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2019年四川内江市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（3分）（2019•内江）的相反数是　　 A．6 B． C． D． 2．（3分）（2019•内江）用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 3．（3分）（2019•内江）下列几何体中，主视图为三角形的是　　 A． B． C． D． 4．（3分）（2019•内江）下列事件为必然事件的是　　 A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球 B．三角形的内角和为 C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告 D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上 5．（3分）（2019•内江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 6．（3分）（2019•内江）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 7．（3分）（2019•内江）在函数中，自变量的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 8．（3分）（2019•内江）如图，在中，，，，，则的长为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 9．（3分）（2019•内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是　　 A．16 B．12 C．14 D．12或16 10．（3分）（2019•内江）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为　　 A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6 11．（3分）（2019•内江）若关于的代等式组恰有三个整数解，则的取值范围是　　 A． B． C． D．或 12．（3分）（2019•内江）如图，将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第一次操作，折痕到的距离为；还原纸片后，再将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第二次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去经过第次操作后得到折痕，到的距离记为．若，则的值为　　 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．（5分）（2019•内江）分解因式：　 　． 14．（5分）（2019•内江）已知数据0，1，2，3，4，则这组数据的方差为　 　． 15．（5分）（2019•内江）若，则分式的值为　　． 16．（5分）（2019•内江）如图，在平行四边形中，，，，以为直径的交于点，则图中阴影部分的面积为　　． 三、解题（本大题共5小题，共4分.解答应写出必要的文字说明或推演步骤.） 17．（7分）（2019•内江）计算：． 18．（9分）（2019•内江）如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结、、． （1）求证：； （2）若，请求出的长． 19．（9分）（2019•内江）“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了、、、个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）王老师采取的调查方式是　　（填“普查”或“抽样调査” ，王老师所调查的4个班共征集到作品　　件，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，表示班的扇形周心角的度数为　　； （3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分忻过程） 20．（9分）（2019•内江）如图，两座建筑物与，其中的高为120米，从的顶点测得顶部的仰角为，测得其底部的俯角为，求这两座建筑物的地面距离为多少米？（结果保留根号） 21．（10分）（2019•内江）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）结合图象直接写出的解集； （3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.） 22．（6分）（2019•内江）若，则　　． 23．（6分）（2019•内江）如图，点、、在同一直线上，且，点、分别是、的中点，分别以，，为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作、、，若，则　　． 24．（6分）（2019•内江）若、、为实数，且，则代数式的最大值是　　． 25．（6分）（2019•内江）如图，在菱形中，，点，分别在边、上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值是　　． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分.） 26．（12分）（2019•内江）某商店准备购进、两种商品，种商品毎件的进价比种商品每件的进价多20元，用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元． （1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 27．（12分）（2019•内江）与相切于点，直线与相离，于点，且，与交于点，的延长线交直线于点． （1）求证：； （2）若的半径为3，求线段的长； （3）若在上存在点，使是以为底边的等腰三角形，求的半径的取值范围． 28．（12分）（2019•内江）两条抛物线与的顶点相同． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物找在第四象限内图象上的一动点，过点作轴，为垂足，求的最大值； （3）设抛物线的顶点为点，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点顺时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2019年四川内江市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（3分）的相反数是　　 A．6 B． C． D． 【考点】14：相反数 【分析】根据相反数的定义即可得到结论． 【解答】解：的相反数是， 故选：． 2．（3分）用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【考点】：科学记数法表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：数字用科学记数法表示应为：， 故选：． 3．（3分）下列几何体中，主视图为三角形的是　　 A． B． C． D． 【考点】：简单几何体的三视图 【分析】分别找出从图形的正面看所得到的图形即可． 【解答】解：、主视图是三角形，故此选项正确； 、主视图是矩形，故此选项错误； 、主视图是圆，故此选项错误； 、主视图是矩形，故此选项错误； 故选：． 4．（3分）下列事件为必然事件的是　　 A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球 B．