2021年湖南省怀化市中考数学真题试卷解析版.doc

2021年湖南省怀化市中考数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．数轴上表示数5的点和原点的距离是（　　） A． B．5 C．﹣5 D．﹣ 2．到2020年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约9980万的贫困人口实现了脱贫．将数据9980万用科学记数法表示是（　　） A．9.98×103 B．9.98×105 C．9.98×106 D．9.98×107 3．以下说法错误的是（　　） A．多边形的内角大于任何一个外角 B．任意多边形的外角和是360° C．正六边形是中心对称图形 D．圆内接四边形的对角互补 4．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（　　） A．没有实数根 B．两根之和是3 C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根 5．下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（　　） A． B． C． D． 6．定义a⊗b＝2a+，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 7．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（　　） A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心 C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心 8．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（　　） A． B． C． D． 9．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 10．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（　　） A．ME＝ B．ME＝ C．ME＝1 D．ME＝ 二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11．比较大小：　 　（填写“＞”或“＜”或“＝”）． 12．函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是 　 　． 14．为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间（单位：h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是 　 　，众数是 　 　． 15．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 　 　．（结果保留π） 16．观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17．（8分）计算：． 18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝． 19．（10分）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）． 其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈ 20．（10分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF． 求证：（1）△ADE≌△CBF； （2）ED∥BF． 21．（12分）某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表． 等级 频数（人数） 频率 优秀 60 0.6 良好 a 0.25 合格 10 b 基本合格 5 0.05 合计 c 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）补全条形统计图； （3）该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？ （4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率． 22．（12分）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求AD的长． 23．（12分）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 8000 二 200 300 13000 （1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ （3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？ 24．（14分）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程． （4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 2021年湖南省怀化市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1．数轴上表示数5的点和原点的距离是（　　） A． B．5 C．﹣5 D．﹣ 【分析】根据两点间的距离公式即可求解． 【解答】解：数轴上表示数5的点和原点的距离是5； 故选：B． 2．到2020年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约9980万的贫困人口实现了脱贫．将数据9980万用科学记数法表示是（　　） A．9.98×103 B．9.98×105 C．9.98×106 D．9.98×107 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【解答】解：9980万＝99800000＝9.98×107． 故选：D． 3．以下说法错误的是（　　） A．多边形的内角大于任何一个外角 B．任意多边形的外角和是360° C．正六边形是中心对称图形 D．圆内接四边形的对角互补 【分析】直接利用中心对称图形的定义以及圆内接四边形的性质、多边形的外角和的性质分别分析得出答案． 【解答】解：A．多边形的内角不一定大于任何一个外角，故此选项错误，符合题意； B．任意多边形的外角和是360°,正确，不合题意； C．正六边形是中心对称图形,正确，不合题意； D．圆内接四边形的对角互补,正确，不合题意； 故选：A． 4．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（　　） A．没有实数根 B．两根之和是3 C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝b2﹣4ac，即可求出△＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项）． 【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0， ∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根． 故选：A． 5．下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】圆锥侧面是曲面，所以侧面展开后是扇形． 【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形， 故选：B． 6．定义a⊗b＝2a+，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值． 【解答】解：根据题中的新定义得： 3⊗x＝2×3+， 4⊗2＝2×4+， ∵3⊗x＝4⊗2， ∴2×3+＝2×4+， 解得：x＝， 经检验，x＝是分式方程的根． 故选：B． 7．