2016届九年级（下）期末数学试卷（解析版）.doc

2015-2016学年九年级（下）期末数学试卷 　 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1．在数1，0，﹣1，﹣2中，最小的数是（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 2．下列运算正确的是（　　） A．a3•a2=a5 B．a6÷a2=a3 C．（a3）2=a5 D．（3a）3=3a3 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱柱 4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2 5．如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为（　　） A．3π B．3 C．6π D．6 6．下列事件为必然事件的是（　　） A．如果a，b是实数，那么a•b=b•a B．抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面朝上 C．汽车行驶到交通岗遇到绿色的信号灯 D．口袋中装有3个红球，从中随机摸出一球，这个球是白球 7．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 8．如图，点A、B为直线y=x上的两点，过A、B两点分别作y轴的平行线交双曲线（x＞0）于点C、D两点．若BD=2AC，则4OC2﹣0D2的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 　 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分） 9．的相反数是　　　　　　． 10．分解因式：x2y﹣y=　　　　　　． 11．据报载，2014年我国发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为　　　　　　． 12．一组数据3，9，4，9，5的众数是　　　　　　． 13．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为　　　　　　． 14．一个四边形四条边顺次为a，b，c，d且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形是　　　　　　． 15．已知直线y=ax与双曲线y=交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣x1y2+3x2y1=　　　　　　． 16．已知点P为（6，8），A为（1，4），B为（3，2）．若过点P的直线y=kx+b与线段AB有公共点，则b的取值范围是　　　　　　． 17．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=　　　　　　． 18．如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=，则MN的长为　　　　　　． 　 三、解答题（共10小题，满分96分） 19．（1）计算： +（﹣）﹣1﹣sin45°+（﹣2）0　　　　　　 （2）解方程：． 20．先化简，再求值：（ +）•（x2﹣1），其中x=． 21．某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． （1）这次被调查的同学共有　　　　　　名； （2）把条形统计图补充完整； （3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ 22．商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同． （1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是　　　　　　； （2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率． 23．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE=∠A． （1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若AC=16，tanA=，求⊙O的半径． 24．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由． 25．如图所示，小明家小区空地上有两棵笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数） 26．小明开了一家网店，进行社会实践，计划经销甲、乙两种商品．若甲商品每件利润10元，乙商品每件利润20元，则每周能卖出甲商品40件，乙商品20件．经调查，甲、乙两种商品零售单价分别每降价1元，这两种商品每周可各多销售10件．为了提高销售量，小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x元． （1）直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式：y甲=　　　　　　，y乙=　　　　　　； （2）求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系式？如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的，那么当x定为多少元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大？ 27．问题背景 两角和（差）的正切公式是数学公式中的重要公式：即：tan（α+β）= tan（α﹣β）=（α、β的取值应使公式有意义） （1）直接运用：tan75°=tan（30°+45°）=　　　　　　；tan15°=tan（45°﹣30°）=　　　　　　 （2）灵活运用：已知tanα，tanβ是方程2x2﹣3x+1=0的根，求tan（α+β）的值． （3）拓展运用 ①如图1，三个相同的正方形相接，求证：α+β=45°． ②如图2，两座建筑物AB、CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD． 28．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线上是否存在点P，使tan∠PBA=？若存在，求点P坐标及△PAB的面积． （3）将△COB沿x轴负方向平移1.5个单位至△FGH处，求△FGH与△AOC的重叠面积． （4）若点D、E分别是抛物线的对称轴l上的两动点，且纵坐标分别为n，n+6，求CE+DB的最小值及此时D、E的坐标． 　 