三角形的内角和为 C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告 D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上 【考点】：三角形内角和定理；：随机事件 【分析】一定会发生的事情称为必然事件．依据定义即可解答． 【解答】解：．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件； ．三角形的内角和为是必然事件； ．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件； ．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件； 故选：． 5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【考点】：轴对称图形；：中心对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确． 故选：． 6．（3分）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【考点】：完全平方公式；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方 【分析】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项的法则以及完全平方公式化简即可判断． 【解答】解：．，故选项不合题意； ．，故选项不合题意； ．，故选项符合题意； ．，故选项不合题意． 故选：． 7．（3分）在函数中，自变量的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 【考点】：函数自变量的取值范围 【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列出不等式，计算即可． 【解答】解：由题意得，，， 解得，且， 故选：． 8．（3分）如图，在中，，，，，则的长为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【考点】：平行线分线段成比例 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，利用比例性质求出，然后计算即可． 【解答】解：， ，即， ， ． 故选：． 9．（3分）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是　　 A．16 B．12 C．14 D．12或16 【考点】：等腰三角形的性质；：三角形三边关系；：解一元二次方程因式分解法 【分析】先利用因式分解法解方程求出的值，再根据三角形三边关系得出三角形的三边长度，继而相加即可得． 【解答】解：解方程，得：或， 若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形； 若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16， 故选：． 10．（3分）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为　　 A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6 【考点】：勾股定理；：旋转的性质 【分析】根据旋转变换的性质得到，根据等边三角形的性质解答即可． 【解答】解：由旋转的性质可知，， ，， 为等边三角形， ， ， 故选：． 11．（3分）若关于的代等式组恰有三个整数解，则的取值范围是　　 A． B． C． D．或 【考点】：一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数的取值范围． 【解答】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组恰有三个整数解， 这三个整数解为0、1、2， ， 解得， 故选：． 12．（3分）如图，将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第一次操作，折痕到的距离为；还原纸片后，再将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第二次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去经过第次操作后得到折痕，到的距离记为．若，则的值为　　 A． B． C． D． 【考点】：翻折变换（折叠问题）；38：规律型：图形的变化类 【分析】根据相似三角形的性质，对应高的比对于相似比，得出，依次得出、、、，再对进行计算变形即可． 【解答】解：是的中点，折痕到的距离为 点到的距离， 是的中点，折痕到的距离记为， 点到的距离， 同理：， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．（5分）分解因式：　　． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用 【分析】先提公因式，再对剩余项利用完全平方公式分解因式． 【解答】解：， ， ． 14．（5分）已知数据0，1，2，3，4，则这组数据的方差为　2　． 【考点】：方差 【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入计算即可． 【解答】解：这组数据的平均数是：， 则方差； 故答案为：2． 15．（5分）若，则分式的值为　　． 【考点】64：分式的值 【分析】由，可得；化简，即可求解；’ 【解答】解：，可得， ； 故答案为； 16．（5分）如图，在平行四边形中，，，，以为直径的交于点，则图中阴影部分的面积为　　． 【考点】：平行四边形的性质；：扇形面积的计算 【分析】连接，作，先求出、，，，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得． 【解答】解：如图，连接，作于点， 四边形是平行四边形，且， ， 则， ， ， ，， ， 图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 三、解题（本大题共5小题，共4分.解答应写出必要的文字说明或推演步骤.） 17．（7分）计算：． 【考点】：实数的运算；：负整数指数幂；：特殊角的三角函数值 【分析】化简每一项为； 【解答】解： ； 18．（9分）如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结、、． （1）求证：； （2）若，请求出的长． 【考点】：正方形的性质；：全等三角形的判定与性质 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，利用定理证明结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，得到为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ， ，即， ． 19．（9分）“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了、、、个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）王老师采取的调查方式是　抽样调査　（填“普查”或“抽样调査” ，王老师所调查的4个班共征集到作品　　件，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，表示班的扇形周心角的度数为　　； （3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分忻过程） 【考点】：列表法与树状图法；：条形统计图；：全面调查与抽样调查；：扇形统计图 【分析】（1）根据题意可判断王老师采取的调查方式，再利用班的作品数除以它所占的百分比得到调查的总作品件数，然后计算出班的作品数后补全条形统计图； （2）用乘以班的作品件数所占的百分比得到在扇形统计图中，表示班的扇形周心角的度数； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调査， ， 所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件， 班的作品数为（件， 条形统计图为： （2）在扇形统计图中，表示班的扇形周心角； 故答案为抽样调査；6；； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6， 所以恰好抽中一男一女的概率． 