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2019年四川省遂宁市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.） 1．（4分）（2019•遂宁）的值为　　 A． B． C． D．2 2．（4分）（2019•遂宁）下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 3．（4分）（2019•遂宁）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为的面与其对面上的数字 之积是　　 A． B．0 C． D． 4．（4分）（2019•遂宁）某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是　　 A．100 B．被抽取的100名学生家长 C．被抽取的100名学生家长的意见 D．全校学生家长的意见 5．（4分）（2019•遂宁）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为　　 A．0 B． C．1 D． 6．（4分）（2019•遂宁）如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 7．（4分）（2019•遂宁）如图，中，对角线、相交于点，交于点，连接， 若的周长为28，则的周长为　　 A．28 B．24 C．21 D．14 8．（4分）（2019•遂宁）关于的方程的解为正数，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 9．（4分）（2019•遂宁）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是　　 A． B．当时，顶点的坐标为 C．当时， D．当时，随的增大而增大 10．（4分）（2019•遂宁）如图，四边形是边长为1的正方形，是等边三角形，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的有　　 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．（4分）（2019•遂宁）2018年10月24日，我国又一项世界级工程港珠澳大桥正式建成通车，它全长55000米，用科学记数法表示为　　． 12．（4分）（2019•遂宁）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　． 13．（4分）（2019•遂宁）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为　　分． 14．（4分）（2019•遂宁）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：； ； ； 根据以上信息，完成下面计算： 　　． 15．（4分）（2019•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点落在坐标原点，点、点分别位于轴，轴的正半轴，为线段上一点，将沿翻折，点恰好落在对角线上的点处，反比例函数经过点．二次函数的图象经过、、三点，则该二次函数的解析式为　　．（填一般式） 三、计算或解答题（本大题共10小题，满分90分） 16．（7分）（2019•遂宁）计算： 17．（7分）（2019•遂宁）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解． 18．（7分）（2019•遂宁）先化简，再求值：，其中，满足． 19．（9分）（2019•遂宁）如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．求证： （1）． （2）四边形是平行四边形． 20．（9分）（2019•遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从至共有30级阶梯，平均每级阶梯高，斜坡的坡度；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡的坡度，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号） 21．（9分）（2019•遂宁）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． （1）第一批仙桃每件进价是多少元？ （2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润售价进价） 22．（10分）（2019•遂宁）我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动： 代号 活动类型 经典诵读与写作 数学兴趣与培优 英语阅读与写作 艺体类 其他 为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）． （1）此次共调查了　　名学生． （2）将条形统计图补充完整． （3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为　　． （4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢、、三类活动的学生共有多少人？ （5）学校将从喜欢“”类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率． 23．（10分）（2019•遂宁）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若动点是第一象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，且过点作轴的平行线交直线于点，连接，若的面积为3，求出点的坐标． 24．（10分）（2019•遂宁）如图，内接于，直径交于点，延长至点，使，连接并延长交过点的切线于点，且满足，连接 ，若，． （1）求证：； （2）求的半径； （3）求证：是的切线． 25．（12分）（2019•遂宁）如图，顶点为的二次函数图象与轴交于点，点在该图象上，交其对称轴于点，点、关于点对称，连接、． （1）求该二次函数的关系式． （2）若点在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接，当时，请判断的形状，并求出此时点的坐标． ②求证：． 2019年四川省遂宁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.） 1．（4分）的值为　　 A． B． C． D．2 【考点】22：算术平方根；28：实数的性质；21：平方根 【分析】根据实数的绝对值的意义解答即可． 【解答】解：． 故选：． 2．（4分）下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 【考点】35：合并同类项；78：二次根式的加减法；：整式的除法；47：幂的乘方与积的乘方 【分析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则、二次根式的加减运算法则分别化简得出答案． 【解答】解：、，无法计算，故此选项错误； 、，正确； 、，故此选项错误； 、故，此选项错误； 故选：． 3．（4分）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为的面与其对面上的数字 之积是　　 A． B．