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2019年四川省成都市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小題，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡 1．（3分）（2019•成都）比大5的数是　　 A． B． C．2 D．8 2．（3分）（2019•成都）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是　　 A． B． C． D． 3．（3分）（2019•成都）2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 4．（3分）（2019•成都）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为　　 A． B． C． D．． 5．（3分）（2019•成都）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．（3分）（2019•成都）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 7．（3分）（2019•成都）分式方程的解为　　 A． B． C． D． 8．（3分）（2019•成都）某校开展了主题为“青春梦想”的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是　　 A．42件 B．45件 C．46件 D．50件 9．（3分）（2019•成都）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重命），则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（3分）（2019•成都）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是　　 A． B． C． D．图象的对称轴是直线 二、填空题（术大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．（4分）（2019•成都）若与互为相反数，则的值为　　． 12．（4分）（2019•成都）如图，在中，，点，都在边上，，若，则的长为　　． 13．（4分）（2019•成都）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是　　． 14．（4分）（2019•成都）如图，的对角线与相交于点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点．若，则线段的长为　　． 三、解答题（本大题共6个小题，共54分解答过程写在答题卡上 15．（12分）（2019•成都）（1）计算：． （2）解不等式组： 16．（6分）（2019•成都）先化简，再求值：，其中． 17．（8分）（2019•成都）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数． 18．（8分）（2019•成都）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼处，测得起点拱门的顶部的俯角为，底部的俯角为，如果处离地面的高度米，求起点拱门的高度．（结果精确到1米；参考数据：，， 19．（10分）（2019•成都）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积． 20．（10分）（2019•成都）如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径； （3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，过点作交于，两点（点在线段上），求的长． 一、B卷填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．（4分）（2019•成都）估算：　　（结果精确到 22．（4分）（2019•成都）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为　　． 23．（4分）（2019•成都）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的白球的个数为　　 24．（4分）（2019•成都）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到△，分别连接，，，则的最小值为　　． 25．（4分）（2019•成都）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点的坐标为，点在轴的上方，的面积为，则内部（不含边界）的整点的个数为　　． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 26．（8分）（2019•成都）随着技术的发展，人们对各类产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）个销售周期每台的销售价格为元，与之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的关系式； （2）设该产品在第个销售周期的销售数量为（万台），与的关系可以用来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？ 27．（10分）（2019•成都）如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接． （1）求证：； （2）当时（如图，求的长； （3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 28．（12分）（2019•成都）如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标； （3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式． 2019年四川省成都市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小題，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡 1．（3分）比大5的数是　　 A． B． C．2 D．8 【考点】19：有理数的加法 【分析】比大5的数是，根据有理数的加法法则即可求解． 【解答】解：． 故选：． 2．（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是　　 A． B． C． D． 【考点】：简单组合体的三视图 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有1个正方形，如图所示： 故选：． 3．（3分）2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【考点】：科学记数法表示较大的数 【分析】根据科学记数法的表示形式即可 【解答】解： 科学记数法表示：5500万 故选：． 4．（3分）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为　　 A． B． C． D．． 【考点】：坐标与图形变化平移 【分析】把点的横坐标减去2，纵坐标不变得到点平移后的对应点的坐标． 【解答】解：点向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为． 故选：． 5．