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2019年江苏省宿迁市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）（2019•宿迁）2019的相反数是　　 A．2019 B． C． D． 2．（3分）（2019•宿迁）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 3．（3分）（2019•宿迁）一组数据：2、4、4、3、7、7，则这组数据的中位数是　　 A．3 B．3.5 C．4 D．7 4．（3分）（2019•宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，，则等于　　 A． B． C． D． 5．（3分）（2019•宿迁）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是　　 A． B． C． D． 6．（3分）（2019•宿迁）不等式的非负整数解有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（3分）（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是　　 A． B． C． D． 8．（3分）（2019•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，对角线、交于点，点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值为　　 A． B． C．2 D． 二、填空题，（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）（2019•宿迁）实数4的算术平方根是　 　． 10．（3分）（2019•宿迁）分解因式：　 　． 11．（3分）（2019•宿迁）宿迁近年来经济快速发展，2018年约达到275000000000元．将275000000000用科学记数法表示为　　． 12．（3分）（2019•宿迁）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是、，且，则队员身高比较整齐的球队是　　． 13．（3分）（2019•宿迁）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为　　． 14．（3分）（2019•宿迁）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是　　． 15．（3分）（2019•宿迁）已知直角三角形的两直角边分别为5，12，则它的内切圆半径为　 　． 16．（3分）（2019•宿迁）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是　　． 17．（3分）（2019•宿迁）如图，，若的顶点在射线上，且，点在射线上运动，当是锐角三角形时，的取值范围是　　． 18．（3分）（2019•宿迁）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　． 三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）（2019•宿迁）计算：． 20．（8分）（2019•宿迁）先化简，再求值：，其中． 21．（8分）（2019•宿迁）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点． （1）求一次函数表达式； （2）求的面积． 22．（8分）（2019•宿迁）如图，矩形中，，，点、分别在、上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段的长． 23．（10分）（2019•宿迁）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图． 男、女生所选类别人数统计表 类别 男生（人 女生（人 文学类 12 8 史学类 5 科学类 6 5 哲学类 2 根据以上信息解决下列问题 （1）　　，　　； （2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为　　； （3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率． 24．（10分）（2019•宿迁）在中，． （1）如图①，点在斜边上，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，与边相切于点．求证：； （2）在图②中作，使它满足以下条件： ①圆心在边上；②经过点；③与边相切． （尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 25．（10分）（2019•宿迁）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为． （1）求坐垫到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，， 26．（10分）（2019•宿迁）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 27．（12分）（2019•宿迁）如图①，在钝角中，，，点为边中点，点为边中点，将绕点逆时针方向旋转度． （1）如图②，当时，连接、．求证：； （2）如图③，直线、交于点．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数； （3）将从图①位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程． 28．（12分）（2019•宿迁）如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标； （3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 2019年江苏省宿迁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）2019的相反数是　　 A．2019 B． C． D． 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：2019的相反数是． 故选：． 2．（3分）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别分析得出答案． 【解答】解：、，无法计算，故此选项错误； 、，故此选项错误； 、，故此选项错误； 、，正确； 故选：． 3．（3分）一组数据：2、4、4、3、7、7，则这组数据的中位数是　　 A．3 B．3.5 C．4 D．7 【分析】将数据从小到大重新排列后根据中位数的定义求解可得． 【解答】解：这组数据重新排列为：2、3、4、4、7、7， 这组数据的中位数为， 故选：． 4．（3分）一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】由题意知图中是一个等腰直角三角形和一个含角的直角三角形，故，，由平行线的性质可知，由三角形内角和定理可求出的度数． 【解答】解：由题意知，， ， ， 在中， ， 故选：． 5．（3分）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是　　 A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理得出底面半径，易求周长以及母线长，从而求出侧面积． 【解答】解：由勾股定理可得：底面圆的半径，则底面周长，底面半径， 由图得，母线长， 侧面面积． 故选：． 6．（3分）不等式的非负整数解有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直接解不等式，进而利用非负整数的定义分析得出答案． 【解答】解：， 解得：， 则不等式的非负整数解有：0，1，2，3共4个． 故选：． 7．（3分）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是　　 A． B． C． D． 【分析】图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和（大圆的面积正六边形的面积）即可得到结果． 【解答】解：6个月牙形的面积之和， 故选：． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，对角线、交于点，点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值为　　 A． B． C．2 D． 【分析】设，，利用菱形的性质得到点为的中点，则，，把，代入得，利用得到，解得，所以，根据正切定义得到，从而得到． 【解答】解：设，， 点为菱形对角线的交点， ，，， ，， 把，代入得， ， 四边形为菱形， ， ，解得， ， 在中，， ． 故选：． 二、填空题，（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）实数4的算术平方根是　2　． 【分析】依据算术平方根根的定义求解即可． 【解答】解：， 的算术平方根是2． 故答案为：2． 10．（3分）分解因式：　　． 【分析】观察原式， 找到公因式，提出即可得出答案 ． 【解答】解：． 故答案为：． 11．（3分）宿迁近年来经济快速发展，2018年约达到275000000000元．将275000000000用科学记数法表示为　　． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：将275000000000用科学记数法表示为：． 故答案为：． 12．（3分）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是、，且，则队员身高比较整齐的球队是　乙　． 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【解答】解：， 队员身高比较整齐的球队是乙， 故答案为：乙． 13．（3分）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为　10　． 【分析】设“△”的质量为，“□”的质量为，由题意列出方程：，解得：，得出第三个天平右盘中砝码的质量． 【解答】解：设“△”的质量为，“□”的质量为， 由题意得：， 解得：， 第三个天平右盘中砝码的质量； 故答案为：10． 14．