0 C． D． 【考点】：专题：正方体相对两个面上的文字 【分析】根据正方体的平面展开图的特征知，其相对面的两个正方形之间一定相隔一个正方形，所以数字为的面的对面上的数字是6，其积为． 【解答】解：数字为的面的对面上的数字是6，其积为． 故选：． 4．（4分）某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是　　 A．100 B．被抽取的100名学生家长 C．被抽取的100名学生家长的意见 D．全校学生家长的意见 【考点】：总体、个体、样本、样本容量 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【解答】解：某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查， 这一问题中样本是：被抽取的100名学生家长的意见． 故选：． 5．（4分）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为　　 A．0 B． C．1 D． 【考点】：一元二次方程的解 【分析】直接把代入进而方程，再结合，进而得出答案． 【解答】解：关于的一元二次方程有一个根为， ，， 则的值为：． 故选：． 6．（4分）如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【考点】：扇形面积的计算；：三角形的外接圆与外心 【分析】根据圆周角定理得到，根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：， ， 阴影部分的面积， 故选：． 7．（4分）如图，中，对角线、相交于点，交于点，连接， 若的周长为28，则的周长为　　 A．28 B．24 C．21 D．14 【考点】：平行四边形的性质；：线段垂直平分线的性质 【分析】先判断出是的中垂线，得出，从而可得出的周长，再由平行四边形的周长为24，即可得出答案． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，， 平行四边形的周长为28， ， 是线段的中垂线， ， 的周长， 故选：． 8．（4分）关于的方程的解为正数，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【考点】：分式方程的解；：解一元一次不等式 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式的方程的解得到的值，根据分式方程解是正数，即可确定出的范围． 【解答】解：分式方程去分母得：， 解得：， 根据题意得：，且， 解得：，且． 故选：． 9．（4分）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是　　 A． B．当时，顶点的坐标为 C．当时， D．当时，随的增大而增大 【考点】：二次函数的性质；：二次函数的图象 【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可． 【解答】解：二次函数 对称轴为直线 ，故选项正确； 当时， 顶点的坐标为，故选项正确； 当时，由图象知此时 即 ，故选项不正确； 对称轴为直线且图象开口向上 当时，随的增大而增大，故选项正确； 故选：． 10．（4分）如图，四边形是边长为1的正方形，是等边三角形，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的有　　 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【考点】：等边三角形的性质；：正方形的性质；：相似三角形的判定与性质 【分析】由等边三角形及正方形的性质求出、，从而判断①；证可判断②；作，设，则，，，由求出，从而求得、的长，据此可判断③，证，根据求解可判断④． 【解答】解：是等边三角形，四边形是正方形， ，，， ， 则，故①正确； ， ， 又， ，故②正确； 如图，过点作于， 设，则，， ， 由知， 解得， ， ， ， 则，故③错误； ，， ， 又， ， ， ，故④正确； 故选：． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．（4分）2018年10月24日，我国又一项世界级工程港珠澳大桥正式建成通车，它全长55000米，用科学记数法表示为　　． 【考点】：科学记数法表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于55000有5位，所以可以确定． 【解答】解：， 故答案为． 12．（4分）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　． 【考点】：根的判别式 【分析】利用根的判别式进行计算，令△即可得到关于的不等式，解答即可． 【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根， △， 即， ． 故答案为：． 13．（4分）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为　88.8　分． 【考点】：加权平均数 【分析】根据加权平均数的计算方法求值即可． 【解答】解：由题意，则该名教师的综合成绩为： 故答案为：88.8 14．（4分）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：； ； ； 根据以上信息，完成下面计算： 　　． 【考点】：实数的运算 【分析】直接利用完全平方公式以及多项式乘法分别化简得出答案． 【解答】解： ． 故答案为：． 15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点落在坐标原点，点、点分别位于轴，轴的正半轴，为线段上一点，将沿翻折，点恰好落在对角线上的点处，反比例函数经过点．二次函数的图象经过、、三点，则该二次函数的解析式为　　．（填一般式） 【考点】：二次函数的性质；：矩形的性质；：二次函数图象上点的坐标特征；：待定系数法求二次函数解析式；：二次函数的三种形式；：反比例函数图象上点的坐标特征；：翻折变换（折叠问题） 【分析】点，反比例函数经过点，则点，由勾股定理得：，故点，，将点、、坐标代入二次函数表达式，即可求解． 【解答】解：点，反比例函数经过点，则点， 则，， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 解得：，故点，， 将点、、坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故答案为：． 三、计算或解答题（本大题共10小题，满分90分） 16．（7分）计算： 【考点】：特殊角的三角函数值；：零指数幂；：实数的运算；：负整数指数幂 【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式 ． 17．（7分）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解． 【考点】：解一元一次不等式组；：一元一次不等式组的整数解；：在数轴上表示不等式的解集 【分析】一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【解答】解： 解不等式①，， 解不等式②，， ， 解集在数轴上表示如下： 的整数解为，，0，1，2． 18．（7分）先化简，再求值：，其中，满足． 