2021年四川省资阳市中考数学真题 解析版.doc

2021年四川省资阳市中考数学试卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1．2的相反数是（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A．a2+a2＝2a4 B．a2⋅a＝a3 C．（3a）2＝6a2 D．a6+a2＝a3 3．如图是由6个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知直线m∥n，∠1＝40°，则∠3的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 5．15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩（　　） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 6．若a＝，b＝，c＝2，b，c的大小关系为（　　） A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 7．下列命题正确的是（　　） A．每个内角都相等的多边形是正多边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线 D．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分 8．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝，则GM的长为（　　） A． B． C． D． 9．一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境： ①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟； ②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升； ③在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1.5，△ABP的面积为y． 其中，符合图中函数关系的情境个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 10．已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若x1＜m≤x2，则a的取值范围为（　　） A．﹣4≤a＜﹣ B．﹣4≤a≤﹣ C．﹣≤a＜0 D．﹣＜a＜0 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．中国共产党自1921年诞生以来，仅用了100年时间，党员人数从建党之初的50余名发展到如今约92000000名　 　． 12．将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起．若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为 　 　． 13．若x2+x﹣1＝0，则3x﹣＝　 　． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cmcm以点B为圆心，AB长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2． 15．将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，再将△AOB展开得到如图3的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为 　 　． 16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连结CF．有下列结论：①AF＝CF2＝EF•FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH＝　 　． 三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（9分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x﹣3＝0． 18．（10分）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图； （2）若D类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率． 19．（10分）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的 20．（10分）如图，已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m，3）、B（3，n）两点． （1）求直线AB的解析式； （2）连结AO并延长交双曲线于点C，连结BC交x轴于点D，连结AD 21．（11分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝6，tanE＝，求AF的长． 22．（11分）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） （1）求D处的竖直高度； （2）求基站塔AB的高． 23．（12分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90° （1）如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，连结CE．试探究BD与CE的关系； （2）如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2，AD交BC于点F，求AF的长； （3）如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，AB2＝6，AD2＝4+，求sin∠BCD的值． 24．