2019年广东省中考数学试卷.doc

2019年广东省中考数学试卷 一、选择题（本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1．（3分）（2019•广东）﹣2的绝对值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D．±2 2．（3分）（2019•广东）某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为（　　） A．2.21×106 B．2.21×105 C．221×103 D．0.221×106 3．（3分）（2019•广东）如图，由4个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）（2019•广东）下列计算正确的是（　　） A．b6+b3＝b2 B．b3•b3＝b9 C．a2+a2＝2a2 D．（a3）3＝a6 5．（3分）（2019•广东）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）（2019•广东）数据3，3，5，8，11的中位数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（3分）（2019•广东）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（　　） A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜0 8．（3分）（2019•广东）化简的结果是（　　） A．﹣4 B．4 C．±4 D．2 9．（3分）（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　） A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2 10．（3分）（2019•广东）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上. 11．（4分）（2019•广东）计算：20190+（）﹣1＝　 　． 12．（4分）（2019•广东）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝　 　． 13．（4分）（2019•广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是　 　． 14．（4分）（2019•广东）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是　 　． 15．（4分）（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是　 　米（结果保留根号）． 16．（4分）（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　 　（结果用含a，b代数式表示）． 三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17．（6分）（2019•广东）解不等式组： 18．（6分）（2019•广东）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝． 19．（6分）（2019•广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点． （1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若＝2，求的值． 四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分) 20．（7分）（2019•广东）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题： 成绩等级频数分布表 成绩等级 频数 A 24 B 10 C x D 2 合计 y （1）x＝　 　，y＝　 　，扇形图中表示C的圆心角的度数为　 　度； （2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率． 21．（7分）（2019•广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元． （1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？ （2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？ 22．（7分）（2019•广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F． （1）求△ABC三边的长； （2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积． 五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分) 23．（9分）（2019•广东）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）． （1）根据图象，直接写出满足kx+b＞的x的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标． 24．（9分）（2019•广东）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF． （1）求证：ED＝EC； （2）求证：AF是⊙O的切线； （3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长． 25．（9分）（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE． （1）求点A、B、D的坐标； （2）求证：四边形BFCE是平行四边形； （3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P的横坐标； ②直接回答这样的点P共有几个？ 2019年广东省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1．（3分）（2019•广东）﹣2的绝对值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D．±2 【考点】绝对值．菁优网版权所有 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答． 【解答】解：|﹣2|＝2，故选：A． 2．（3分）（2019•广东）某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为（　　） A．2.21×106 B．2.21×105 C．221×103 D．0.221×106 【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 【分析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将221000用科学记数法表示为：2.21×105． 故选：B． 3．（3分）（2019•广东）如图，由4个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有 【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案． 【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形，如图所示． 故选：A． 4．（3分）（2019•广东）下列计算正确的是（　　） A．b6+b3＝b2 B．b3•b3＝b9 C．a2+a2＝2a2 D．（a3）3＝a6 【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有 【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案． 【解答】解：A、b6+b3，无法计算，故此选项错误； B、b3•b3＝b6，故此选项错误； C、a2+a2＝2a2，正确； D、（a3）3＝a9，故此选项错误． 故选：C． 5．（3分）（2019•广东）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形；中心对称图形．菁优网版权所有 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 6．（3分）（2019•广东）数据3，3，5，8，11的中位数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】中位数．菁优网版权所有 【分析】先把原数据按从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可． 【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，5，8，11， 故这组数据的中位数是，5． 故选：C． 7．（3分）（2019•广东）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（　　） A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜0 【考点】绝对值；实数与数轴．菁优网版权所有 【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可． 