2021年长沙市初中学业水平考试试卷数学 教师版.docx

2021年长沙市初中学业水平考试试卷 数学 注意事项: 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个实数中，最大的数是 A． B． C． D．4 【答案】D 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：实数的大小比较.选D. 2．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为人，将数据用科学记数法表示为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：科学计数法，其表示形式为，其中.选B. 3．下列几何图形中，是中心对称图形的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：中心对称图形.选C. 4．下列计算正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：整式的运算.选A. 幂的运算相关公式：同底数幂的乘法：，同底数幂的除法：，幂的乘方： 5．如图，，分别与，交于点，，，则的 度数为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：对顶角相等，平行线的性质（两直线平行，同旁内角相等）. ∵，∴ ∵，∴，选A. 6．如图，点，，在上，，则的度数为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），属于简单题. ∵，∴.选B. 7．下列函数图象中，表示直线的是 【答案】B 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：一次函数的图象与性质. ∵直线的解析式为，，则函数图象随着的增大而增大，排除A、C，过点，排除D，故选B. 8．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位:）分别是： ，，，，，，，，．则这组数据的众数和中位数分别是 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：众数、中位数的概念. 众数指在一组数据中，出现次数最多的数，结合数据：22，出现1次；23，出现3次；24，出现2次；25，出现2次；26，出现1次；故众数为23；中位数是指将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排序，若数据个数为奇数，则中间那位数为中位数，若数据个数为偶数，则中位数为中间两位数的的平均数.在这组数据中，由小到大排序为，，，，，，，，，数据个数为9，故中位数为24，故选C. 9．有一枚质地均匀的正方体股子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：概率的计算.两次可能出现的点数之和列表如下，所以点数之和为5的概率为.故选A. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 10．在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是 A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9； B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7； C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4； D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9． 【答案】A 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：逻辑与推理． 因为每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，所以，，故乙拿的是1和3，丁拿的是2和5，由，甲拿的是4和7，丁拿的6和10，，戊拿的是8和9.选A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式:_______． 【答案】 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：合并同类项分解因式． 12．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为_______． 【答案】 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：垂径定理，等腰直角三角形的性质． 由图可知，，∴，又，∴是等腰直角三角形，∴ 13．如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为_______． 【答案】12 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：中位线定理，菱形的性质． ∵菱形，∴，又是的中点，∴为的中位线， ∴ 14．若关于的方程的一个根为3，则的值为_______． 【答案】 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：一元二次方程． 将方程的一个根代入方程，，可得. 15．如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为_______． 【答案】 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． ∵平分交于点，，，∴ 又，∴ 16．某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如右两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为等的作品份数为_______． 【答案】50 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：条形统计图和扇形统计图的分析，方程． 由图可知，等作品份数为30，占总作品数的，设总份数为，则有，解得，即总作品数为120份，∴等作品份数为. 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算:． 【答案】5 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：整式运算，绝对值化简，特殊角的三角函数，零次幂，二次根式的乘法． 解： 18．先化简，再求值： ,其中． 【答案】1 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：整式及其运算． 解：原式 ∵，∴原式 19．人教版初中数学教科书八年级上册第页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：. 求作：，使得. 作法：如图. （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段 ，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题: （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴ （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是_______．（填序号） ① ② ③ ④ 【答案】（1）见解析；（2）④. 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：全等三角形 （1）证明：由作图可知，在和中，∴ （2）由（1）可知证明这两个三角形全等的依据是“边边边（）”，选④. 20．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个． （1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率； （2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少? 【答案】（1）；（2）36. 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：频数与频率，方程． （1）频率指每小组的频数与数据总数的比值，题中总参与人数为60000，参与该游戏免费得到景点吉祥物的人数为15000，所以频率为. （2）由（1）可知，设白球和红球总数接近为，则白球为个，由题意，解得球的总数为48个，所以白球接近36个. 21．如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，． （1）求证：是矩形; （2）求的长． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：等边三角形和矩形的性质，矩形的判定． （1）证明：∵是等边三角形，∴， ∴ 又在中，，∴，∴ ∴ ∴是矩形； （2）由（1）知，，，∴， 由勾股定理知，∴ 22．为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分． （1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题? （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 【答案】（1）该同学答对22题，答错2题;（2）参赛至少需答对23道题. 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：二元一次方程组，一元一次不等式． （1）设该同学答对题，答错题，由题意可列方程组为，解得， ∴该同学答对22题，答错2题； （2）设至少答对道题才能被评为“学党史小达人”，则答错道题， 由题意，，解得，所以参赛至少需答对23道题. 22．如图，在中,，垂足为，，延长至，使得,连接 （1）求证：； （2）若，，求的周长和面积． 【答案】（1）见解析；（2）， 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：垂直平分线的性质及判定，等腰三角形性质及判定，勾股定理． （1）∵，，∴是的垂直平分线， ∴，∴是等腰三角形 ∴（等边对等角） （2），由（1）知，∴ 又∵，∴、是直角三角形， ∵，，∴由勾股定理知，， ∴，即的周长为 面积 24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴 对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若点与点是关于的“函数” 的图象上的一对“点”，则____，____，____(将正确答案填在相应的横线上)； （2）关于的函数（,是常数）是“函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由； （3）若关于的“函数”(，且，，是常数)经过坐标原点，且与直线(，，且,是常数)交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；有，则请说明理由． 【答案】（1），，；（2）不是，理由见解析；（3）过定点，理由见解析. 【解析】（湖南长沙赵文成） 本题考点：函数新定义题，在平面直角坐标系表示两点关于轴对称，一次函数，二次函数，一元二次方程，分式化简变形等. （1）由题意点与点关于轴对称，则，， ∵，∴将点代入，; 综上，，， （2）不是；∵（,是常数）是一次函数，函数图象上不存在关于轴对称的两点，所以是“函数”； （3）是关于的“函数”，则函数对称轴为，又，∴； 又函数过原点，∴；∴； 与直线(，，且,是常数)交于，两点，；联立方程，，整理得， ∴， 又， ∴，∴ ∴，∴，∴ 令，即时，，∴过定点 25．如图，点为以为直径的半圆的圆心，点，在直径上，点，在上，四边形为正方形，点在上运动（点与点，不重合），连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求的值； （2）求的值； （3）令，，直径（，是常数），求关于的函数解析式，并指明自变量的取值范围． 【答案】（1）；（2）； （3）， 【解析】（湖南长沙赵文成） （1）过点作，如图则（垂径定理） ∵四边形是正方形，∴， ∴，又，∴， ∴四边形是平行四边形，∴四边形是矩形 ∴，∴，， （同角） 由勾股定理：， 即，∴， ∴ （2）由（1）可知，，， ， ∴ （3）∵，∴， 又有（2）知，∴（*） 又，∴，即 ， 又∵为直径，∴，由正方形可知，， ∴，，∴，∴， ∴，即，∴ ∴，将（*）代入，得 由（2）知，，，∴，∴ ∴连接，如图，易证，∴ ∴， ∵在弧上运动，与不重合，∴， 连接，不与重合，∴， 综上， ∴关于的函数解析式为：，