（13分）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，求点P的坐标； （3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，连结CN．当D'N+CN的值最小时 2021年四川省资阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1．2的相反数是（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 【分析】根据相反数的表示方法：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． 【解答】解：2的相反数是﹣2． 故选：A． 2．下列计算正确的是（　　） A．a2+a2＝2a4 B．a2⋅a＝a3 C．（3a）2＝6a2 D．a6+a2＝a3 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可． 【解答】解：A.a2+a2＝3a2，因此选项A不正确； B.a2•a＝a7+1＝a3，因此选项B正确； C.（4a）2＝9a4，因此选项C不正确； D.a6与a2不是同类项，不能合并计算； 故选：B． 3．如图是由6个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】由俯视图中相应位置上摆放的小立方体的个数，可得出主视图形状，进而得出答案． 【解答】解：主视图看到的是两列，其中左边的一列为3个正方形， 因此选项C中的图形符合题意， 故选：C． 4．如图，已知直线m∥n，∠1＝40°，则∠3的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 【分析】由两直线平行，同位角相等得到∠4＝40°，在根据三角形的外角性质即可得解． 【解答】解：如图， ∵直线m∥n，∠1＝40°， ∴∠4＝∠7＝40°， ∵∠3＝∠2+∠2，∠2＝30°， ∴∠3＝30°+40°＝70°， 故选：B． 5．15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩（　　） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【解答】解：由于总共有15个人，且他们的成绩互不相同，要判断是否进入前8名． 故选：D． 6．若a＝，b＝，c＝2，b，c的大小关系为（　　） A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【分析】根据算术平方根、立方根的意义估算出a、b的近似值，再进行比较即可． 【解答】解：∵＜＜， ∴1＜＜2， 即1＜a＜3， 又∵2＜＜6， ∴2＜b＜3， ∴a＜c＜b， 故选：C． 7．下列命题正确的是（　　） A．每个内角都相等的多边形是正多边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线 D．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分 【分析】利用正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中位线定理进行判断即可选出正确答案． 【解答】解：A、每条边，故错误； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题； C、过线段中点，故错误； D、三角形的中位线将三角形的面积分成1：3两部分，是假命题． （∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝， ∴△ADE∽△ABC，相似比为1:7， ∴S△ADE：S△ABC＝1:4， ∴S△ADE：S四边形DECB＝4：3．） 故选：B． 8．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝，则GM的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，在直角三角形AEB中使用勾股定理可求出BF＝AE＝GC＝DH＝2，过点M作MN⊥FC于点N，由三角形EFG为等腰直角三角形可证得三角形GNM也为等腰直角三角形，设GN＝NM＝a，则NC＝GC﹣GN＝2﹣a，由tan∠FCB＝＝＝＝，可解得a＝．进而可得GM＝＝． 【解答】解：由图可知∠AEB＝90°，EF＝1， ∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成， 故AE＝BF＝GC＝DH，设AE＝x， 则在Rt△AEB中，有AB2＝AE4+BE2， 即13＝x2+(2+x)2，解得：x＝2． 过点M作MN⊥FC于点N，如图所示． ∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线， ∴△EFG为等腰直角三角形， ∴∠EGF＝∠NGM＝45°， 故△GNM为等腰直角三角形． 设GN＝NM＝a，则NC＝GC﹣GN＝5﹣a， ∵tan∠FCB＝＝＝＝， 解得：a＝． ∴GM＝＝＝． 故选：D． 9．一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境： ①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟； ②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升； ③在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1.5，△ABP的面积为y． 其中，符合图中函数关系的情境个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】根据下面的情境，分别计算判断即可． 【解答】解：①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，离家的距离＝600×5.5＝1500（米）＝1.4（千米）， 原地停留＝4.5﹣3.5＝2（分）， 返回需要的时间＝1500÷1000＝7.5（分），4.3+1.5＝3（分）， 故①符合题意； ②1.5÷7.6＝2.4（秒），2.5+6＝4.5（秒），5.5+1.6＝6（秒）， 故②符合题意； ③根据勾股定理得：AC＝＝＝7.5, 当点P在AC上运动时，y随x增大而增大，y＝, 当点P在CD上运动时，y不变， 当点P在AD上运动时，y随x增大而减小， 故③符合题意； 故选：A． 