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2020年初中学业水平考试数学 一、选择题 1.2的倒数是（   ） A. 2 B. C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，由此即可得出答案. 【详解】∵2×=1， ∴2的倒数是， 故选B . 【点睛】本题考查了倒数的定义，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键. 2.sin45°的值等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】sin45°=． 故选B． 【点睛】错因分析：容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值. 3.2019新型冠状光病毒的直径是0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据科学记数法的表示方法表示即可． 【详解】0.00012=． 故选C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示,关键在于牢记表示方法． 4.如图是由4个完全相同的正方形搭成的几何体，则（ ） A. 三视图都相同 B. 俯视图与左视图都相同 C. 主视图与俯视图都相同 D. 主视图与左视图相同 【答案】D 【解析】 【分析】 根据从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从正面看最下面一层有2个小正方形，第二层有1个小正方形， 从左边看最下面一层有2个小正方形，第二层有1个小正方形， 从上面看靠外边一层有1个小正方形，靠里边一层有2个小正方形， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图． 5.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据整式的加减乘除运算法则逐个运算即可求解． 【详解】解：选项A：，故选项A错误； 选项B：，故选项B错误； 选项C：，故选项C正确； 选项D：，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算法则，熟练掌握运算法则是解决此类题的关键． 6.下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 正方形的四个角相等 【答案】B 【解析】 【分析】 先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定逐项判断即可得． 【详解】A、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题 B、逆命题：同位角相等，两直线平行 由平行线的判定可知，此逆命题是真命题 C、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形 由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题 D、逆命题：如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是正方形 如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是矩形，不一定是正方形，则此逆命题是假命题 故选：B． 【点睛】本题考查了命题的逆命题、对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定，正确写出各命题的逆命题是解题关键． 7.在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ） A. 样本的容量是4 B. 样本的中位数是3 C. 样本的众数是3 D. 样本的平均数是3.5 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据方差的计算公式得出样本数据，从而可得样本的容量，再根据中位数与众数的定义、平均数的计算公式逐项判断即可得． 【详解】由方差的计算公式得：这组样本数据为 则样本的容量是4，选项A正确 样本的中位数是，选项B正确 样本的众数是3，选项C正确 样本的平均数是，选项D错误 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等知识点，依据方差的计算公式正确得出样本数据是解题关键． 8.点D，E分别是三角形ABC的边AB，AC的中点，如图， 求证：且 证明：延长DE到F， 使EF=DE，连接FC，DC，AF， 又AE=EC，则四边形ADCF是平行四边形， 接着以下是排序错误的证明过程； ①； ②； ③四边形DBCF是平行四边形； ④且 则正确的证明排序应是：（ ） A. ②③①④ B. ②①③④ C. ①③④② D. ①③②④ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据已经证明出四边形ADCF是平行四边形，则利用平行四边形的性质可得，可得，证出四边形DBCF是平行四边形，得出，且,即可得出结论且，对照题中步骤，即可得出答案. 【详解】解：四边形ADCF是平行四边形， ， ， 四边形DBCF是平行四边形, ，且; , ; 且; 对照题中四个步骤，可得②③①④正确； 故答案选：A. 【点睛】本题考查平行四边形性质与判定综合应用；当题中出现中点的时候，可以利用中线倍长的辅助线做法，证明平行四边形后要记得用平行四边形的性质继续解题. 9.如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据方位角的定义分别可求出，再根据角的和差、平行线的性质可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据等腰直角三角形的定义即可得． 【详解】由方位角的定义得： 由题意得： 由三角形的内角和定理得： 是等腰直角三角形 即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形 故选：A． 【点睛】本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知识点，掌握理解方位角的概念是解题关键． 10.观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（ ） A. 499 B. 500 C. 501 D. 1002 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n的值． 【详解】设最后三位数为x－4,x－2,x． 由题意得: x－4+x－2+x=3000, 解得x=1002． n=1002÷2=501． 故选C． 【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤． 11.