（3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【考点】：平行线的性质；：等腰直角三角形 【分析】根据平行线的性质，即可得出，再根据等腰直角三角形中，，即可得到． 【解答】解：， ， 又等腰直角三角形中，， ， 故选：． 6．（3分）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【考点】：整式的混合运算 【分析】注意到选项中，与不属于同类项，不能合并；选项为积的乘方，选项为完全平方公式，选项为单项式除法，运用相应的公式进行计算即可． 【解答】解： 选项，与不属于同类项，不能合并，选项错误， 选项，积的乘方，选项错误， 选项，完全平方公式，选项错误 选项，单项式除法，计算正确 故选：． 7．（3分）分式方程的解为　　 A． B． C． D． 【考点】：解分式方程 【分析】先把整式方程化为分式方程求出的值，再代入最简公分母进行检验即可． 【解答】解：方程两边同时乘以得，， 解得， 把代入原方程的分母均不为0， 故是原方程的解． 故选：． 8．（3分）某校开展了主题为“青春梦想”的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是　　 A．42件 B．45件 C．46件 D．50件 【考点】：中位数 【分析】将数据从小到大排列，根据中位数的定义求解即可． 【解答】解：将数据从小到大排列为：42，45，46，50，50， 中位数为46， 故选：． 9．（3分）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重命），则的度数为　　 A． B． C． D． 【考点】：正多边形和圆；：圆周角定理 【分析】连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题； 【解答】解：如图，连接，． 是正五边形， ， ， 故选：． 10．（3分）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是　　 A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【考点】：二次函数图象与系数的关系；：二次函数图象上点的坐标特征 【分析】二次函数 ①常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于． ②抛物线与轴交点个数． △时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 【解答】解：．由于二次函数的图象与轴交于正半轴，所以，故错误； ．二次函数的图象与轴由2个交点，所以，故错误； ．当时，，即，故错误； ．因为，，所以对称轴为直线，故正确． 故选：． 二、填空题（术大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．（4分）若与互为相反数，则的值为　1　． 【考点】14：相反数；86：解一元一次方程 【分析】根据“与互为相反数”，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【解答】解：根据题意得： ， 解得：， 故答案为：1． 12．（4分）如图，在中，，点，都在边上，，若，则的长为　9　． 【考点】：等腰三角形的性质 【分析】利用等腰三角形的性质和题目的已知条件证得后即可求得的长． 【解答】解：， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：9． 13．（4分）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是　　． 【考点】：一次函数图象与系数的关系 【分析】根据，，时，函数图象经过第一、二、四象限，则有即可求解； 【解答】解：的图象经过第一、二、四象限， ， ； 故答案为； 14．（4分）如图，的对角线与相交于点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点．若，则线段的长为　4　． 【考点】：平行四边形的性质；：作图复杂作图 【分析】利用作法得到，则，利用平行四边形的性质判断为的中位线，从而得到的长． 【解答】解：由作法得， ， 四边形为平行四边形， ， ， 为的中位线， ． 故答案为4． 三、解答题（本大题共6个小题，共54分解答过程写在答题卡上 15．（12分）（1）计算：． （2）解不等式组： 【考点】：特殊角的三角函数值；：解一元一次不等式组；：零指数幂；：实数的运算 【分析】（1）本题涉及零指数幂、平方根、绝对值、特殊角的三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． （2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【解答】解：（1）原式， ， ． （2） 由①得，， 由②得，， 所以，不等式组的解集是． 16．（6分）先化简，再求值：，其中． 【考点】：分式的化简求值 【分析】可先对进行通分，可化为，再利用除法法则进行计算即可 【解答】解： 原式 将代入原式 17．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数． 【考点】：用样本估计总体；：扇形统计图；：条形统计图 【分析】（1）根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数，然后再求出在线听课的人数，即可将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （3）根据统计图中的数据可以求得该校对在线阅读最感兴趣的学生人数． 【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为：， 在线听课的人数为：， 补全的条形统计图如右图所示； （2）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是：， 即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是； （3）（人， 答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有560人． 18．（8分）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼处，测得起点拱门的顶部的俯角为，底部的俯角为，如果处离地面的高度米，求起点拱门的高度．（结果精确到1米；参考数据：，， 【考点】：解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】作于，根据矩形的性质得到，，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【解答】解：作于， 则四边形为矩形， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， 答：起点拱门的高度约为6米． 19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积． 【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）联立方程求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得； （2）联立方程求得交点的坐标，进而求得直线与轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可． 【解答】解：（1）由得， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式是； （2）解得或， ， 由直线的解析式为得到直线与轴的交点为， ． 