）（2019•广州）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE． 19．（10分）（2019•广州）已知P＝﹣（a≠±b） （1）化简P； （2）若点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上，求P的值． 20．（10分）（2019•广州）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 频数分布表 组别 时间/小时 频数/人数 A组 0≤t＜1 2 B组 1≤t＜2 m C组 2≤t＜3 10 D组 3≤t＜4 12 E组 4≤t＜5 7 F组 t≥5 4 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）求频数分布表中m的值； （2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图； （3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生． 21．（12分）（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座． （1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？ （2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率． 22．（12分）（2019•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点． （1）求m，n的值与点A的坐标； （2）求证：△CPD∽△AEO； （3）求sin∠CDB的值． 23．（12分）（2019•广州）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC． （1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长． 24．（14分）（2019•广州）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE． （1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB； （2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当B，F，E三点共线时．求AE的长． 25．（14分）（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点． （1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）； （2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围． 2019年广东省广州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2019•广州）|﹣6|＝（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣ D． 【考点】绝对值．菁优网版权所有 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 【解答】解：﹣6的绝对值是|﹣6|＝6． 故选：B． 2．（3分）（2019•广州）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（　　） A．5 B．5.2 C．6 D．6.4 【考点】众数．菁优网版权所有 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【解答】解：5出现的次数最多，是5次，所以这组数据的众数为5 故选：A． 3．（3分）（2019•广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　） A．75m B．50m C．30m D．12m 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有 【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决． 【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m， ∴tan∠BAC＝， 解得，AC＝75， 故选：A． 4．（3分）（2019•广州）下列运算正确的是（　　） A．﹣3﹣2＝﹣1 B．3×（﹣）2＝﹣ C．x3•x5＝x15 D．•＝a 【考点】实数的运算；同底数幂的乘法．菁优网版权所有 【分析】直接利用有理数混合运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案． 【解答】解：A、﹣3﹣2＝﹣5，故此选项错误； B、3×（﹣）2＝，故此选项错误； C、x3•x5＝x8，故此选项错误； D、•＝a，正确． 故选：D． 5．（3分）（2019•广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【考点】切线的性质．菁优网版权所有 【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案． 【解答】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2， ∴d＞r， ∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外， ∵过圆外一点可以作圆的2条切线， 故选：C． 6．（3分）（2019•广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有 【分析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可． 【解答】解：设甲每小时做x个零件，可得：， 故选：D． 7．（3分）（2019•广州）如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　） A．EH＝HG B．四边形EFGH是平行四边形 C．AC⊥BD D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍 【考点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有 【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决． 【解答】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝4， ∴EH＝AD＝2，HG＝AB＝1， ∴EH≠HG，故选项A错误； ∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点， ∴EH＝， ∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确； 由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误； ∵点E、F分别为OA和OB的中点， ∴EF＝，EF∥AB， ∴△OEF∽△OAB， ∴， 即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误， 故选：B． 8．（3分）（2019•广州）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论． 【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上， ∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2， 又∵﹣6＜2＜3， ∴y1＜y3＜y2． 故选：C． 9．（3分）（2019•广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（　　） A．4 B．4 C．10 D．8 【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．菁优网版权所有 【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝＝4，再由勾股定理求出AC即可． 【解答】解：连接AE，如图： ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC，AE＝CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE， 在△AOF和△COE中，， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE＝5， ∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8， ∴AB＝＝＝4， ∴AC＝＝＝4； 故选：A． 10．（3分）（2019•广州）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（　　） A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2 【考点】根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有 【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2． ∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3， ∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3， 解得：k＝±2． ∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根， ∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0， 解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1， ∴k＝2． 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）（2019•广州）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是　5　cm． 【考点】点到直线的距离．菁优网版权所有 【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案． 【解答】解：∵PB⊥l，PB＝5cm， ∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm， 故答案为：5． 12．（3分）（2019•广州）代数式有意义时，x应满足的条件是　x＞8　． 【考点】62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有 【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围． 【解答】解：代数式有意义时， x﹣8＞0， 解得：x＞8． 故答案为：x＞8． 13．（3分）（2019•广州）分解因式：x2y+2xy+y＝　y（x+1）2　． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有 【分析】首先提取公因式y，再利用完全平方进行二次分解即可． 【解答】解：原式＝y（x2+2x+1）＝y（x+1）2， 故答案为：y（x+1）2． 14．（3分）（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为　15°或60°　． 【考点】角的计算．菁优网版权所有 【分析】分情况讨论：①DE⊥BC；②AD⊥BC． 【解答】解：分情况讨论： ①当DE⊥BC时，∠BAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°； ②当AD⊥BC时，α＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°． 故答案为：15°或60° 15．（3分）（2019•广州）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为　　．（结果保留π） 【考点】等腰直角三角形；弧长的计算；圆锥的计算；简单几何体的三视图；由三视图判断几何体．菁优网版权所有 【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长＝底面圆的周长即可解决问题． 【解答】解：∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形， ∴斜边长为2， 则底面圆的周长为2π， ∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2π， 故答案为2π． 16．（3分）（2019•广州）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论： ①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2． 其中正确的结论是　①④　．（填写所有正确结论的序号） 【考点】二次根式的应用；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题． ②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可解决问题． ④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题． 【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH． ∵BE＝BH，∠EBH＝90°， ∴EH＝BE，∵AF＝BE， ∴AF＝EH， ∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠FAE＝∠EHC＝135°， ∵BA＝BC，BE＝BH， ∴AE＝HC， ∴△FAE≌△EHC（SAS）， ∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH， ∵∠ECH+∠CEB＝90°， ∴∠AEF+∠CEB＝90°， ∴∠FEC＝90°， ∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确， 如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS）， ∴∠ECB＝∠DCH， ∴∠ECH＝∠BCD＝90°， ∴∠ECG＝∠GCH＝45°， ∵CG＝CG，CE＝CH， ∴△GCE≌△GCH（SAS）， ∴EG＝GH， ∵GH＝DG+DH，DH＝BE， ∴EG＝BE+DG，故③错误， ∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AG+GH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误， 设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x， ∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2， ∵﹣＜0， ∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确， 故答案为①④． 