（3分）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是　　． 【分析】由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，利用概率公式直接求解即可求得答案． 【解答】解：骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个， 掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为：． 故答案为：． 15．（3分）已知直角三角形的两直角边分别为5，12，则它的内切圆半径为　2　． 【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）求解． 【解答】解：直角三角形的斜边， 所以它的内切圆半径． 故答案为2． 16．（3分）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是　且　． 【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：去分母得：， 解得：， ， 解得：， 当时，不合题意， 故且． 故答案为：且． 17．（3分）如图，，若的顶点在射线上，且，点在射线上运动，当是锐角三角形时，的取值范围是　　． 【分析】当点在射线上运动，的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的的值． 【解答】解：如图，过点作，垂足为，，交于点 在中，， ，由勾股定理得：， 在中，， ，由勾股定理得：， 当是锐角三角形时，点在上移动，此时． 故答案为：． 18．（3分）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　． 【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【解答】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动 将绕点旋转，使与重合，得到 从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上 作，则即为的最小值 作，可知四边形为矩形， 则 故答案为． 三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：． 【分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式 ． 20．（8分）先化简，再求值：，其中． 【分析】直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式 ， 当时，原式． 21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点． （1）求一次函数表达式； （2）求的面积． 【分析】（1）先利用反比例函数解析式确定点和点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）先求的长，根据面积和可得结论． 【解答】解：（1）把．，代入，得，， ，， 把，代入得 ，解得， 一次函数解析式为； （2）时，， ， 的面积． 22．（8分）如图，矩形中，，，点、分别在、上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段的长． 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）过作于，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：在矩形中，，， ，，，， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：过作于， 则四边形是矩形， ，， ， ． 23．（10分）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图． 男、女生所选类别人数统计表 类别 男生（人 女生（人 文学类 12 8 史学类 5 科学类 6 5 哲学类 2 根据以上信息解决下列问题 （1）　20　，　　； （2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为　　； （3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率． 【分析】（1）根据文学类的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再根据各自所占的百分比即可求出、； （2）由乘以“科学类”所占的比例，即可得出结果； （3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和所选取的两名学生都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）抽查的总学生数是：（人， ，； 故答案为：20，2； （2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为； 故答案为：79.2； （3）列表得： 男1 男2 女1 女2 男1 男2男1 女1男1 女2男1 男2 男1男2 女1男2 女2男2 女1 男1女1 男2女1 女2女1 女2 男1女2 男2女2 女1女2 由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能， 所选取的两名学生都是男生的概率为． 24．（10分）在中，． （1）如图①，点在斜边上，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，与边相切于点．求证：； （2）在图②中作，使它满足以下条件： ①圆心在边上；②经过点；③与边相切． （尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 【分析】（1）连接，可证得，结合平行线的性质和圆的特性可求得，可得出结论； （2）由（1）可知切点是的角平分线和的交点，圆心在的垂直平分线上，由此即可作出． 【解答】解：（1）证明：如图①，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． （2）如图②所示为所求．① ①作平分线交于点， ②作的垂直平分线交于，以为半径作圆， 即为所求． 证明：在的垂直平分线上， ， ， 又平分， ， ， ， ， ， 与边相切． 25．（10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为． （1）求坐垫到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，， 【分析】（1）作于点，由可得答案； （2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案 【解答】解：（1）如图1，过点作于点， 由题意知、， ， 则单车车座到地面的高度为； （2）如图2所示，过点作于点， 由题意知， 则，1， ． 26．（10分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得，； （2）根据题意得，， 解得：，， 每件利润不能超过60元， ， 答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元； （3）根据题意得，， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 答：当为20时最大，最大值是2400元． 27．（12分）如图①，在钝角中，，，点为边中点，点为边中点，将绕点逆时针方向旋转度． （1）如图②，当时，连接、．求证：； （2）如图③，直线、交于点．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数； （3）将从图①位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程． 【分析】（1）如图①利用三角形的中位线定理，推出，可得，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可． （2）利用相似三角形的性质证明即可． （3）点的运动路程，是图③中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可． 【解答】解：（1）如图②中， 由图①，点为边中点，点为边中点， ， ， ， ， ， ． （2）的大小不发生变化，． 理由：如图③中，设交于点． ， ， ，，， ． （3）如图③中．设的中点为，连接，以为边向右作等边，连接，． 以为圆心，为半径作， ，， ， 点在上运动， 以为圆心，为半径作，当直线与相切时，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 的长， 观察图象可知，点的运动路程是的长的两倍． 28．（12分）如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标； （3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【分析】（1）把点、坐标代入抛物线解析式即求得、的值． （2）点可以在轴上方或下方，需分类讨论．①若点在轴下方，延长到，使构造等腰，作中点，即有，利用的三角函数值，求、的长，进而求得的坐标，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．②若点在轴上方，根据对称性，一定经过点关于轴的对称点，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标． （3）设点横坐标为，用表示直线、的解析式，把分别代入即求得点、的纵坐标，再求、的长，即得到为定值． 【解答】解：（1）抛物线经过点， 解得： 抛物线的函数表达式为 （2）①若点在轴下方，如图1， 延长到，使，过点作轴，连接，作中点，连接并延长交于点，过点作于点 当，解得：， ， ，，， 中，， ，为中点 ， ，即 中，， 中，，， ， ，，即， 设直线解析式为 解得： 直线 解得：（即点， ， ②若点在轴上方，如图2， 在上截取，则与关于轴对称 ， 设直线解析式为 解得： 直线 解得：（即点， ， 综上所述，点的坐标为，或，． （3）为定值 抛物线的对称轴为：直线 ， 设， 设直线解析式为 解得： 直线 当时， 设直线解析式为 解得： 直线 当时， ，为定值． 第30页（共30页）