2021年浙江省湖州市中考数学真题（解析版）.docx

浙江省2021年初中学业水平考试（湖州市） 数学试题卷 卷 I 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分． 1．实数﹣2的绝对值是 A．﹣2 B．2 C． D． 2．化简的正确结果是 A．4 B．±4 C． D． 3．不等式的解集是 A． B． C． D． 4．下列事件中，属于不可能事件的是 A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 5．将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是 6．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是 A．60° B．70° C．80° D．90° 7．已知a，b是两个连续整数，a＜﹣1＜b，则a，b分别是 A．﹣2，﹣1 B．﹣1，0 C．0，1 D．1，2 8．如图，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线，按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连结CO，DE．则下列结论错误的是 A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．DB＝DE 9．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是 A． B． C． D． 10．已知抛物线(a≠0)与x轴的交点为A(1，0)和B(3，0)，点P1(，)，P2(，)是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 卷 II 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．计算：＝ ． 12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是 ． 13．某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同．若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是 ． 14．为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中∠A的度数是 度． 15．已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，4)，M是抛物线(a≠0)对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定．若抛物线(a≠0)的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是 ． 16．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是 ． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17．（本小题6分） 计算：． 18．（本小题6分） 解分式方程：． 19．（本小题6分） 如图，已知经过原点的抛物线与x轴交于另一点A(2，0)． （1）求m的值和抛物线顶点M的坐标； （2）求直线AM的解析式． 20．（本小题8分） 为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A．党史宣讲；B．歌曲演唱；C．校刊编撰；D．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了如下统计图表（不完整）． 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）求a和m的值； （2）求扇形统计图中D所对应的圆心角度数； （3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示： 小组类别 A B C D 平均用时（小时） 2.5 3 2 3 求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间． 21．（本小题8分） 如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°． （1）求∠DAB的度数； （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长． 22．（本小题10分） 今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人． （1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几； （2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收人；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 23．（本小题10分） 已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP． （1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝，求BC的长； （2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP； （3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 24．（本小题12分） 已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数(x＞0)图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数(k＞0，x＜0)的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E． （1）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积． （2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数(k＞0，x＜0)的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由． 浙江省2021年初中学业水平考试（湖州市） 数学试题卷 卷 I 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分． 1．实数﹣2的绝对值是 A．﹣2 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】，故选B 2．化简的正确结果是． A．4 B．±4 C． D． 【答案】C 【解析】，故选C． 3．不等式的解集是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，移项得，解得，故选A． 4．下列事件中，属于不可能事件的是 A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D 【解析】从一个只装有白球和红球的袋中摸球，可能摸出白球或红球，不可能摸出黄球，故选D． 5．将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是 【答案】A 【解析】本题考查长方体的展开图问题，属于基础题，选项A符合题意． 6．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是 A．60° B．70° C．80° D．90° 【答案】C 【解析】本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系，∠BOC＝2∠A＝80°，选C． 7．已知a，b是两个连续整数，a＜﹣1＜b，则a，b分别是 A．﹣2，﹣1 B．﹣1，0 C．0，1 D．1，2 【答案】C 【解析】，与0.7相邻的连续整数是0和1，选C． 8．如图，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线，按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连结CO，DE．则下列结论错误的是 A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．