2015-2016学年九年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1．在数1，0，﹣1，﹣2中，最小的数是（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【考点】有理数大小比较． 【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案． 【解答】解：﹣2＜﹣1＜0＜1， 故选：D． 　 2．下列运算正确的是（　　） A．a3•a2=a5 B．a6÷a2=a3 C．（a3）2=a5 D．（3a）3=3a3 【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】分别根据同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法则、合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行计算即可． 【解答】解：A、原式=a2+3=a5，故本选项正确； B、原式=a6﹣2=a4，故本选项错误； C、原式=a6，故本选项错误； D、原式=27a3，故本选项错误． 故选：A． 　 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱柱 【考点】由三视图判断几何体． 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． 【解答】解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱． 故选：A． 　 4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可求解． 【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2． 故选：D． 　 5．如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为（　　） A．3π B．3 C．6π D．6 【考点】圆锥的计算． 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【解答】解：根据题意得该圆锥的侧面积=×2×3=3． 故选：B． 　 6．下列事件为必然事件的是（　　） A．如果a，b是实数，那么a•b=b•a B．抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面朝上 C．汽车行驶到交通岗遇到绿色的信号灯 D．口袋中装有3个红球，从中随机摸出一球，这个球是白球 【考点】随机事件． 【分析】分别利用随机事件和必然事件以及不可能事件的定义分析得出即可． 【解答】解：A、如果a，b是实数，那么a•b=b•a，是必然事件，符合题意； B、抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件，不合题意； C、汽车行驶到交通岗遇到绿色的信号灯，是随机事件，不合题意； D、口袋中装有3个红球，从中随机摸出一球，这个球是白球，是不可能事件，不合题意． 故选：A． 　 7．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【考点】正方形的性质；三角形的面积． 【分析】连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，再根据正方形BEFG的边长为4，可求出S△DGE=S△GEB，S△GKE=S△GFE，再由S阴影=S正方形GBEF即可求出答案． 【解答】解：如图，连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK， 在梯形GDBE中，S△DGE=S△GEB（同底等高的两三角形面积相等）， 同理S△GKE=S△GFE． ∴S阴影=S△DGE+S△GKE， =S△GEB+S△GEF， =S正方形GBEF， =4×4 =16 故选：D． 　 8．如图，点A、B为直线y=x上的两点，过A、B两点分别作y轴的平行线交双曲线（x＞0）于点C、D两点．若BD=2AC，则4OC2﹣0D2的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】反比例函数综合题． 【分析】延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．设A、B的横坐标分别是a，b，点A、B为直线y=x上的两点，A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE=OE=a，BF=OF=b．根据BD=2AC即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解． 【解答】解：延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F． 设A、B的横坐标分别是a，b， ∵点A、B为直线y=x上的两点， ∴A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE=OE=a，BF=OF=b． ∵C、D两点在交双曲线（x＞0）上，则CE=，DF=． ∴BD=BF﹣DF=b﹣，AC=a﹣． 又∵BD=2AC ∴b﹣=2（a﹣）， 两边平方得：b2+﹣2=4（a2+﹣2），即b2+=4（a2+）﹣6． 在直角△OCE中，OC2=OE2+CE2=a2+，同理OD2=b2+， ∴4OC2﹣0D2=4（a2+）﹣（b2+）=6． 故选B． 　 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分） 9．的相反数是　　． 【考点】相反数． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：的相反数是， 故答案为：． 　 10．分解因式：x2y﹣y=　y（x+1）（x﹣1）　． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】观察原式x2y﹣y，找到公因式y后，提出公因式后发现x2﹣1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得． 【解答】解：x2y﹣y， =y（x2﹣1）， =y（x+1）（x﹣1）， 故答案为：y（x+1）（x﹣1）． 　 11．据报载，2014年我国发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为　2.5×107　． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将25000000用科学记数法表示为2.5×107． 故答案为：2.5×107． 　 12．一组数据3，9，4，9，5的众数是　9　． 