【考点】23：非负数的性质：算术平方根；：非负数的性质：偶次方；：分式的化简求值 【分析】先化简分式，然后将、的值代入计算即可． 【解答】解：原式 ， ，满足， ，， ，， 原式． 19．（9分）如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．求证： （1）． （2）四边形是平行四边形． 【考点】：全等三角形的判定与性质；：平行四边形的判定与性质 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）， ， 点是的中点， ， 在与中，， ； （2）， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 20．（9分）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从至共有30级阶梯，平均每级阶梯高，斜坡的坡度；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡的坡度，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号） 【考点】：解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】过 作于，过作于，于是得到四边形是矩形，求得，，得到，求得，得到，根据梯形的面积公式求得梯形的面积乘以大坝的长度即可得到结论． 【解答】解：过 作于，过作于， 则四边形是矩形， ，， 米， 斜坡的坡度， ， ， 斜坡的坡度， ， ， ， 共需土石为立方米． 21．（9分）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． （1）第一批仙桃每件进价是多少元？ （2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润售价进价） 【考点】：一元一次不等式的应用；：分式方程的应用 【分析】（1）设第一批仙桃每件进价是元，则第二批每件进价是元，再根据等量关系：第二批仙桃所购件数是第一批的倍，列方程解答； （2）设剩余的仙桃每件售价元，由利润售价进价，根据第二批的销售利润不低于440元，可列不等式求解． 【解答】解：（1）设第一批仙桃每件进价元，则， 解得． 经检验，是原方程的根． 答：第一批仙桃每件进价为180元； （2）设剩余的仙桃每件售价打折． 则：， 解得． 答：剩余的仙桃每件售价至少打7折． 22．（10分）我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动： 代号 活动类型 经典诵读与写作 数学兴趣与培优 英语阅读与写作 艺体类 其他 为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）． （1）此次共调查了　200　名学生． （2）将条形统计图补充完整． （3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为　　． （4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢、、三类活动的学生共有多少人？ （5）学校将从喜欢“”类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率． 【考点】：用样本估计总体；：加权平均数；：条形统计图；：列表法与树状图法；：扇形统计图 【分析】（1）由类型人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数乘以的百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得的人数，据此可补全图形； （3）用乘以类型人数所占比例； （4）总人数乘以前三项人数之和所占比例即可得； （5）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：（1）此次调查的总人数为（人， 故答案为：200； （2）类型人数为（人， 类型人数为（人， 补全图形如下： （3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为：； （4）估计该校喜欢、、三类活动的学生共有（人； （5）画树状图如下： ， 由树状图知，共有12种等可能结果，其中一男一女的有12种结果， 刚好一男一女参加决赛的概率． 23．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若动点是第一象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，且过点作轴的平行线交直线于点，连接，若的面积为3，求出点的坐标． 【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）先求出点的坐标，然后利用待定系数法将代入反比例函数解析式中即可求出其表达式； （2）设点的坐标为，，用表示出的面积，从而列出关于的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）将代入一次函数中得： 将代入反比例函数中得： 反比例函数的表达式为； （2）如图： 设点的坐标为，，则 ，点到直线的距离为 的面积 解得：或或1或2 点不与点重合，且 又 或1或2 点的坐标为或或． 24．（10分）如图，内接于，直径交于点，延长至点，使，连接并延长交过点的切线于点，且满足，连接 ，若，． （1）求证：； （2）求的半径； （3）求证：是的切线． 【考点】：圆周角定理；：切线的判定与性质；：解直角三角形 【分析】（1）根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论； （2）设，，得到，根据勾股定理即可得到结论； （3）由，得到，求得，推出，根据相似三角形的性质得到，于是得到是的切线． 【解答】解：（1）是的切线，是的直径， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， 设，， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， 的半径为； （3）， ， ， ， ， ， 是的切线． 25．（12分）如图，顶点为的二次函数图象与轴交于点，点在该图象上，交其对称轴于点，点、关于点对称，连接、． （1）求该二次函数的关系式． （2）若点在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接，当时，请判断的形状，并求出此时点的坐标． ②求证：． 【考点】：二次函数综合题 【分析】（1）由于已知二次函数顶点坐标，故可设顶点式，再把点代入求即求得二次函数关系式． （2）设点横坐标为，用表示直线的值即得到直线解析式，把代入即用表示点坐标．根据、关于点对称，求得，且能用表示点坐标．①由，可列得关于的方程，求解即得到点、坐标．求、、的值得到，判断是等腰直角三角形．②有点、坐标求直线解析式（含，令求得直线与轴交点的坐标，发现为中点即直线垂直平分，根据垂直平分线性质得，由等腰三角形三线合一得，得证． 【解答】解：（1）二次函数顶点为 设顶点式 二次函数图象过点 ，解得： 二次函数的关系式为 （2）设， 直线解析式为： 交对称轴于点 当时， 点、关于点对称 ， ，即 ① 解得： ，， ，， ， 是等腰直角三角形，此时点坐标为，． ②证明：如图，设直线与轴交于点 、 设直线解析式为 解得： 直线 当时，，解得： ，轴 垂直平分 第28页（共28页）