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（　　） A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心 C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心 【分析】根据题意判断AD是∠BAC的角平分线，可知C正确，根据重心和外心定义可知B、D选项错误，根据三角形任意两边之和大于第三边可知A错误． 【解答】解：由题可知AD是∠BAC的角平分线， A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故选项A错误，不符合题意； B、△ABC的重心是三条中线的交点，故选项B错误，不符合题意； C、∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，故选项C正确，符合题意； D、△ABC的外心是三边中垂线的交点，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 8．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式2x+1≥x﹣1，得：x≥﹣2， 解不等式﹣x＞﹣1，得：x＜2， 则不等式组的解集为﹣2≤x＜2， 故选：C． 9．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 【解答】解：①“水中捞月”是不可能事件，符合题意； ②“守株待兔”是随机事件，不合题意； ③“百步穿杨”，是随机事件，不合题意； ④“瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意； 故选：A． 10．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（　　） A．ME＝ B．ME＝ C．ME＝1 D．ME＝ 【分析】过N作y轴和x轴的垂线NG，NH，证明四边形NGOH是矩形，设N（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab＝，进而可计算出CO长，根据三角函数可得∠CDO＝30°，再根据菱形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝2∠CDO＝60°，∠ACD＝60°，进而即可证得△ABC是等边三角形，得出AE＝OB＝2,由∠BAE＝30°＝∠ABO,得出AM＝BM,则EM＝OM,从而得到3EM＝OB＝2,进而可得EM长． 【解答】解：过N作y轴和x轴的垂线NG，NH， 设N（b，a）， ∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点N， ∴ab＝， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，DO＝BD＝2， ∵NH⊥x轴，NG⊥y轴， ∴四边形NGOH是矩形， ∴NG∥x轴，NH∥y轴， ∵N为CD的中点， ∴DO•CO＝2a•2b＝4ab＝， ∴CO＝， ∴tan∠CDO＝＝． ∴∠CDO＝30°， ∴∠DCO＝60°, ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADC＝∠ABC＝2∠CDO＝60°，∠ACB＝∠DCO＝60°, ∴△ABC是等边三角形， ∵AE⊥BC，BO⊥AC, ∴AE＝BO＝2,∠BAE＝30°＝∠ABO, ∴AM＝BM, ∴OM＝EM, ∵∠MBE＝30°, ∴BM＝2EM＝2OM, ∴3EM＝OB＝2, ∴ME＝， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11．比较大小：　＞　（填写“＞”或“＜”或“＝”）． 【分析】先估算出12，再除以2即可． 【解答】解：∵1＜＜2， ∴＜1， 即＞， 故答案为：＞． 12．函数y＝的自变量x的取值范围是 　x≥2且x≠3　． 【分析】让二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0列不等式组求解集即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：x≥2且x≠3， 故答案为：x≥2且x≠3． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是 　（2,2）　． 【分析】根据题意，画出图形，可得结论． 【解答】解：如图，观察图象可知A2(2,2)． 故答案为：（2,2）． 14．为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间（单位：h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是 　4h　，众数是 　3h　． 【分析】将这组数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可． 【解答】解：将这组数据重新排列为3，3，3，4，5，5，6， 所以这组数据的中位数为4h，众数为3h， 故答案为：4h，3h． 15．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 　π﹣　．（结果保留π） 【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论． 【解答】解：∵∠C＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB ＝ ＝π﹣． 故答案为：π﹣． 16．观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 　m2﹣m　． 【分析】归纳出数字的变化规律，给已知数列求和，并用含m的代数式表示出来即可． 【解答】解：由题意得： 2100+2101+2102+…+2199， ＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299）， ＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2）， ＝（2100）2﹣2100， ＝m2﹣m， 故答案为：m2﹣m． 三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17．（8分）计算：． 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝1﹣2+9+4×+1 ＝1﹣2+9+2+1 ＝11． 18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝． 【分析】直接利用分式的混合运算法则化简,再把已知数据代入得出答案． 【解答】解：原式＝+• ＝+ ＝+ ＝ ＝ ＝, 当x＝+2时， 原式＝＝＝． 19．（10分）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）． 其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈ 【分析】过C作CF⊥AE于F，则FC＝AD＝20米，AF＝DC，由锐角三角函数定义分别求出AF、BD的长，即可解决问题． 【解答】解：过C作CF⊥AE于F，如图所示： 则FC＝AD＝20米，AF＝DC， 在Rt△ACF中，∠EAC＝22°， ∵tan∠EAC＝＝tan22°≈， ∴DC＝AF≈FC＝50（米）， 在Rt△ABD中，∠ABD＝∠EAB＝67°， ∵tan∠ABD＝＝tan22°≈， ∴BD≈AD＝（米）， ∴BC＝DC﹣BD＝50﹣≈41.7（米）， 即大桥BC的长约为41.7米． 20．（10分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF． 求证：（1）△ADE≌△CBF； （2）ED∥BF． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到DA＝BC，DA∥BC，然后即可得到∠EAD＝∠FCB，再根据SAS即可证明△ADE≌△CBF； （2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质，可以得到∠E＝∠F，从而可以得到ED∥BF． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DA＝BC，DA∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°， ∴∠EAD＝∠FCB， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）由（1）知，△ADE≌△CBF， ∴∠E＝∠F， ∴ED∥BF． 21．（12分）某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表． 等级 频数（人数） 频率 优秀 60 0.6 良好 a 0.25 合格 10 b 基本合格 5 0.05 合计 c 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）a＝　25　，b＝　0.1　，c＝　100　； （2）补全条形统计图； （3）该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？ （4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率． 【分析】（1）由优秀的人数除以频率得出抽取的学生人数，即可解决问题； （2）由（1）的结果，补全条形统计图即可； （3）由学校总人数乘以等级在合格以上（包括合格）的学生的频率即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）抽取的学生人数为：60÷0.6＝100（人）， ∴c＝100， ∴a＝100﹣60﹣10﹣5＝25，b＝10÷100＝0.1， 故答案为：25，0.1，100； （2）补全条形统计图： （3）估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有人数为：1600×（0.6+0.25+0.1）＝1520（人）； （4）画树状图如图： 共有12种等可能的结果，甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种， ∴甲、乙两名同学同时被选中的概率为＝． 22．（12分）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求AD的长． 【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线； （2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝6，再证明△DAC∽△CAB，得＝，即＝，从而可得AD＝． 【解答】（1）证明：连接OC，如图： ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠CAO， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC， ∵AD⊥DC， ∴CO⊥DC， ∴CD是⊙O的切线； （2）∵E是BC的中点，且OA＝OB， ∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE， ∵OE＝3， ∴AC＝6， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°＝∠ADC， 又∠DAC＝∠CAB， ∴△DAC∽△CAB， ∴＝，即＝， ∴AD＝． 23．（12分）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 8000 二 200 300 13000 （1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ （3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？ 【分析】（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据：利润＝（每台实际售价﹣每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值； （3）设总利润为w元，购进A种水杯a个，根据总利润＝单个利润×销售数量，即可得出w关于a的函数关系式，由w值与a值无关可得出b的值，再代入b值即可求出w的值． 【解答】解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元； （2）设超市应将B型水杯降价a元时，每天售出B型水杯的利润为W元，根据题意， 得：W＝（44﹣a﹣30）（20+5a） ＝﹣5a2+50a+280 ＝﹣5（a﹣5）2+405， ∴当a＝5时，W取得最大值，最大值为405元， 答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元； （3）∵设总利润为w元，购进A种水杯a个， 依题意，得：w＝（10﹣b）a+9×＝（10﹣6﹣b）a+3000， ∵捐款后所得的利润始终不变， ∴w值与a值无关， ∴10﹣6﹣b＝0，解得：b＝4， ∴w＝（10﹣6﹣4）a+3000＝3000， 答：捐款后所得的利润始终不变，此时b为4元，利润为3000元． 24．（14分）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程． （4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）当∠CP′M为直角时，则P′C∥x轴，即可求解；当∠PCM为直角时，用解直角三角形的方法求出PN＝MN+PM＝6+＝，即可求解； （3）作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，进而求解； （4）证明△ANQ≌△QMC（AAS），则QN＝CM，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）、（0，8）， 设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8； （2）存在，理由： 当∠CP′M为直角时， 则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴， 则点P′的坐标为（1，8）； 当∠PCM为直角时， 在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝＝2＝tanα，则sinα＝，cosα＝， 在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3， 则BM＝＝3， 同理可得，MN＝6， 由点B、C的坐标得，BC＝＝4，则CM＝BC＝MB＝， 在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α， 则PM＝＝＝， 则PN＝MN+PM＝6+＝， 故点P的坐标为（1，）， 故点P的坐标为（1，8）或（1，）； （3）∵D为CO的中点，则点D（0，4）， 作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4）， 连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点， 理由：G走过的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′为最短， 由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y＝6x﹣4， 对于y＝6x﹣4，当y＝6x﹣4＝0时，解得x＝，当x＝1时，y＝2， 故点E、F的坐标分别为（，0）、（1，2）； G走过的最短路程为C′D′＝＝2； （4）存在，理由： 设点Q的坐标为（x，﹣x2+2x+8）， 故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M， ∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°， ∴∠MQC＝∠QRE， ∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC， ∴△ANQ≌△QMC（AAS）， ∴QN＝CM， 即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝（不合题意的值已舍去）， 故点Q的坐标为（，）．