【考点】众数． 【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案． 【解答】解：这组数据中出现次数最多的数据为：9． 故众数为9． 故答案为：9． 　 13．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为　17　． 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：分两种情况： 当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17； 当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去， 所以等腰三角形的周长为17． 故答案为：17． 　 14．一个四边形四条边顺次为a，b，c，d且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形是　平行四边形　． 【考点】配方法的应用；平行四边形的判定． 【分析】等号右边有2ac和2bd，可移到等号的左边，作为完全平方式的第二项，把等号左边整理为两个完全平方式相加等于0的形式，让底数为0可得四边形边长的关系，进而可得四边形的形状． 【解答】解：a2+b2+c2+d2=2ac+2bd， （a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bd+d2）=0， （a﹣c）2+（b﹣d）2=0， ∴a﹣c=0，b﹣d=0， ∴a=c，b=d． ∴四边形是平行四边形， 故答案为平行四边形． 　 15．已知直线y=ax与双曲线y=交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣x1y2+3x2y1=　﹣2　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】首先解两个解析式组成的方程组求得x1、x2以及对应的y1和y2的值，然后代入求解即可． 【解答】解：根据题意得：ax=， 即ax2=1，则x2=， 则x1=，则y1=； x2=﹣，则y2=﹣， 则﹣x1y2+3x2y1=﹣×（﹣）+3×（﹣）=1﹣3=﹣2． 故答案为﹣2． 　 16．已知点P为（6，8），A为（1，4），B为（3，2）．若过点P的直线y=kx+b与线段AB有公共点，则b的取值范围是　﹣4≤b≤3.2　． 【考点】两条直线相交或平行问题． 【分析】分别求出直线PA与PB的解析式，即可得到b的取值范围． 【解答】解：设直线PA的解析式为y=kx+b， 则，解得， 所以直线PA的解析式为y=x+3.2； 设直线PB的解析式为y=mx+n， 则，解得， 所以直线PB的解析式为y=2x﹣4； ∵过点P的直线y=kx+b与线段AB有公共点， ∴b的取值范围是﹣4≤b≤3.2． 故答案为﹣4≤b≤3.2． 　 17．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=　　． 【考点】锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理． 【分析】根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案． 【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E， 由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3， 可以得知△ABC是等腰三角形， 由面积相等可得， BC•AD=AB•CE， 即CE==， sinA===， 故答案为：． 　 18．如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=，则MN的长为　　． 【考点】正方形的性质；勾股定理． 【分析】连接GM，GN，由AG=AB=AD，利用“HL”证明△AGE≌△ABE，△AGF≌△ADF，从而有BE=EG=4，DF=FG=6，设正方形的边长为a，在Rt△CEF中，利用勾股定理求a的值，再利用勾股定理求正方形对角线BD的长，再证明△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，得出MG=BM，NG=ND，∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，在Rt△GMN中，利用勾股定理求MN的值． 【解答】解：如图，连接GM，GN， ∵AG=AB，AE=AE，∴△AGE≌△ABE， 同理可证△AGF≌△ADF， ∴BE=EG=4，DF=FG=6， 设正方形的边长为a，在Rt△CEF中，CE=a﹣4，CF=a﹣6， 由勾股定理，得CE2+CF2=EF2，即（a﹣4）2+（a﹣6）2=102， 解得a=12或﹣2（舍去负值）， ∴BD=12， 易证△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN， ∴MG=BM=3，NG=ND=12﹣3﹣MN=9﹣MN， ∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°， 在Rt△GMN中，由勾股定理，得MG2+NG2=MN2， 即（3）2+（9﹣MN）2=MN2， 解得MN=5． 故答案为：5． 　 三、解答题（共10小题，满分96分） 19．（1）计算： +（﹣）﹣1﹣sin45°+（﹣2）0　　　　　　 （2）解方程：． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值． 【分析】（1）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）原式=3﹣2﹣×+1=3﹣2﹣1+1=1； （2）去分母得：3x+3=2x﹣2， 解得：x=﹣5， 经检验x=﹣5是分式方程的解． 　 20．先化简，再求值：（ +）•（x2﹣1），其中x=． 【考点】分式的化简求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=•（x2﹣1） =2x+2+x﹣1 =3x+1， 当x=时，原式=． 　 21．某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． （1）这次被调查的同学共有　1000　名； （2）把条形统计图补充完整； （3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可； （2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可； （3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可． 