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江苏省淮安市2020年中考数学试题 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.2的相反数是（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用相反数的定义解答即可． 【详解】解：2的相反数是-2． 故选B． 【点睛】本题考查了相反数的概念，掌握互为相反数的两个数的和为0是解答本题的关键． 2.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】原式 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法运算，熟记运算法则是解题关键． 3.下面的几何体中，主视图为圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题解析：A、的主视图是矩形，故A不符合题意； B、的主视图是正方形，故B不符合题意； C、的主视图是圆，故C符合题意； D、的主视图是三角形，故D不符合题意； 故选C． 考点：简单几何体的三视图． 4.六边形的内角和为（ ） A. 360° B. 540° C. 720° D. 1080° 【答案】C 【解析】 【分析】 n边形的内角和等于（n－2）×180°，所以六边形内角和为(6－2)×180°＝720°. 【详解】根据多边形内角和定理得：(6－2)×180°＝720°. 故选C. 5.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可． 【详解】关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数, 所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2), 故选C． 【点睛】本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识． 6.一组数据9、10、10、11、8的众数是（ ） A. 10 B. 9 C. 11 D. 8 【答案】A 【解析】 分析】 根据众数的定义进行判断即可． 【详解】在这组数据中出现最多的数是10， ∴众数为10， 故选：A． 【点睛】本题考查了众数的定义，掌握知识点是解题关键． 7.如图，点、、在圆上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先由圆周角定理得到∠AOB,再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】∵在圆O中，∠ACB=54º， ∴∠AOB=2∠ACB=108º， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA==36º， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，会用等边对等角求角的度数是解答的关键． 8.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ） A. 205 B. 250 C. 502 D. 520 【答案】D 【解析】 【分析】 设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案． 【详解】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为 由这两个奇数得到的“幸福数”为 观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4 即 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9.分解因式：__________． 【答案】 【解析】 分析】 直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟记公式是解题关键． 10.2020年6月23日，中国北斗全球卫星导航系统提前半年全面完成，其星载原子钟授时精度高达每隔3000000年才误差1秒．数据3000000用科学记数法表示为__________． 【答案】3×106 【解析】 【分析】 先将3000000写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为3000000写成a时小时点向左移动的位数． 【详解】解：3000000=3×106． 故答案为3×106． 【点睛】本题考查了科学记数法，将3000000写成a×10n的形式，确定a和n的值是解答本题的关键． 11.已知一组数据1、3，、10的平均数为5，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】 根据平均数计算方法，列出方程然后计算即可． 【详解】解：依题意有， 解得． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了算术平均数，正确理解算术平均数的意义是解题的关键． 12.方程的解为__________． 【答案】x=-2 【解析】 【分析】 先用异分母分式加法法则运算，然后利用分式为零的条件解答即可． 【详解】解： 则： ，解得x=-2． 故答案为x=-2． 【点睛】本题考查了异分母分式加法法则和分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键． 13.已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为__________． 【答案】8. 【解析】 【分析】 直接根据直角三角形斜边中线定理可以得出本题答案. 【详解】∵直角三角形斜边的长为16， ∴直角三角形斜边上的中线长是：， 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，熟记定理即可得出答案. 14.菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】 根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解. 【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分， 根据勾股定理可得菱形的边长为＝5． 故答案为5． 【点睛】此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用. 15.二次函数的图像的顶点坐标是_________． 【答案】(-1,4) 【解析】 【分析】 把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：∵=-(x+1)2+4， ∴顶点坐标为(-1,4)． 故答案为(-1,4)． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，把解析式配方写成顶点式解析式是解题的关键． 16.如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】 由，，得到是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数的对称轴，直线CD的关系式是，根据A点的坐标是，代入反比例函数，得反比例函数关系式为，在根据直线CD与反比例函数（）的图象于点，求得点的坐标是（-2，-2），则，根据点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，得到，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数，得． 