10．已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若x1＜m≤x2，则a的取值范围为（　　） A．﹣4≤a＜﹣ B．﹣4≤a≤﹣ C．﹣≤a＜0 D．﹣＜a＜0 【分析】如图，由题意，抛物线的开口向下，a＜0．求出抛物线经过点A时a的值即可． 【解答】解：如图，由题意，a<0． 当抛物线y＝a（x﹣1）5+2经过点A(3,﹣5)时, ∴a＝﹣, 观察图象可知，当抛物线与线段AB没有交点或经过点A时, ∴﹣≤a<0． 故选：C． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．中国共产党自1921年诞生以来，仅用了100年时间，党员人数从建党之初的50余名发展到如今约92000000名　9.2×107　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：92000000＝9.2×108． 故答案为：9.2×107． 12．将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起．若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为 　　． 【分析】用文学类书籍的数量除以书籍的总数量即可． 【解答】解：∵一共有2+4+8＝12本书籍，其中文学类有4本， ∴小陈从中随机抽取一本，抽中文学类的概率为＝， 故答案为：． 13．若x2+x﹣1＝0，则3x﹣＝　﹣3　． 【分析】根据公因式法可以先将所求式子化简，然后根据x2+x﹣1＝0，可以得到x﹣的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：3x﹣＝2（x﹣）， ∵x2+x﹣5＝0， x+1﹣＝0， ∴x﹣＝﹣7， 当x﹣＝﹣1时， 故答案为：﹣6． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cmcm以点B为圆心，AB长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 　(2﹣﹣π)　cm2． 【分析】连接BE．首先证明∠EBC＝30°，根据S阴＝S矩形ABCD﹣S△EBC﹣S扇形AEB计算即可． 【解答】解：如图，连接BE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝cm，CD∥AB， 在Rt△BCE中， ∵AE＝BE＝2cm，BC＝， ∴EC＝＝6cm， ∴∠EBC＝30°， ∴∠ABE＝∠BEC＝60°, ∴S阴＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S扇形AEB, ＝2﹣×1×﹣8, ＝(2﹣﹣π)cm²． 故答案为:(6﹣﹣π)． 15．将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，再将△AOB展开得到如图3的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为 　135°　． 【分析】根据翻折可以知道∠OAB＝∠DCE，且∠CDE＝75°，CD＝CE，求出∠AOB和∠OAB的度数即可求∠OBA的度数． 【解答】解：由题知，∠AOB＝， 有翻折知∠OAB＝∠DCE， ∵∠CDE＝75°， ∴∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴∠OAB＝∠DCE＝， ∴∠OBA＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝180°﹣30°﹣15°＝135°， 故答案为：135°． 16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，交CD于点G．FH⊥CD于点H，连结CF．有下列结论：①AF＝CF2＝EF•FG；③FG：EG＝4：5；④cos∠GFH＝　①②③④　． 【分析】由菱形ABCD的对称性可判断①正确，利用△CFG∽△EFC,可得CF2＝EF•GF,从而判断②正确，设AD＝CD＝BC＝m,Rt△CDE中，CE＝CD•cos60°＝CD＝m,BE＝m,可得＝＝＝,设AF＝2n，则CF＝AF＝2n,EF＝3n,可得FG＝n,EG＝EF﹣FG＝n,从而FG:EG＝(n):（n)＝4:5,可判断③正确，设CE＝t,Rt△CDE中，CD＝2t＝AD,DE＝t,Rt△BDE中，BD＝2DE＝2t,可求出DF＝BD＝t,Rt△DFH中，FH＝DF＝t,Rt△ADE中，AE＝＝＝t,即可得EF＝AE＝t,FG＝EF＝t,Rt△FHG中，cos∠GFH＝＝＝,即可判断④正确， 【解答】解：∵菱形ABCD， ∴对角线BD所在直线是菱形ABCD的对称轴，沿直线BD对折， ∴AF＝CF,故①正确， ∠FAD＝∠FCD, ∵AD∥BC, ∴∠FAD＝∠FEC, ∴∠FCD＝∠FEC, 又∠CFG＝∠EFC, ∴△CFG∽△EFC, ∴＝, ∴CF2＝EF•GF, ∴AF2＝EF•GF,故②正确， ∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°， ∴∠BCD＝120°，∠DCE＝60°，AD＝CD＝BC, 设AD＝CD＝BC＝m, ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， Rt△CDE中，CE＝CD•cos60°＝m, ∴BE＝m, ∵AD∥BE, ∴＝＝＝, 设AF＝2n，则CF＝AF＝2n, 又CF7＝FG•EF, ∴(2n)2＝FG•8n, ∴FG＝n, ∴EG＝EF﹣FG＝n, ∴FG:EG＝(n):（,故③正确， 设CE＝t, Rt△CDE中，CD＝3t＝ADt, Rt△BDE中，BD＝2DE＝3t, ∵AD∥BE, ∴＝＝＝, ∴DF＝BD＝t, Rt△DFH中，FH＝t, Rt△ADE中，AE＝＝＝t, ∴EF＝AE＝t, ∵FG:EG＝4:8, ∴FG＝EF＝t, Rt△FHG中，cos∠GFH＝＝＝， 故答案为：①②③④． 