【解答】解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）； 故答案为：1000； （2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200， 补图如下； （3）18000×=3600（人）． 答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐． 　 22．商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同． （1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是　　； （2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】（1）由商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到雪碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）∵商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同， ∴他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是：； 故答案为：； （2）画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种情况， ∴他恰好买到雪碧和奶汁的概率为： =． 　 23．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE=∠A． （1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若AC=16，tanA=，求⊙O的半径． 【考点】切线的判定． 【分析】（1）连接DO，BD，如图，由于∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，则∠ADO=∠EDB，再根据圆周角定理得∠ADB=90°，所以∠ADO+∠ODB=90°，于是得到∠ODB+∠EDB=90°，然后根据切线的判定定理可判断DE为⊙O的切线； （2）利用等角的余角相等得∠ABD=∠EBD，加上BD⊥AC，根据等腰三角形的判定方法得△ABC为等腰三角形，所以AD=CD=AC=8，然后在Rt△ABD中利用正切定义可计算出BD=6，再根据勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径． 【解答】解：（1）DE与⊙O相切．理由如下： 连接DO，BD，如图， ∵∠BDE=∠A，∠A=∠ADO， ∴∠ADO=∠EDB， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADO+∠ODB=90°， ∴∠ODB+∠EDB=90°，即∠ODE=90°， ∴OD⊥DE， ∴DE为⊙O的切线； （2）∵∠BDE=∠A， ∴∠ABD=∠EBD， 而BD⊥AC， ∴△ABC为等腰三角形， ∴AD=CD=AC=8， 在Rt△ABD中，∵tanA==， ∴BD=×8=6， ∴AB==10， ∴⊙O的半径为5． 　 24．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由． 【考点】反比例函数综合题． 【分析】（1）由AC=BC，且OC⊥AB，利用三线合一得到O为AB中点，求出OB的长，确定出B坐标，从而得到P点坐标，将P与A坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式； （2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，根据菱形的特点得出D点的坐标． 【解答】解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0）， ∴O为AB的中点，即OA=OB=4， ∴P（4，2），B（4，0）， 将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：， 解得：k=，b=1， ∴一次函数解析式为y=x+1， 将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=； （2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，连接DC与PB交于E， ∵四边形BCPD为菱形， ∴CE=DE=4， ∴CD=8， 将x=8代入反比例函数y=得y=1， ∴D点的坐标为（8，1） ∴则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）． 　 25．如图所示，小明家小区空地上有两棵笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】设CD=xm，先在Rt△BCD中，由于∠DBC=45°，则根据等腰直角三角形的性质得BC=CD=x，再在Rt△DAC中，利用正切定义得到x+2=x，解得x=+1，即BC=CD=+1，然后在Rt△FBE中根据等腰直角三角形的性质得FE=BE=BC+CE≈5.7． 【解答】解：设CD=xm， 在Rt△BCD中，∵∠DBC=45°， ∴BC=CD=x， 在Rt△DAC中，∵∠DAC=30°， ∴tan∠DAC=， ∴x+2=x，解得x=+1， ∴BC=CD=+1， 在Rt△FBE中，∵∠DBC=45°， ∴FE=BE=BC+CE=+1+3≈5.7． 答：树EF的高度约为5.7m． 　 26．小明开了一家网店，进行社会实践，计划经销甲、乙两种商品．若甲商品每件利润10元，乙商品每件利润20元，则每周能卖出甲商品40件，乙商品20件．经调查，甲、乙两种商品零售单价分别每降价1元，这两种商品每周可各多销售10件．为了提高销售量，小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x元． （1）直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式：y甲=　10x+40　，y乙=　10x+20　； （2）求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系式？如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的，那么当x定为多少元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据题意可以列出甲、乙两种商品每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式； （2）根据每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的，列出不等式求出x的取值范围，根据题意列出二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出对称轴方程，得到答案． 