一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ） A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种 【答案】B 【解析】 【分析】 设截成的两边的长分别为xcm、ycm，然后根据相似三角形对应边成比例，分两种情况求解即可． 【详解】解：设截成的两边的长分别为xcm、ycm， 若从60cm长的木条上截取， ∵x+y≤60<120， ∴不符合题意； 若从120cm长的木条上截取， ①当60cm与75cm是对应边时， ∵两三角形相似， ∴， 解得x=80，y=96， ∵80+96=176cm>120cm， ∴此种情况不符合题意； ②当60cm与100cm是对应边时， ∵两三角形相似， ∴， 解得x=45，y=72， ∵60cm <45+72=117cm<120cm， ∴从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条； ③当60cm与120cm是对应边时， ∵两三角形相似， ∴， 解得x=375，y=50， ∵60cm <37.5+50=87.5cm<120cm， ∴从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条； 综上所述，共有两种截法：方法一：从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条，方法二：从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于根据对应边的不同分情况讨论． 12.把二次函数的图象作关于x轴的对称变换 ，所得图象的解析式为，若，则m的最大值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为，再根据对称轴、与y轴的交点问题可求出，，然后代入解一元一次不等式即可得． 【详解】由二次函数图形的变换规律得：把二次函数的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为 则与相同 由对称轴得：，解得 当时，由函数得；由函数得 则，即 将，代入得： 整理得： 解得 则m的最大值为6 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与y轴的交点）、一元一次不等式等知识点，依据二次函数的图象与性质求出b、c与a的关系等式是解题关键． 二、填空题 13.计算：_________． 【答案】6 【解析】 【分析】 根据负有理数的减法法则计算即可． 【详解】． 故答案为:6． 【点睛】本题考查负有理数的减法计算,关键在于熟练掌握计算法则． 14.分解因式：________________． 【答案】. 【解析】 【分析】 首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】==． 故答案为． 15.如图，将两张对边平行且相等的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD_________菱形（是，或不是）． 【答案】是 【解析】 【分析】 如图（见解析），先根据“两张对边平行且相等的纸条”得出，再根据平行四边形的判定可得四边形ABCD是平行四边形，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据菱形的判定即可得． 【详解】如图，过点B作，交DA延长线于点E，过点D作，交BA延长线于点F 由题意得： 四边形ABCD是平行四边形 和中， 平行四边形ABCD是菱形 故答案为：是． 【点睛】本题考查了平行四边形与菱形的判定、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形与菱形的判定是解题关键． 16.经过人民路十字路口红绿灯处两辆汽车，可能直行，也可能左转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】 可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有4种情况，至少有一辆向左转有3种情况，根据概率公式计算可得． 【详解】解：由题意画出“树状图”如下： ∵这两辆汽车行驶方向共有4种可能的结果，其中至少有一辆向左转有3种情况， ∴至少有一辆向左转的概率是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解． 17.如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】9 【解析】 【分析】 如图（见解析），先根据正六边形的性质、等边三角形的判定与性质得出正六边形的面积和的面积，再根据旋转的性质、线段的和差得出的长，从而可得的面积，然后根据即可得． 【详解】六边形ABCDEF是边长为3正六边形 其每个内角的度数为，， ， 如图，连接BE，交AD于点O，交AC于点P，则点O为正六边形的中心 是等边三角形， 是等腰三角形，且 由旋转的性质可知，， 则 故答案为：9． 【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一、旋转的性质等知识点，熟练掌握正六边形的性质与旋转的性质是解题关键． 18.已知函数与函数的部分图像如图所示，有以下结论： ①当时，都随x的增大而增大； ②当时， ； ③的图像的两个交点之间的距离是2； ④函数的最小值为2； 则所有正确的结论是_________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】 先补充完整两个函数的图象，再根据函数图象的增减性、对称性、交点问题可判断结论①②③，然后根据完全平方公式、偶次方的非负性可判断结论④． 【详解】当时，， 当时，， 画出两个函数的图象如下所示： 则当时，随x的增大而减小；随x的增大而增大，结论①错误 当时，函数的图象位于函数的图象的上方，则，结论②正确 当时， 即的图象位于第一象限的交点坐标为 由对称性可知，的图象位于第二象限的交点坐标为 因此，的图象的两个交点之间的距离是，结论③正确 又，当且仅当，即时，等号成立 即函数的最小值为2，结论④正确 综上，所有正确的结论是②③④ 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象与性质是解题关键． 三、解答题 19.计算： 【答案】10． 【解析】 【分析】 先计算零指数幂、绝对值运算、算术平方根，再计算二次根式的乘法、去括号、有理数的乘方，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了零指数幂、绝对值运算、算术平方根、二次根式的加减法与乘法等知识点，熟记各运算法则是解题关键． 20.解方程组： 【答案】． 【解析】 【分析】 利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】 ①②得 解得 将代入②得 解得 则方程组的解为． 【点睛】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键． 21.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求的值． 