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2020年十堰市初中毕业生学业水平考试 数学试题 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内． 1.的倒数是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据倒数的概念进行求解即可． 【详解】 的倒数是4 故选：A 【点睛】本题考查了倒数的概念，熟知两个数互为倒数，其积为1是解题的关键． 2.某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 【详解】解：圆柱体的主视图、左视图、右视图，都是长方形（或正方形），俯视图是圆， 故选：B． 【点睛】本题考查三视图． 3.如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查角度的计算问题．弄清角与角之间的关系是解题的关键． 4.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据整式的混合运算法则即可求解． 【详解】A.不能计算，故错误； B. ，故错误； C. ，故错误； D.，正确， 故选D． 【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 5.一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示： 鞋的尺码/ 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量双 1 2 5 11 7 3 1 若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数． 【详解】因为众数是在一组数据中出现次数最多的数， 又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量， 所以该店主最应关注的销售数据是众数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查数据的收集和处理．解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析．根据众数是在一组数据中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数． 6.已知中，下列条件：①；②；③；④平分，其中能说明是矩形的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据矩形的判定进行分析即可． 【详解】A. ，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误； B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确； C. ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误； D. 平分，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键． 7.某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据第一周之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+1，可得结果． 【详解】由题知： 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可． 8.如图，点在上，，垂足为E．若，，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 连接OC，根据圆周角定理求得，在中可得，可得OC的长度，故CE长度可求得，即可求解． 【详解】解：连接OC， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵，垂足E， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，作出合适的辅助线是解题的关键． 9.根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】 观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396，解得为正整数即成立，否则舍去． 【详解】根据图形规律可得： 上三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去； 下左三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去； 下中三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去； 下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，舍去 故选：B． 【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键． 10.如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，推出菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O．如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．证明，利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形， 菱形是中心对称图形， ∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O， 如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC． ∵DO⊥OC， ∴∠COM+∠DON=90°，∠DON+∠ODN=90°， ∴∠COM=∠ODN， ∵∠CMO=∠DNO=90°， ∴， 菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O,, 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11.已知，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】 由可得到，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了代数式的求值问题，注意整体代入的思想是解题的关键． 12.如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】 由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案． 【详解】解： 是的垂直平分线．， 的周长 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 13.某校即将举行30周年校庆，拟定了四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．若该校有学生3000人，请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案B的人数为______． 【答案】1800 【解析】 【分析】 根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C方案的有44人，占样本的，可得出样本容量，即可得到赞成方案B的人数占比，用样本估计总体即可求解． 【详解】解：根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C方案的有44人，占样本的， ∴样本容量为：（人）， ∴赞成方案B的人数占比为：， ∴该校学生赞成方案B的人数为：（人）， 故答案为：1800． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 14.对于实数，定义运算．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据给出的新定义分别求出与的值，根据得出关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键． 15.如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】 本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解． 【详解】将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示： 由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+ S2=π-1， ∵BC为直径， ∴∠CDB=90°，即CD⊥AB， 故CD=DB=DA， ∴D点为 中点，由对称性可知与弦CD围成的面积与S3相等． 设AC=BC=x， 则， 其中 ，， 故：， 求解得：（舍去） 故答案：2． 【点睛】本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解． 16.如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】 以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE， ∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°， ∴∠ECB=∠DCA， ∴△ECB≌△DCA（SAS）， ∴BE=AD， ∵DE=CD=6，BD=8， ∴8-6<BE<8+6， ∴2<BE<14， ∴2<AD<14． ∴则的最大值与最小值的差为12． 故答案为：12 【点睛】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题． 三、解答题（本题有9个小题，共72分） 17.计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】 根据负整数指数幂，绝对值的运算，0次幂分别计算出每一项，再计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查负整数指数幂，绝对值的运算，0次幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18.先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】 利用完全平方公式、平方差公式和通分等方法将原分式化简成，再将a、b值代入化简后的分式中即可得出结论． 详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 19.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足，现有一架长为的梯子，当梯子底端离墙面时，此时人是否能够安全使用这架梯子（参考数据：，）？ 【答案】当梯子底端离墙面时，此时人能够安全使用这架梯子． 【解析】 【分析】 分别求出当时和当时梯子底端与墙面的距离AC的长度，再进行判断即可． 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得； 所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端与墙面的距离应该在之间，故当梯子底端离墙面时，此时人能够安全使用这架梯子． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，求出人能够安全使用这架梯子时，梯子底端与墙面的安全距离的范围是解题的关键． 20.某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同． （1）小文诵读《长征》的概率是_____； （2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意画出树状图，利用概率公式即可求解． 【详解】（1）P（小文诵读《长征》）= ； 故答案为：； （2）依题意画出树状图如下： 故P（小文和小明诵读同一种读本）=． 【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图． 21.已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】 (1)根据建立不等式即可求解； (2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可． 【详解】解：(1)由题意可知，， 整理得：， 解得：， ∴的取值范围是：． 故答案为：． (2)由题意得：， 由韦达定理可知：，， 故有：， 整理得：， 解得：， 又由(1)中可知， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根． 22.如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，与过点C的切线垂直，垂足为D，交半圆O于点E． （1）求证：平分； （2）若，试判断以为顶点的四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)菱形，证明过程见解析 【解析】 【分析】 (1)连接OC，由切线的性质可知∠COD=∠D=180°，进而得到OC∥AD，得到∠DAC=∠ACO，再由OC=OA得到∠ACO=∠OAC，进而得到∠DAC=∠OAC即可证明； (2) 连接EC、BC、EO，过C点作CH⊥AB于H点，先证明∠DCE=∠CAE，进而得到△DCE∽△DAC，再由AE=2DE结合三角函数求出∠EAC=30°，最后证明△EAO和△ECO均为等边三角形即可求解． 【详解】解：(1)证明：连接OC，如下图所示： ∵CD为圆O的切线，∴∠OCD=90°， ∴∠D+∠OCD=180°， ∴OC∥AD， ∴∠DAC=∠ACO， 又OC=OA， ∴∠ACO=∠OAC， ∴∠DAC=∠OAC， ∴ AC平分∠DAB． (2) 四边形EAOC为菱形，理由如下： 连接EC、BC、EO，过C点作CH⊥AB于H点，如下图所示， 由圆内接四边形对角互补可知，∠B+∠AEC=180°， 又∠AEC+∠DEC=180°， ∴∠DEC=∠B， 又∠B+∠CAB=90°， ∠DEC+∠DCE=90°， ∴∠CAB=∠DCE， 又∠CAB=∠CAE， ∴∠DCE=∠CAE，且∠D=∠D， ∴△DCE∽△DAC， 设DE=x，则AE=2x，AD=AE+DE=3x， ∴，∴， ∴， 在Rt△ACD中，， ∴∠DAC=30°， ∴∠DAO=2∠DAC=60°，且OA=OE， ∴△OAE为等边三角形， 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC=2∠EAC=60°， ∴△EOC为等边三角形， ∴EA=AO=OE=EC=CO， 即EA=AO=OC=CE， ∴四边形EAOC为菱形． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角函数、菱形的判定等知识点，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决本题的关键． 23.某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天（x为整数）的生产成本为m（元台），m与x的关系如图所示． （1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为______，x的取值范围为______； （2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？ （3）求当天销售利润低于10800元的天数． 【答案】（1）； （2）第6天时，该企业利润最大，为12800元. （3）7天 【解析】 【分析】 （1）根据题意确定一次函数的解析式，实际问题中x的取值范围要使实际问题有意义； （2）求出当天利润与天数的函数解析式，确定其最大值即可； （3）根据（2）中的函数解析式列出不等式方程即可解答． 【详解】（1）根据题意，得y与x的解析式为：（） （2）设当天的当天的销售利润为w元，则根据题意，得 当1≤x≤6时， w=（1200-800）（2x+20）=800x+8000， ∵800＞0，∴w随x的增大而增大， ∴当x=6时，w最大值=800×6+8000=12800． 当6＜x≤12时， 易得m与x的关系式：m=50x+500 w=[1200-（50x+500）]×（2x+20） =-100x2+400x+14000=-100（x-2）2+14400． ∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数， ∴当x=7时，w有最大值，为11900元， ∵12800＞11900， ∴当x=6时，w最大，且w最大值=12800元， 答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元． （3）由（2）可得， 1≤x≤6时， 解得：x＜3.5 则第1-3天当天利润低于10800元， 当6＜x≤12时， 解得x＜-4（舍去）或x＞8 则第9-12天当天利润低于10800元， 故当天销售利润低于10800元的天数有7天． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数应用，解题关键在于理解题意，利用待定系数法确定函数的解析式，并分类讨论． 24.如图1，已知，，点D在上，连接并延长交于点F． （1）猜想：线段与的数量关系为_____； （2）探究：若将图1的绕点B顺时针方向旋转，当小于时，得到图2，连接并延长交于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展：图1中，过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，，直接写出的长． 【答案】(1)AF=EF；(2)成立，理由见解析；(3)12 【解析】 【分析】 (1) 延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，证明△ACF△EDG，进而得到△GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF； (2)证明原理同(1)，延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，证明△ACF△EDG，进而得到△GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF； (3)补充完整图后证明四边形AEGC为矩形，进而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解． 【详解】解：(1)延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示 ∵， ∴DE=AC，BD=BC， ∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF， ∴∠ADF=∠DCB， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90°， ∵∠EDB=90°， ∴∠ADF+∠FDE=90°， ∴∠ACD=∠FDE， 又延长DF使得FG=DC， ∴FG+DF=DC+DF， ∴DG=CF， 在△ACF和△EDG中， ， ∴△ACF△EDG(SAS)， ∴GE=AF，∠G=∠AFC， 又∠AFC=∠GFE， ∴∠G=∠GFE ∴GE=EF ∴AF=EF， 故AF与EF的数量关系为：AF=EF. 故答案为：AF=EF； (2)仍旧成立，理由如下： 延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示 设BD延长线DM交AE于M点， ∵， ∴DE=AC，BD=BC， ∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF， ∴∠MDF=∠DCB， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90°， ∵∠EDB=90°， ∴∠MDF+∠FDE=90°， ∴∠ACD=∠FDE， 又延长DF使得FG=DC， ∴FG+DF=DC+DF， ∴DG=CF， 在△ACF和△EDG中， ， ∴△ACF△EDG(SAS)， ∴GE=AF，∠G=∠AFC， 又∠AFC=∠GFE， ∴∠G=∠GFE ∴GE=EF， ∴AF=EF， 故AF与EF的数量关系为：AF=EF. 故答案为：AF=EF； (3)如下图所示： ∵BA=BE， ∴∠BAE=∠BEA， ∵∠BAE=∠EBG, ∴∠BEA=∠EBG， ∴AECG， ∴∠AEG+∠G=180°， ∴∠AEG=90°， ∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°， ∴四边形AEGC为矩形， ∴AC=EG，且AB=BE， ∴Rt△ACBRt△EGB(HL)， ∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG， 又∵ED=AC=EG，且EB=EB， ∴Rt△EDBRt△EGB(HL)， ∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE， ∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°， ∴∠BAC=30°， ∴在Rt△ABC中由30°所对的直角边等于斜边的一半可知： ． 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，本题的关键是延长DF到G点并使FG=DC，进而构造全等，本题难度稍大，需要作出合适的辅助线． 25.已知抛物线过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）如图1，E为线段上方的抛物线上一点，，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G．当时，求的面积； （3）如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，, 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标； （2）先求出BC的解析式，再设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，联立方程求出点F，G的坐标，根据列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）过点A作AN⊥HB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到，设点，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标． 【详解】（1）把点A（-1，0），C（0，3）代入中， ， 解得， ， 当时，y=4， （2） 令或x=3 设BC的解析式为 将点代入，得 ， 解得， 设直线EF的解析式为,设点E的坐标为， 将点E坐标代入中，得， 把x=m代入 即 解得m=2或m=-3 ∵点E是BC上方抛物线上的点 ∴m=-3舍去 ∴点 （3）过点A作AN⊥HB， ∵点 ∵点，点 设，把（-1，0）代入，得b= 设点 过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR 且点S的坐标为 若 在和中， 或 【点睛】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解．