【解答】解：（1）由题意得，y甲=10x+40； y乙=10x+20； （2）由题意得， W=（10﹣x）（10x+40）+（20﹣x）（10x+20） =﹣20x2+240x+800， 由题意得，10x+40≥（10x+20） 解得x≤2， W=﹣20x2+240x+800 =﹣20（x﹣6）2+1520， ∵a=﹣20＜0， ∴当x＜6时，W随x增大而增大， ∴当x=2时，W的值最大． 答：当x定为2元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大． 　 27．问题背景 两角和（差）的正切公式是数学公式中的重要公式：即：tan（α+β）= tan（α﹣β）=（α、β的取值应使公式有意义） （1）直接运用：tan75°=tan（30°+45°）=　2+　；tan15°=tan（45°﹣30°）=　2﹣　 （2）灵活运用：已知tanα，tanβ是方程2x2﹣3x+1=0的根，求tan（α+β）的值． （3）拓展运用 ①如图1，三个相同的正方形相接，求证：α+β=45°． ②如图2，两座建筑物AB、CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD． 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】（1）利用tan（α+β）=，tan（α﹣β）=计算即可； （2）由根与系数的关系得出tanα+tanβ=，tanα•tanβ=，再代入tan（α+β）=，计算即可求解； （3）①利用网格结构，根据正切函数的定义得出tanα=，tanβ=，然后求出tan（α+β）==1，即可证明α+β=45°； ②过A作AE⊥CD于E，则ABDE是矩形，DE=AB=9，CE=6．设BD=AE=xm，∠CAE=α，∠DAE=β，根据正切函数的定义得出tanα==，tanβ==．由tan（α+β）=tan45°=1，得出方程=1，解方程即可． 【解答】（1）解：tan75°=tan（30°+45°）===2+； tan15°=tan（45°﹣30°）===2﹣． 故答案为2+；2﹣； （2）解：∵tanα，tanβ是方程2x2﹣3x+1=0的根， ∴tanα+tanβ=，tanα•tanβ=， ∴tan（α+β）===3； （3）①证明：∵tanα=，tanβ=， ∴tan（α+β）====1， ∴α+β=45°； ②解：如图，过A作AE⊥CD于E，则ABDE是矩形，DE=AB=9，CE=CD﹣DE=15﹣9=6． 设BD=AE=xm，∠CAE=α，∠DAE=β，α+β=∠CAD=45°． 在Rt△CAE中，tanα==， 在Rt△DAE中，tanβ==． ∵tan（α+β）=tan45°=1， ∴=1， 整理得x2﹣15x﹣54=0， 解得x1=18，x2=﹣3（不合题意舍去）， 经检验，x=18是原方程的根，也符合题意． 答：建筑物AB和CD的底部之间的距离BD为18m． 　 28．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线上是否存在点P，使tan∠PBA=？若存在，求点P坐标及△PAB的面积． （3）将△COB沿x轴负方向平移1.5个单位至△FGH处，求△FGH与△AOC的重叠面积． （4）若点D、E分别是抛物线的对称轴l上的两动点，且纵坐标分别为n，n+6，求CE+DB的最小值及此时D、E的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）设交点式y=a（x+3）（x﹣1），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式； （2）作PH⊥x轴于H，如图1，设P（t，﹣t2﹣2t+3），分类讨论：利用tan∠PBA==得到=，或=，然后分别解方程求出t得到P点坐标，再利用三角形面积公式计算对应的△PAB的面积； （3）FG、FH分别交AC于N、M，如图2，利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣3x+3，再利用直线平移的规律得到直线FH的解析式为y=﹣3x﹣，利用点平移的规律得到H（﹣，0），G（﹣，0），接着通过解方程组得M（﹣，），然后根据三角形面积公式，利用△FGH与△AOC的重叠面积=S△MAO﹣S△ANG进行计算即可； （4）把C点沿y轴向下平移6个单位得到G（0，﹣3），连结AG交抛物线的对称轴（直线x=﹣1）于D，连结DB，易得四边形CEDG为平行四边形，则DG=CE，由于DB+CE=DA+DG=AG，根据两点之间线段最短可判断此时DB+CE最小，根据勾股定理可计算出最小值，接着求出直线AG的解析式，然后确定D点和E点坐标． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1）， 把C（0，3）代入得a•3•（﹣1）=3，解得a=﹣1， 所以抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3； （2）存在． 作PH⊥x轴于H，如图1，tan∠PBA==， 设P（t，﹣t2﹣2t+3）， 当点P在x轴上方时， =， 整理得3t2+5t﹣8=0，解得t1=1（舍去），t2=﹣， 此时P点坐标为（﹣，），S△PAB=•（1+3）•=； 当点P在x轴下方时， =， 整理得3t2+7t﹣10=0，解得t1=1（舍去），t2=﹣， 此时P点坐标为（﹣，﹣），S△PAB=•（1+3）•=； 综上所述，P点坐标为（﹣，），S△PAB=；P点坐标为（﹣，﹣），S△PAB=； （3）FG、FH分别交AC于N、M，如图2， 设直线BC的解析式为y=mx+n， 把C（0，3），B（1，0）代入得，解得， 所以直线BC的解析式为y=﹣3x+3， 把直线y=﹣3x+3向左平移个单位得到直线FH的解析式为y=﹣3（x+）+3=﹣3x﹣，点B平移到H（﹣，0），点O平移得到G（﹣，0） 易得直线AC的解析式为y=x+3，△OAC为等腰直角三角形，则△ANG为等腰直角三角形， 所以NG=AG=3﹣=，解方程组得，则M（﹣，）， 所以△FGH与△AOC的重叠面积=S△MAO﹣S△ANG=×（﹣+3）×﹣××=； （4）把C点沿y轴向下平移6个单位得到G（0，﹣3），连结AG交抛物线的对称轴（直线x=﹣1）于D，连结DB，如图3， 则DB=DA，DE=CG， 所以四边形CEDG为平行四边形，则DG=CE， 所以DB+CE=DA+DG=AG，此时DB+CE最小，最小值为=3， 设直线AG的解析式为y=px+q， 把A（﹣3，0），G（0，﹣3）代入得，解得， 所以直线AG的解析式为y=﹣x﹣3， 当x=﹣1时，y=﹣x﹣3=﹣2，则D（﹣1，﹣2），E（﹣1，4）． 　 2016年5月1日 第24页（共24页）