DB＝DE 【答案】D 【解析】∵OD垂直平分BC，所以OB＝OC，故A正确； 根据三线合一可知OD平分∠BOC，故B正确； 易知DE是三角形的中位线，所以有DE∥AB，故C正确．综上，选D． 9．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，C1运动的路径是以B为圆心，为半径，圆心角为120°的弧上运动，故线段CC1扫过的区域是一个圆心角为120°的扇形＋一个以为边长的等边三角形，故S＝，故选B． 10．已知抛物线(a≠0)与x轴的交点为A(1，0)和B(3，0)，点P1(，)，P2(，)是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由于，的底相同，当时，P1到AB的距离＞P2到AB的距离，故③正确，其他选项无法比较P1，P2与x轴距离的远近，故选A． 卷 II 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．计算：＝ ． 【答案】1 【解析】． 12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是 ． 【答案】 【解析】sinB＝． 13．某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同．若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是 ． 【答案】 【解析】设恰好中奖为时间A，则P(A)＝． 14．为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中∠A的度数是 度． 【答案】36 【解析】首先根据正五边形的内角和计算公式，求出每个内角的度数为108°，即∠ABC＝∠BAE＝108°，那么等腰△ABC的底角∠BAC＝36°，同理可求得∠DAE＝36°，故∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠EAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°．其实正五角星的五个角是36°，可以作为一个常识直接记住． 15．已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，4)，M是抛物线(a≠0)对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定．若抛物线(a≠0)的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是 ． 【答案】2或﹣8 【解析】由题意知，以OA的直径的圆与直线相切，则，解得＝2或﹣8． 16．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是 ． 【答案】﹣1 【解析】如图，CD＝1，DG＝，则求得CG＝，根据△CDG∽△DEG，可求得DE＝，∴AE＝1﹣，∴AB＝AE＝﹣1． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17．（本小题6分） 计算：． 【答案】 【解析】解：原式 ． 18．（本小题6分） 解分式方程：． 【答案】 【解析】解： ． 经检验，是原方程的解． 19．（本小题6分） 如图，已知经过原点的抛物线与x轴交于另一点A(2，0)． （1）求m的值和抛物线顶点M的坐标； （2）求直线AM的解析式． 【答案】（1）﹣4，(1，﹣2)；（2）． 【解析】解：（1）∵抛物线过点， ，解得， ， ∴顶点的坐标是． （2）设直线的解析式为， ∵图象过， ，解得， ∴直线的解析式为． 20．（本小题8分） 为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A．党史宣讲；B．歌曲演唱；C．校刊编撰；D．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了如下统计图表（不完整）． 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）求a和m的值； （2）求扇形统计图中D所对应的圆心角度数； （3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示： 小组类别 A B C D 平均用时（小时） 2.5 3 2 3 求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间． 【答案】（1）20，20；（2）36°；（3）2.6小时． 【解析】解：（1）由题意可知四个小组所有成员总人数是（人）． ， ． ． （2）， ∴扇形统计图中所对应的圆心角度数是． （3）（小时）， ∴这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是2.6小时． 21．（本小题8分） 如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°． （1）求∠DAB的度数； （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长． 【答案】（1）60°；（2）． 【解析】解：（1）连结， ， ， 是的直径， ， ． （2）， ， ，且是直径， ， ． 22．（本小题10分） 今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人． （1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几； （2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收人；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【答案】（1）20%；（2）①798；②24，817.6 【解析】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得 解这个方程，得（舍去） 答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%． （2）①由题意，得 （万元） 答：景区六月份的门票总收入为798万元． ②设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收人为万元， 由题意，得 化简，得， ， ∴当时，取最大值，为817.6万元． 答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元． 23．（本小题10分） 已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP． （1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝，求BC的长； （2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP； （3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）略；（3）． 【解析】（1）解：，， ， ， 是等边三角形， 是的中点， ， 在中，，， ． （2）证明：连结，， ， ， ， ， ， ， 又， ，是等边三角形， ， ， 又， ， ，． （3）存在这样的． 24．（本小题12分） 已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数(x＞0)图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数(k＞0，x＜0)的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E． （1）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积． （2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数(k＞0，x＜0)的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由． 【答案】（1）①略；②1；（2）不变． 【解析】解：（1）①证明 设点的坐标为， 则当时，点的坐标为， ， 轴， ， ∴四边形是平行四边形． ②解 过点作轴于点， 轴， ， ， ， ∴当时，，即． ． （2）解：不改变． 理由如下： 过点作轴于点与轴交于点， 设点的坐标为，点的坐标为， 则， 由题意，可知，四边形是平行四边形， ， 即， ， 解得， 异号，， ， ． ∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化． 19