【详解】解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数（）图象上， ∵，， ∴是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线， ∴CD是反比例函数的对称轴，则直线CD的关系式是， ∵A点的坐标是，代入反比例函数，得 则反比例函数关系式为 又∵直线CD与反比例函数（）的图象于点， 则有，解之得：（D点在第三象限）， ∴D点的坐标是（-2，-2）， ∴， ∵点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上， ∴，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限）， 将P（1，1）代入反比例函数，得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键． 三、解答题：本大题共11个小题，共102分． 17.计算： （1） （2） 【答案】(1)2;(2)． 【解析】 【分析】 (1)根据绝对值、零指数幂、二次根式的计算方法计算即可． (2)根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】(1) ． (2)． 【点睛】本题考查分式的混合运算和绝对值、零指数幂、二次根式的计算,关键在于熟练掌握相关的计算方法． 18.解不等式． 解：去分母，得． …… （1）请完成上述解不等式的余下步骤： （2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A”或“B”） A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A． 【解析】 【分析】 （1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可； （2）根据不等式的性质即可得． 【详解】（1） 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得； （2）不等式性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键． 19.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？ 【答案】中型12辆，小型18辆. 【解析】 【分析】 根据题意设中型x辆，小型y辆，即可列出方程组求出答案. 【详解】设中型x辆，小型y辆，根据题意可得： ， 解得 ， 故中型汽车12辆，小型汽车18辆. 【点睛】本题主要考查的是方程组，掌握相关方法即可得出答案. 20.如图，平行四边形中，点、分别在、上，与相交于点，且． （1）求证：≌； （2）连接、，则四边形 （填“是”或“不是”）平行四边形． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）是，理由见解析； 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的对边平行可得到内错角相等，再根据已知条件可利用ASA得到全等； （2）由（1）可得到AF=EC，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形即可得到答案； 【详解】（1）∵四边形平行四边形， ∴AD∥BC， ∴， 根据题可知，， 在△AOF和△COE中， ， ∴≌． （2）如图所示， 由（1）得≌，可得： ， 又∵， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题中主要考查了平行四边形的判定和性质，准确运用全等三角形的条件进行判断是解题的关键． 21.为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为、、、，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）本次问卷共随机调查了 名学生，扇形统计图中选项对应的圆心角为 度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校有1200名学生，试估计该校选择“不了解”的学生有多少人？ 【答案】（1）60，108；（2）图见解析；（3）该校选择“不了解”的学生有60人． 【解析】 【分析】 （1）先根据B选项的条形统计图和扇形统计图的信息可得调查的总人数，再求出C选项学生人数的占比，然后乘以即可得； （2）先根据（1）的结论，求出A选项学生的人数，再补全条形统计图即可； （3）先求出选择“不了解”的学生的占比，再乘以1200即可得． 【详解】（1）本次问卷共随机调查的学生人数为（名） C选项学生人数的占比为 则 故答案为：60，108； （2）A选项学生的人数为（名） 因此补全条形统计图如下所示： （3）选择“不了解”的学生的占比为 则（人） 答：该校选择“不了解”的学生有60人． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，掌握理解统计调查的相关知识是解题关键． 22.一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母、、，搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内． （1）第一次摸到字母的概率为 ； （2）用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“”的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）用标有字母A的情况数除以总的情况数解答即可； （2）先画出树状图求出所有等可能的情况数，然后找出两个方格中的字母从左往右恰好组成“”的情况数，再根据概率公式解答． 【详解】解：（1）第一次摸到字母的概率=． 故答案为：； （2）所有可能的情况如图所示： 由图可知：共有9种等可能的情况，其中两个方格中的字母从左往右恰好组成“”的情况数只有1种， 所以两个方格中的字母从左往右恰好组成“”的概率=． 【点睛】本题主要考查了求两次事件的概率，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握求解的方法是解题的关键． 23.如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）． 【答案】、两点间的距离约为11千米． 【解析】 【分析】 如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得． 【详解】如图，过点C作于点D 在中，，千米 （千米），（千米） 在中， 是等腰直角三角形 千米 （千米） 答：、两点间的距离约为11千米． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 24.甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发小时后离甲地的路程为千米，图中折线表示接到通知前与之间的函数关系． （1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/小时； （2）求线段所表示的与之间的函数表达式； （3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由． 【答案】（1）80；（2）；（3）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】 （1）观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度； （2）根据题意求出点E的横坐标，再利用待定系数法解答即可； （3）求出到达乙地所行驶的时间即可解答． 【详解】解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为千米/小时； 故答案为：80； （2）休息后按原速继续前进行驶的时间为：（小时）， ∴点E的坐标为（3.5，240）， 设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为， 则：，解得， ∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为； （3）接到通知后，汽车仍按原速行驶， 则全程所需时间为：（小时）， 从早上8点到中午12点需要12-8=4（小时）， ∵4.125＞4， 所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 25.