20．（10分）如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径； （3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，过点作交于，两点（点在线段上），求的长． 【考点】：切线的性质 【分析】（1）由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，即可证； （2）通过证明，可得，可得，由勾股定理可求的长，即可求的半径； （3）过点作于点，连接，通过证明，可得，可求，即可求的长，通过证明， 可求，的长，由勾股定理可求的长，即可求的长． 【解答】证明：（1） （2）连接， ，， ，且 ， 是直径 的半径为 （3）如图，过点作于点，连接， 是切线， ，且 ，且 ， ，且 即 ， 一、B卷填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．（4分）估算：　6　（结果精确到 【考点】22：算术平方根；：近似数和有效数字 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【解答】解：， ， ． 故答案为：6 22．（4分）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为　　． 【考点】：根与系数的关系 【分析】根据“，是关于的一元二次方程的两个实数根，且”，结合根与系数的关系，列出关于的一元一次方程，解之即可． 【解答】解：根据题意得：，， ， ， 故答案为：． 23．（4分）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的白球的个数为　20　 【考点】：概率公式 【分析】设盒子中原有的白球的个数为个，根据题意列出分式方程，解此分式方程即可求得答案． 【解答】解：设盒子中原有的白球的个数为个， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解； 盒子中原有的白球的个数为20个． 故答案为：20； 24．（4分）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到△，分别连接，，，则的最小值为　　． 【考点】：轴对称最短路线问题；：等边三角形的判定与性质；：菱形的性质；：平移的性质 【分析】根据菱形的性质得到，，根据平移的性质得到，，当时，的值最小，推出四边形是矩形，，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：在边长为1的菱形中，， ，， 将沿射线的方向平移得到△， ，， 当时，的值最小， ，，，， ，， 四边形是矩形， ， ，， 的最小值为， 故答案为：． 25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点的坐标为，点在轴的上方，的面积为，则内部（不含边界）的整点的个数为　4或5或6　． 【考点】：三角形的面积；：坐标与图形性质 【分析】根据面积求出点的纵坐标是3，结合平面直角坐标系，多画些图可以观察到整数点的情况； 【解答】解：设， 点的坐标为， ， 的面积， ， 结合图象可以找到其中的一种情况：（以一种为例） 当时，有6个整数点； 当时，有5个整数点； 当时，有4个整数点； 可知有6个或5个或4个整数点； 故答案为4或5或6； 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 26．（8分）随着技术的发展，人们对各类产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）个销售周期每台的销售价格为元，与之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的关系式； （2）设该产品在第个销售周期的销售数量为（万台），与的关系可以用来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？ 【考点】：二次函数的应用 【分析】（1）根据函数图象上的两点坐标，用待定系数法求出函数的解析式便可； （2）设销售收入为万元，根据销售收入销售单价销售数量和，列出与的函数关系式，再根据函数性质求得结果． 【解答】解：（1）设函数的解析式为：，由图象可得， ， 解得，， 与之间的关系式：； （2）设销售收入为万元，根据题意得， ， 即， 当时，有最大值为16000， 此时（元 答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元． 27．（10分）如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接． （1）求证：； （2）当时（如图，求的长； （3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【考点】：相似形综合题 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）解直角三角形求出，由，推出，可得，由，推出，求出即可． （3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．作于，于，于．则，由，可得，推出，推出，再利用等腰三角形的性质，求出即可解决问题． 【解答】（1）证明：， ， ，， ， ． （2）解：如图2中，作于． 在中，设，则， 由勾股定理，得到， ， 或（舍弃）， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得． 理由：作于，于，于．则， 四边形为矩形， ，， ，， ， 在中，由勾股定理，得， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ， 点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时． 28．（12分）如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标； （3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式． 【考点】：二次函数综合题 【分析】（1）根据待定系数法，把点，，的坐标代入得到方程组求解即可； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，，由翻折得，求出的长，可得，求出的长，则坐标可求； （3）由题意可知△为等边三角形，分两种情况讨论：①当点在轴的上方时，点在轴上方，连接，．证出△，可得垂直平分，则点在直线上，可求出直线的解析式，②当点在轴的下方时，点在轴下方．同理可求出另一直线解析式． 【解答】解：（1）由题意得： 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）抛物线与轴交于，， ，抛物线的对称轴为直线， 如图，设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，， 由翻折得， 在中，由勾股定理，得， 点的坐标为，，， ， 由翻折得， 在中，， 点的坐标为． （3）取（2）中的点，，连接， ，， △为等边三角形．分类讨论如下： ①当点在轴的上方时，点在轴上方，连接，． ，△为等边三角形， ，，， ， △， ． 点在抛物线的对称轴上， ， ， 又， 垂直平分， 由翻折可知垂直平分， 点在直线上， 设直线的函数表达式为， 则，解得， 直线的函数表达式为． ②当点在轴的下方时，点在轴下方． ，△为等边三角形， ，，． ， △， ， ，， ． ， 设与轴相交于点， 在中，， 点的坐标为． 设直线的函数表达式为， 则，解得， 直线的函数表达式为． 综上所述，直线的函数表达式为或． 第33页（共33页）