20．（9分）如图，两座建筑物与，其中的高为120米，从的顶点测得顶部的仰角为，测得其底部的俯角为，求这两座建筑物的地面距离为多少米？（结果保留根号） 【考点】：解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】作于，设，利用正切的定义用表示出，结合题意列方程求出，计算即可． 【解答】解：作于， 则四边形为矩形， ， 设， 在中，， 则， ， ， 由题意得，，即， 解得，， ， ， 答：两座建筑物的地面距离为米． 21．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）结合图象直接写出的解集； （3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）由的面积为4，可求出的值，确定反比例函数的关系式，把点坐标代入可求的值， （2）根据图象观察当自变量取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意由两部分． （3）由对称对称点关于轴的对称点，直线与轴交点就是所求的点，求出直线与轴的交点坐标即可． 【解答】解：（1）点， ， ，即， ， 点在第二象限， ， 将代入得：， 反比例函数的关系式为：， 把代入得：， 因此，； （2）由图象可以看出的解集为：或； （3）如图，作点关于轴的对称点，直线与轴交于， 此时最大， 设直线的关系式为，将，代入得： 解得：，， 直线的关系式为， 当时，即，解得， ， 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.） 22．（6分）若，则　1002　． 【考点】72：二次根式有意义的条件 【分析】由二次根式有意义的条件得到，据此去绝对值并求得的值，代入求值即可． 【解答】解：， ． 由，得， ， ． ． 故答案是：1002． 23．（6分）如图，点、、在同一直线上，且，点、分别是、的中点，分别以，，为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作、、，若，则　　． 【考点】：三角形中位线定理；：平行四边形的性质；：正方形的性质 【分析】设，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出，，，根据题意计算即可． 【解答】解：设，则，， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ，即， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 24．（6分）若、、为实数，且，则代数式的最大值是　26　． 【考点】：二次函数的最值；：解三元一次方程组 【分析】解三元一次方程组，用表示出、，根利用配方法计算即可． 【解答】解：， ①②得，， 把代入①得，， 则， 当时，的最大值是26， 故答案为：26． 25．（6分）如图，在菱形中，，点，分别在边、上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值是　　． 【考点】：翻折变换（折叠问题）；：菱形的性质 【分析】由折叠的性质可得，，，，，设，，，由勾股定理可得，，，即可求的值． 【解答】解：延长交于点， 将四边形沿翻折， ，，，， 四边形是菱形 ，， ， 设，， ， ， ， ， ， 故答案为： 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分.） 26．（12分）某商店准备购进、两种商品，种商品毎件的进价比种商品每件的进价多20元，用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元． （1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【考点】：一次函数的应用；：一元一次不等式组的应用；：分式方程的应用 【分析】（1）设种商品每件的进价是元，根据用3000元购进种商品和用1800元购进种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论； （2）设购买种商品件，根据用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，种商品的数量不低于种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论； （3）设销售、两种商品共获利元，根据商品的利润商品的利润，根据的值及一次函数的增减性可得结论． 【解答】解：（1）设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元； （2）设购买种商品件，则购买商品件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 、15、16、17、18， 商店共有5种进货方案； （3）设销售、两种商品共获利元， 由题意得：， ， ①当时，，随的增大而增大， 当时，获利最大，即买18件商品，22件商品， ②当时，， 与的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同， ③当时，，随的增大而减小， 当时，获利最大，即买14件商品，26件商品． 27．（12分）与相切于点，直线与相离，于点，且，与交于点，的延长线交直线于点． （1）求证：； （2）若的半径为3，求线段的长； （3）若在上存在点，使是以为底边的等腰三角形，求的半径的取值范围． 【考点】：圆的综合题 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质、对顶角相等得到，根据等腰三角形的判定定理证明结论； （2）连接并延长交于，连接，根据勾股定理求出，，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （3）作的垂直平分线，作于，根据勾股定理用表示出，得到的长，根据题意计算，得到答案． 【解答】（1）证明：如图1，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，连接并延长交于，连接， 则， ，， ， ， 在中，， ，， ， ，即， 解得，； （3）解：如图2，作的垂直平分线，作于， 则， 由题意得，于有交点， ，即， 解得，， 直线与相离， ， 则使是以为底边的等腰三角形，的半径的取值范围为：． 28．（12分）两条抛物线与的顶点相同． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物找在第四象限内图象上的一动点，过点作轴，为垂足，求的最大值； （3）设抛物线的顶点为点，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点顺时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】：二次函数综合题 【分析】（1）的顶点为也是的顶点，即可求，； （2）作轴，设，所以，，可得由已知可知，即可求； （3）假设的对称轴上存在点，过点作于点，可得； ①当点在顶点的下方时，可证，设点，所以，，可知，可得，可求，，②当点在顶点的上方时，同理可得． 【解答】解：（1）的顶点为， 抛物线与的顶点相同 ，， ； （2）作轴， 设， 在第四象限， ， ，， ， 的最大值为； （3）假设的对称轴上存在点， 过点作于点， ， ①当点在顶点的下方时， ，，抛物线的对称轴为， ，，， ，， 设点， ，， 可知， ， ， 或， ， ， ②当点在顶点的上方时，同理可得； 综上所述：或； 第30页（共30页）