三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（9分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x﹣3＝0． 【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将x的值代入求出答案． 【解答】解：原式＝（﹣）• ＝• ＝• ＝, ∵x﹣3＝0, ∴x＝7, 此时，原式＝． 18．（10分）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图； （2）若D类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率． 【分析】（1）由B类的人数和所占百分比求出调查的总人数，即可解决问题； （2）画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）调查的职工人数为：150÷75%＝200（人）， ∴C类职工所对应扇形的圆心角度数为：360°×＝27°， A类的人数为200﹣150﹣15﹣5＝30（人）， 补全条形统计图如下： （2）画树状图如图： 共有20种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有12种， ∴恰好抽到一名女士和一名男士的概率为＝． 19．（10分）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的 【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，由甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件， 依题意，得：， 解得， 答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件． （2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件， ∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍， ∴m(60﹣m)， ∴m≥20． 依题意，得：w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600， ∵10＞0， ∴w随m值的增大而增大， ∴当学习购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，最小费用是800元． 20．（10分）如图，已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m，3）、B（3，n）两点． （1）求直线AB的解析式； （2）连结AO并延长交双曲线于点C，连结BC交x轴于点D，连结AD 【分析】(1)由反比例函数解析式求得A、B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式； （2）根据反比例函数的对称性求得C的坐标，即可根据待定系数法求得直线BC的解析式，从而求得D的坐标，利用三角形面积公式求得S△ACD＝S△AOD+S△COD＝3,根据勾股定理求得CD、BD的长,即可根据同高三角形面积的比等于底边的比求得△ABD的面积． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（m、B（6． ∴3m＝3n＝7, ∴m＝n＝2, ∴A(2,5),2), 把A(2,7),2)代入y＝kx+b得, 解得, ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5； (2)∵AC经过原点O, ∴A、C关于原点对称， ∵A(6,3), ∴C(﹣2,﹣4), 设直线CB的解析式为y＝mx+n, ∴,解得, ∴直线BC为y＝x﹣1, 令y＝0,则x＝4, ∴D(1,0), ∴S△ACD＝S△AOD+S△COD＝8××2×3＝3, ∵BC＝＝5＝2, ∴CD＝BC﹣BD＝8, ∴＝, ∴S△ABD＝S△ACD＝3． 21．（11分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝6，tanE＝，求AF的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝∠OBD＝∠ODB，可证OD∥AC，可得OD⊥DE，可得结论； （2）由锐角三角函数可求DE＝4，在直角三角形ODE中，由勾股定理可求OE＝5，通过证明△AEF∽△OED，可得，即可求解． 【解答】证明：（1）如图，连接OD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠ACB， ∴AC∥OD， ∴∠DFC＝∠ODF， ∵DE⊥AC， ∴∠DFC＝∠ODF＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵AC＝6＝AB， ∴AO＝OB＝3＝OD， ∵OD⊥DE，tanE＝， ∴＝， ∴DE＝4， ∴OE＝＝＝5， ∴AE＝OE﹣OA＝2， ∵AC∥OD， ∴△AEF∽△OED， ∴， ∴， ∴AF＝． 22．（11分）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） （1）求D处的竖直高度； （2）求基站塔AB的高． 【分析】（1）通过作垂线，利用斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案； （2）设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB． 