如图，是圆的弦，是圆外一点，，交于点，交圆于点，且． （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）直线BC与圆O相切，理由见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）连接OB，由等腰三角形的性质分别证出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再利用直角三角形性质和对顶角可证得∠OBC=90º，即OB⊥BC,可判断直线BC与圆O相切； （2）易证得△CPD为等边三角形，则有∠OCB=60º,∠BOC=30º,用含30º角的直角三角形求得OA、BC的长，然后用公式求得△OBC的面积和扇形OBD的面积，相加即可解得阴影面积． 【详解】（1）直线BC与圆O相切，理由为： 连接OB， ∵OA=OB， ∴∠A=∠OBA， ∵CP=CB， ∴∠CPB=∠CBP，又∠APO=∠CPB ∴∠CBP=∠APO， ∵OA⊥OC， ∴∠A+∠APO=90º， ∴∠OBA+∠CBP=90º即∠OBC=90º， ∴OB⊥BC， ∴直线BC与圆O相切； （2）∵OA⊥OC，∠A=30º，OP=1 ∴OA=，∠APO=60º即∠CPB=60º， ∵CP=CB， ∴△PCB为等边三角形， ∴∠PCB=60º， ∵∠OBC=90º， ∴∠BOD=30º， ∴BC=OB·tan30º=1， ∴==， 答:图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积等知识，解答的关键是认真审题，结合图形，找到各知识点之间的联系，进而推理、探究、发现和计算． 26.【初步尝试】 （1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 ； 【思考说理】 （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为． ①求线段的长； ②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②． 【解析】 【分析】 （1）先根据折叠的性质可得，再根据平行线的判定可得，然后根据三角形中位线的判定与性质即可得； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出BM的长，最后根据线段的和差可得AM的长，由此即可得出答案； （3）①先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得BM、AM、CM的长，最后代入求解即可得； ②先根据折叠的性质、线段的和差求出，的长，设，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，然后根据x的取值范围即可得． 【详解】（1），理由如下： 由折叠的性质得： 是的中位线 点M是AB的中点 则 故答案为：； （2） 由折叠的性质得： ，即 在和中， ，即 解得 ； （3）①由折叠的性质得： ，即 在和中， ，即 解得 解得； ②如图，由折叠的性质可知，，， 点O是边的中点 设，则 点为线段上的一个动点 ，其中当点P与点重合时，；当点P与点O重合时， ，即 在和中， 则． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）②，正确设立未知数，并找出两个相似三角形是解题关键． 27.如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． （1） ， ； （2）若点在点的上方，且，求的值； （3）将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出直线与该二次函数图象交点的横坐标． 【答案】（1）1，﹣2；（2）m=0或2；（3）①存在，且，，；②或． 【解析】 【分析】 （1）把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出b，于是可得抛物线的解析式，再把点B的坐标代入抛物线的解析式即可求出n； （2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，由点P（m，0），则点M、N的坐标可得，于是MN的长可用含m的代数式表示，由MN=3可得关于m的方程，解方程即可求出m的值； （3）①易求出平移后直线CD的解析式，进而可得点C坐标，然后利用待定系数法分别求出直线AC和直线NC的解析式，设直线MN交AC于点F，过点B作BE⊥x轴交直线NC于点E，如图2，然后即可用含m的代数式表示出和，由可得关于m的方程，解方程即可求出m，进一步即可求出结果； ②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作BQ⊥x轴于点Q，过点M作GH∥x轴，作AG⊥GH于点G，作FH⊥GH于点H，交x轴于点K，如图3，根据直线AB的特点和旋转的性质可得△AMG和△FMH是全等的两个等腰直角三角形，进一步即可根据等腰直角三角形的性质和直线上点的坐标特点求得FK=2，由条件，根据角的和差和平行线的性质可得∠AOD=∠CFK，然后根据两个角的正切相等即可求出CK的长，于是可得点F的坐标，进而可求出直线OF的解析式，进一步即可求出直线OF与抛物线交点的横坐标；当旋转后点F在点C右侧时，易得满足的点F不存在，从而可得答案． 【详解】解：（1）把代入抛物线，得，解得：b=1， ∴抛物线的解析式是：， ∵点在抛物线上， ∴， 故答案为：1，﹣2； （2）设直线的解析式是，把点、两点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式是， 如图1，∵点P（m，0），∴点M（m，﹣m+1）、N（m，）， 当点在点的上方时，则 ， 当时，，解得：m=0或2； （3）①直线向上平移4个单位长度后的解析式为， ∴点C、D的坐标分别是（5，0）、（0，5）， 则由、C（5，0）可得直线AC的解析式为， 由N（m，）、C（5，0）可得直线NC的解析式为， 设直线MN交AC于点F，过点B作BE⊥x轴交直线NC于点E，如图2， 当x=3时，，∴点E（3，）， ∴，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 由于当时，， 此时点N在直线AC的下方，故舍去； 当时，，； ∴存在，使，且此时，； ②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作BQ⊥x轴于点Q，过点M作GH∥x轴，作AG⊥GH于点G，作FH⊥GH于点H，交x轴于点K，如图3， ∵直线AB的解析式为， ∴∠AMG=45°， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴∠AMF=90°，MA=MF， ∴△AMG和△FMH是全等的两个等腰直角三角形， ∴AG=GM=MH=FH=m+1， ∵M（m，﹣m+1）， ∴KH=PM=m－1， ∴FK=（m+1）－（m－1）=2， ∵，∠FBA=∠QBA+∠QBF=45°+∠QBF， ∴45°+∠QBF+∠AOD－∠BFC=45°， ∴∠QBF+∠AOD=∠BFC=∠BFK+∠CFK， ∵FK∥BQ，∴∠QBF =∠BFK， ∴∠AOD=∠CFK， ∴， ∴，OK=4， ∴点F的坐标是（4，2）， ∴直线OF的解析式是， 解方程：，得； 当旋转后点F在点C右侧时，满足的点F不存在； 综上，直线与该二次函数图象交点的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与二次函数的交点以及三角函数等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．