【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1， ∴a＜b，故A错误； |a|＞|b|，故B错误； a+b＜0，故C错误； ＜0，故D正确； 故选：D． 8．（3分）（2019•广东）化简的结果是（　　） A．﹣4 B．4 C．±4 D．2 【考点】算术平方根．菁优网版权所有 【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出16的算术平方根是多少即可． 【解答】解：＝＝4． 故选：B． 9．（3分）（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　） A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2 【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有 【分析】由根的判别式△＝4＞0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2﹣2x＝0中可得出x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1•x2＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意． 【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0， ∴x1≠x2，选项A不符合题意； ∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根， ∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意； ∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 10．（3分）（2019•广东）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【分析】由正方形的性质得到FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，求得∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，根据全等三角形的定理定理得到△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；根据全等三角形的性质得到∠AHN＝∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到∠AFN≠∠HFG，故②错误；根据全等三角形的性质得到AN＝AG＝1，根据相似三角形的性质得到∠AHN＝∠AMG，根据平行线的性质得到∠HAK＝∠AMG，根据直角三角形的性质得到FN＝2NK；故③正确；根据矩形的性质得到DM＝AG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2， ∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点， ∴AD＝4，AH＝2， ∠BAD＝90°， ∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG， ∵∠ANH＝∠GNF， ∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确； ∴∠AHN＝∠HFG， ∵AG＝FG＝2＝AH， ∴AF＝FG＝AH， ∴∠AFH≠∠AHF， ∴∠AFN≠∠HFG，故②错误； ∵△ANH≌△GNF， ∴AN＝AG＝1， ∵GM＝BC＝4， ∴＝＝2， ∵∠HAN＝∠AGM＝90°， ∴△AHN∽△GMA， ∴∠AHN＝∠AMG， ∵AD∥GM， ∴∠HAK＝∠AMG， ∴∠AHK＝∠HAK， ∴AK＝HK， ∴AK＝HK＝NK， ∵FN＝HN， ∴FN＝2NK；故③正确； ∵延长FG交DC于M， ∴四边形ADMG是矩形， ∴DM＝AG＝2， ∵S△AFN＝AN•FG＝2×1＝1，S△ADM＝AD•DM＝×4×2＝4， ∴S△AFN：S△ADM＝1：4故④正确， 故选：C． 二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上. 11．（4分）（2019•广东）计算：20190+（）﹣1＝　4　． 【考点】有理数的加法；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有 【分析】分别计算负整数指数幂、零指数幂，然后再进行实数的运算即可． 【解答】解：原式＝1+3＝4． 故答案为：4． 12．（4分）（2019•广东）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝　105°　． 【考点】平行线的性质．菁优网版权所有 【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可． 【解答】解：∵直线L直线a，b相交，且a∥b，∠1＝75°， ∴∠3＝∠1＝75°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°． 故答案为：105° 13．（4分）（2019•广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是　8　． 【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有 【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）可得方程180（x﹣2）＝1080，再解方程即可． 【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得： 180（x﹣2）＝1080， 解得：x＝8， 故答案为：8． 14．（4分）（2019•广东）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是　21　． 【考点】代数式求值；整式的加减．菁优网版权所有 【分析】直接将已知变形进而代入原式求出答案． 【解答】解：∵x＝2y+3， ∴x﹣2y＝3， 则代数式4x﹣8y+9＝4（x﹣2y）+9 ＝4×3+9 ＝21． 故答案为：21． 15．（4分）（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是　（15+15）　米（结果保留根号）． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有 【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案． 【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E， 在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米． 在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米． 故教学楼AC的高度是AC＝15米． 答：教学楼AC的高度是（15）米． 16．（4分）（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　a+8b　（结果用含a，b代数式表示）． 【考点】利用轴对称设计图案．菁优网版权所有 【分析】用9个这样的图形的总长减去拼接时的重叠部分，即可得到拼出来的图形的总长度． 【解答】解：由图可得，拼出来的图形的总长度＝9a﹣8（a﹣b）＝a+8b． 故答案为：a+8b． 三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17．（6分）（2019•广东）解不等式组： 【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解： 解不等式组①，得x＞3 解不等式组②，得x＞1 则不等式组的解集为x＞3 18．（6分）（2019•广东）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝． 【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有 【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝ 当x＝时， 原式＝＝ 19．（6分）（2019•广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点． （1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若＝2，求的值． 【考点】作图—基本作图；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠ADE＝∠B； （2）先利用作法得到∠ADE＝∠B，则可判断DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理求解． 【解答】解：（1）如图，∠ADE为所作； （2）∵∠ADE＝∠B ∴DE∥BC， ∴＝＝2． 四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分) 20．（7分）（2019•广东）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题： 成绩等级频数分布表 成绩等级 频数 A 24 B 10 C x D 2 合计 y （1）x＝　4　，y＝　40　，扇形图中表示C的圆心角的度数为　36　度； （2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率． 