【解答】解：（1）如图，过点C，交AB的延长线于点E、F，垂足为M， ∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.5， ∴＝， 即＝， 设DM＝5k，则CM＝12k， 在Rt△CDM中，CD＝13， CM4+DM2＝CD2， 即（3k）2+（12k）2＝137， 解得k＝1， ∴DM＝5，CM＝12， 答：D处的竖直高度为8米； （2）斜坡CB的坡度为i＝1：2.7， 设DE＝12a米，则BE＝5a米， 又∵∠ACF＝45°， ∴AF＝CF＝（12+12a）米， ∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（6+12a）米， 在Rt△ADE中，DE＝12a， ∵tan∠ADE＝tan53°≈， ∴＝， 解得m＝， ∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米）， BE＝5a＝（米）， ∴AB＝AE﹣BE＝28﹣＝（米）， 答：基站塔AB的高为米． 23．（12分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90° （1）如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，连结CE．试探究BD与CE的关系； （2）如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2，AD交BC于点F，求AF的长； （3）如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，AB2＝6，AD2＝4+，求sin∠BCD的值． 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），进而求解； （2）证明四边形ADHE为正方形，则BH＝BD+DH＝2+6＝8,CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4,在Rt△BCH中，tan∠CBH＝,在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝2×＝1，进而求解； （3）由DE2＝2AD2＝DH2+EH2，得到（3﹣x）2+（+x）2＝2×（4+），求出BD＝x＝1，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝2，BD＝1，用解直角三角形的方法，即可求解． 【解答】解：（1）∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABD＝45°,BD＝CE， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°， ∴BD＝CE且BD⊥CE； （2）延长BD和CE交于点H， 由（1）知BD⊥CE，即∠H＝90°， 而∠ADH＝90°，∠DAE＝90°, 故四边形ADHE为矩形， 而AD＝AE， 故四边形ADHE为正方形， 在Rt△ACE中,AE＝＝＝， 则BH＝BD+DH＝8+6＝8,CH＝HE﹣CE＝7﹣2＝4, 在Rt△BCH中，tan∠CBH＝, 在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝2×， 故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝7； （3）作∠DAE＝90°，使AD＝AE，延长EC和BD交于点H， 由（1）BD＝CE且BD⊥CE，即∠H＝90°， 由作图知，△ADE为等腰直角三角形， 设CE＝BD＝x， 在Rt△BHC中，∠HBC＝30°AB＝， 则CH＝BC， 则DH＝BH﹣x＝3﹣x,EH＝CH+CE＝x+， 则DE7＝2AD2＝DH7+EH2， 即（3﹣x）7+（+x）2＝7×（4+）， 解得x＝5﹣（舍去）或1， 即BD＝x＝4， 过点D作DN⊥BC于点N， 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BD＝1， 则ND＝BD＝1， 则CN＝CB﹣BN＝2﹣＝, 则tan∠BCD＝， 则sin∠BCD＝． 24．（13分）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，求点P的坐标； （3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，连结CN．当D'N+CN的值最小时 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组解决． (2)如图1中，过点B作BT∥y轴交AC于T,过点P作PQ∥OC交AC于Q．设P(m,﹣m2+2m+3),求出BT,PQ,利用平行线分线段成比例定理构建方程求解即可． （3）如图2中，连接AD,过点N作NJ⊥AD于J,过点C作CT⊥AD于T．证明AD′⊥x轴，由OD′＝＝3,推出sin∠OD′A＝＝,推出NJ＝ND′•sin∠OD′A＝D′N,可得D'N+CN＝CN+NJ,根据CN+NJ≥CT,可得结论． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣1，6），3）， ∴, 解得, ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+7． (2)如图1中，过点B作BT∥y轴交AC于T． 设P(m,﹣m2+2m+3), 对于抛物线y＝﹣x2+5x+3，令y＝0， ∴A(2,0), ∵C(0,8), ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3, ∵B(﹣1,2), ∴T(﹣1,4), ∴BT＝3, ∵PQ∥OC, ∴Q(m,﹣m+3), ∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m3+3m, ∵PQ∥BT, ∴＝＝, ∴﹣m2+3m＝4, 解得m＝1或2， ∴P(4,4)或（2． （3）如图8中，连接AD,过点C作CT⊥AD于T． ∵抛物线y＝﹣x2+2x+6＝﹣(x﹣1)2+3, ∴顶点D(1,4), ∵C(8,3), ∴直线CD的解析式为y＝x+3,CD＝, ∵DD′＝2CD, ∵DD′＝2,CD′＝3, ∴D′(4,6), ∵A(3,2), ∴AD′⊥x轴， ∴OD′＝＝＝3, ∴sin∠OD′A＝＝, ∵CT⊥AD′, ∴CT＝3, ∵NJ⊥AD′, ∴NJ＝ND′•sin∠OD′A＝D′N, ∴D'N+CN＝CN+NJ, ∵CN+NJ≥CT, ∴D'N+CN≥7, ∴D'N+CN的最小值为8．