三、解答题（共9小题，满分102分） 17．（9分）（2019•广州）解方程组：． 【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有 【分析】运用加减消元解答即可． 【解答】解：， ②﹣①得，4y＝2，解得y＝2， 把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3， 故原方程组的解为． 18．（9分）（2019•广州）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE． 【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有 【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE． 【解答】证明：∵FC∥AB， ∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F， 在△ADE与△CFE中： ∵， ∴△ADE≌△CFE（AAS）． 19．（10分）（2019•广州）已知P＝﹣（a≠±b） （1）化简P； （2）若点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上，求P的值． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 【分析】（1）P＝﹣＝＝＝； （2）将点（a，b）代入y＝x﹣得到a﹣b＝，再将a﹣b＝代入化简后的P，即可求解； 【解答】解：（1）P＝﹣＝＝＝； （2）∵点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上， ∴b＝a﹣， ∴a﹣b＝， ∴P＝； 20．（10分）（2019•广州）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 频数分布表 组别 时间/小时 频数/人数 A组 0≤t＜1 2 B组 1≤t＜2 m C组 2≤t＜3 10 D组 3≤t＜4 12 E组 4≤t＜5 7 F组 t≥5 4 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）求频数分布表中m的值； （2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图； （3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生． 【考点】频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有 【分析】（1）用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出m的值； （2）分别用360°乘以B组，C组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图； （3）画出树状图，即可得出结果． 【解答】解：（1）m＝40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣4＝5； （2）B组的圆心角＝360°×＝45°， C组的圆心角＝360°或＝90°． 补全扇形统计图如图1所示： （3）画树状图如图2： 共有12个等可能的结果， 恰好都是女生的结果有6个， ∴恰好都是女生的概率为＝． 21．（12分）（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座． （1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？ （2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率． 【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有 【分析】（1）2020年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论； （2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）． 答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座． （2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x， 依题意，得：6（1+x）2＝17.34， 解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）． 答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%． 22．（12分）（2019•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点． （1）求m，n的值与点A的坐标； （2）求证：△CPD∽△AEO； （3）求sin∠CDB的值． 【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）； （2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO； （3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值． 【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m， 解得：m＝﹣2， ∴正比例函数解析式为y＝﹣2x； 将点P（﹣1，2）代入y＝，得：2＝﹣（n﹣3）， 解得：n＝1， ∴反比例函数解析式为y＝﹣． 联立正、反比例函数解析式成方程组，得：， 解得：，， ∴点A的坐标为（1，﹣2）． （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB∥CD， ∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE． ∵AB⊥x轴， ∴∠AEO＝∠CPD＝90°， ∴△CPD∽△AEO． （3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2）， ∴AE＝2，OE＝1，AO＝＝． ∵△CPD∽△AEO， ∴∠CDP＝∠AOE， ∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝． 23．（12分）（2019•广州）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC． （1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长． 【考点】作图—复杂作图．菁优网版权所有 【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求． （2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求． （2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝＝＝6， ∵BC＝CD， ∴＝， ∴OC⊥BD于E． ∴BE＝DE， ∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2， ∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2， 解得x＝， ∵BE＝DE，BO＝OA， ∴AD＝2OE＝， ∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+＝． 24．（14分）（2019•广州）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE． （1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB； （2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当B，F，E三点共线时．求AE的长． 【考点】三角形综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB； （2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大； （3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形 ∴∠A＝∠B＝∠C＝60° 由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上 ∴∠DFC＝∠C＝60° ∴∠DFC＝∠A ∴DF∥AB； （2）存在， 过点D作DM⊥AB交AB于点M， ∵AB＝BC＝6，BD＝4， ∴CD＝2 ∴DF＝2， ∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上， ∴当点F在DM上时，S△ABF最小， ∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60° ∴MD＝2 ∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6 ∴S最大值＝×2×3﹣（6﹣6）＝﹣3+6 （3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H， ∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE ∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60° ∵GD⊥EF，∠EFD＝60° ∴FG＝1，DG＝FG＝ ∵BD2＝BG2+DG2， ∴16＝3+（BF+1）2， ∴BF＝﹣1 ∴BG＝ ∵EH⊥BC，∠C＝60° ∴CH＝，EH＝HC＝EC ∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90° ∴△BGD∽△BHE ∴ ∴ ∴EC＝﹣1 ∴AE＝AC﹣EC＝7﹣ 25．（14分）（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点． （1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）； （2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围． 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值． （2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围． （3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间． 法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围． 【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点 ∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3 （2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3 ∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3 ∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3） ∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3 ∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2 即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2 ∵m＞0，m＝x﹣1 ∴x﹣1＞0 ∴x＞1 ∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1） （3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线 x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4 ∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4） ∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3 x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3 ∴抛物线G恒过点A（2，﹣3） 由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA ∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3 法二： 整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x ∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立 ∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0 ∴m＝＞0 ∵x＞1 ∴1﹣x＜0 ∴x（x﹣2）＜0 ∴x﹣2＜0 ∴x＜2即1＜x＜2 ∵yP＝﹣x﹣2 ∴﹣4＜yP＜﹣3 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/10 9:51:43；用户：数学；邮箱：85886818-2@；学号：27755521 第26页（共26页）