【考点】频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有 【分析】（1）随机抽男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；扇形图中表示C的圆心角的度数360°×＝36°； （2）先画树状图，然后求得P（同时抽到甲，乙两名学生）＝＝． 【解答】（1）随机抽男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40； C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4； 扇形图中表示C的圆心角的度数360°×＝36°． 故答案为4，40，36； （2）画树状图如下： P（同时抽到甲，乙两名学生）＝＝． 21．（7分）（2019•广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元． （1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？ （2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有 【分析】（1）设购买篮球x个，购买足球y个，根据总价＝单价×购买数量结合购买篮球、足球共60个\购买这两类球的总金额为4600元，列出方程组，求解即可； （2）设购买了a个篮球，则购买（60﹣a）个足球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，列不等式求出x的最大整数解即可． 【解答】解：（1）设购买篮球x个，购买足球y个， 依题意得：． 解得． 答：购买篮球20个，购买足球40个； （2）设购买了a个篮球， 依题意得：70a≤80（60﹣a） 解得a≤32． 答：最多可购买32个篮球． 22．（7分）（2019•广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F． （1）求△ABC三边的长； （2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积． 【考点】勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有 【分析】（1）根据勾股定理即可求得； （2）根据勾股定理求得AD，由（1）得，AB2+AC2＝BC2，则∠BAC＝90°，根据S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF即可求得． 【解答】解：（1）AB＝＝2， AC＝＝2， BC＝＝4； （2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， 连接AD，AD＝＝2， ∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF＝AB•AC﹣π•AD2＝20﹣5π． 五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分) 23．（9分）（2019•广东）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）． （1）根据图象，直接写出满足kx+b＞的x的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 【分析】（1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求x的取值范围； （2）将点A，点B坐标代入两个解析式可求k2，n，k1，b的值，从而求得解析式； （3）根据三角形面积相等，可得答案． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）． 由图象可得：kx+b＞的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4； （2）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣1，4），B（4，n） ∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n ∴n＝﹣1 ∴B（4，﹣1） ∵一次函数y＝kx+b的图象过点A，点B ∴， 解得：k＝﹣1，b＝3 ∴直线解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y＝﹣； （3）设直线AB与y轴的交点为C， ∴C（0，3）， ∵S△AOC＝×3×1＝， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×4＝， ∵S△AOP：S△BOP＝1：2， ∴S△AOP＝×＝， ∴S△COP＝﹣＝1， ∴×3•xP＝1， ∴xP＝， ∵点P在线段AB上， ∴y＝﹣+3＝， ∴P（，）． 24．（9分）（2019•广东）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF． （1）求证：ED＝EC； （2）求证：AF是⊙O的切线； （3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长． 【考点】圆的综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证； （2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证； （3）证△ABE∽△CBA得AB2＝BC•BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝5． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， ∴∠BCD＝∠ADC， ∴ED＝EC； （2）如图1，连接OA， ∵AB＝AC， ∴＝， ∴OA⊥BC， ∵CA＝CF， ∴∠CAF＝∠CFA， ∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF， ∵∠ACB＝∠BCD， ∴∠ACD＝2∠ACB， ∴∠CAF＝∠ACB， ∴AF∥BC， ∴OA⊥AF， ∴AF为⊙O的切线； （3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB， ∴△ABE∽△CBA， ∴＝， ∴AB2＝BC•BE， ∴BC•BE＝25， ∴AB＝5， 如图2，连接AG， ∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB， ∵点G为内心， ∴∠DAG＝∠GAC， 又∵∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB， ∴∠BAG＝∠BGA， ∴BG＝AB＝5． 25．（9分）（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE． （1）求点A、B、D的坐标； （2）求证：四边形BFCE是平行四边形； （3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P的横坐标； ②直接回答这样的点P共有几个？ 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）利用抛物线解析式求得点A、B、D的坐标； （2）欲证明四边形BFCE是平行四边形，只需推知EC∥BF且EC＝BF即可； （3）①利用相似三角形的对应边成比例求得点P的横坐标，没有指明相似三角形的对应边（角），需要分类讨论； ②根据①的结果即可得到结论． 【解答】解：（1）令x2+x﹣＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣7． ∴A（1，0），B（﹣7，0）． 由y＝x2+x﹣＝（x+3）2﹣2得，D（﹣3，﹣2）； （2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1， ∴∠COF＝∠DD1F＝90°， ∵∠D1FD＝∠CFO， ∴△DD1F∽△COF， ∴＝， ∵D（﹣3，﹣2）， ∴D1D＝2，OD＝3， ∴D1F＝2， ∴＝， ∴OC＝， ∴CA＝CF＝FA＝2， ∴△ACF是等边三角形， ∴∠AFC＝∠ACF， ∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE， ∴∠ECF＝∠AFC＝60°， ∴EC∥BF， ∵EC＝DC＝＝6， ∵BF＝6， ∴EC＝BF， ∴四边形BFCE是平行四边形； （3）∵点P是抛物线上一动点， ∴设P点（x，x2+x﹣）， ①当点P在B点的左侧时， ∵△PAM与△DD1A相似， ∴或＝， ∴＝或＝， 解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2＝﹣； 当点P在A点的右侧时， ∵△PAM与△DD1A相似， ∴＝或＝， ∴＝或＝， 解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣（不合题意舍去）； 当点P在AB之间时， ∵△PAM与△DD1A相似， ∴＝或＝， ∴＝或＝， 解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣； 综上所述，点P的横坐标为﹣11或﹣或﹣； ②由①得，这样的点P共有3个． 第25页（共25页）