【答案】（1）k>-1；（2）1 【解析】 【分析】 （1）根据∆>0列不等式求解即可； （2）根据根与系数的关系求出a+b、ab的值，然后代入所给代数式计算即可. 【详解】解：（1）由题意得 ∆=4+4k>0， ∴k>-1； （2）∵a+b=-2，ab=-k， ∴ = = = =1. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，． 22.在镇村两委及帮扶人大力扶持下，贫困户周大叔与某公司签定了农产品销售合同，并于今年在自家荒地种植了A，B，C，D四种不同品种的树苗共300棵，其中C品种果树苗的成活率为，几个品种果树树苗种植情况及其成活情况分别绘制在下列图①和图②两个尚不完整的统计图中． （1）种植B品种树苗有多少棵； （2）请你将图②的统计图补充完整； （3）通过计算说明，哪个品种的果树苗成活率最高? 【答案】（1）种植B品种树苗有棵；（2）补全图形见解析；（3）C品种果树苗的成活率最高． 【解析】 【分析】 （1）由总量乘以B品种树苗所占的百分比即可得到答案； （2）先计算出种树苗种植的数量，得到成活的数量，补全图形即可； （3）分别计算出三种树苗的成活率，结合已知的种树苗的成活率，从而可得答案． 【详解】解：（1）由题意得：种植B品种树苗有： （棵）． （2）因为种树苗种植了棵， 所以成活棵， 补全图形如下： 　　　　　　图② （3）种树苗的成活率为： 种树苗的成活率为： C品种果树苗的成活率为， 品种果树苗的成活率为 所以：C品种果树苗的成活率最高． 【点睛】本题考查的是从条形统计图与扇形统计图中获取有效的信息，同时考查了对信息的整理与计算，掌握以上知识是解题的关键． 23.如图，AB是圆O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD=AB，连接CB与圆O交于点F，在CD上取一点E，使得EF=EC． （1）求证：EF是圆O的切线； （2）若D是OA的中点，AB=4，求CF的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】 【分析】 (1)连接OF和AF，证明∠GFE=∠AGD，进而可证明∠OFE=90°后即可求解； (2)先由AB=CD=4，BD=3，在Rt△BCD中结合勾股定理求出BC，再证明△ABF∽△CBD，由对应边成比例求出BF的长，最后用BC减去BF就是所求的CF的长． 【详解】解：(1)连接OF和AF，设AF与DC相交于点G，如下图所示： ∵OA=OF， ∴∠A=∠OFA， ∵AB为圆O的直径，∴∠AFB=∠AFC=90°， ∴∠C+∠CGF=90°，∠GFE+∠EFC=90° 又EC=EF，∴∠C=∠EFC， ∴∠CGF=∠GFE, 又∠CGF=∠AGD， ∴∠GFE=∠AGD ∴∠OFE=∠OFA+∠GFE=∠A+∠AGD=180°-∠ADG=180°-90°=90°， ∴OF⊥EF， ∴EF是圆O的切线． (2)如下图所示， ∵D是OA的中点，且AB=4， ∴DO=1，BD=BO+DO=3， 又AB=CD=4， ∴在Rt△BCD中，BC²=BD²+CD²=3²+4²=5²， ∴BC=5， 又∠BDC=∠BFA=90°，且∠B=∠B， ∴△ABF∽△CBD， ∴，代入数据后得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握其定理及性质是解决此类题的关键． 24.南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米． （1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？ 【答案】（1）（0<x≤600）；（2）实际挖掘了500天才能完成首期工程 【解析】 【分析】 （1）根据“工作时间=总工作量÷每天工作量”，即可得出y关于x的函数关系式； （2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵共有土石方总量600千立方米， ∴（0<x≤600）； （2）由题意得 ， 解得x1=1，x2=（负值舍去）， 经检验x=1是原分式方程的解 1+0.2=1.2千立方米， 600÷1.2=500天． 答：实际挖掘了500天才能完成首期工程． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据工期比原计划提前了100天列出方程． 25.如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若H是AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90度，得到线段HE，过点E分别作BC及AB的延长线的垂线，垂足分别是F，G，设四边形BGEF的面积为，以HB，BC为邻边的矩形面积为，且，当时，求AH的长； 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由题根据可得对角线相等且互相平分，可得四边形ABCD是矩形，又因为在中，利用勾股定理逆定理可得出为等腰直角三角形，可得，所以也是等腰直角三角形，可得，所以得出四边形ABCD是正方形； （2）根据题意，易证得，可得，设，则，，可得，则，令，即：，解方程即可得出的长. 【详解】解：（1）依题意可得： ， 四边形为平行四边形； 又， 四边形为矩形； 又在中，，且三边满足 为等腰直角三角形； , , , , 四边形为正方形； 即：四边形为正方形. （2）由题可得：, ， 又 ， 在与中 设，则， 可得：，， 令，可得， 解得：，（舍去）. 即. 【点睛】本题考查正方形的判定以及与正方形相关的几何证明.在证明正方形的时候必须先证明四边形是矩形或者菱形，然后得出正方形；如果题中涉及到边之间的关系是或倍的关系，则利用勾股定理逆定理验证是否是等腰直角三角形；如果遇到直角比较多的地方，注意观察题中是否有一线三垂直，要积累和熟练应用这个全等模型. 26.已知抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）将抛物线经过向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B， 两点（在B的右侧），顶点D的对应点，若，求的坐标和抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线或上是否存在点P，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）B（3，0），y2=-x2+4x-3；（3）P的坐标为（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）． 【解析】 【分析】 （1）令y=0，即可求出A，B，令x=0，即可求出C的坐标； （2）设B（t，0），根据由题意得y2由y1平移所得，可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，求出D，判断出△BDB是等腰直角三角形，可得yD=|BB|，即可得到关于t的方程，解出t即可求出B的坐标和y2的解析式； （3）分①若Q在B右边，②若Q在B左边：当BQ为边时和当BQ为对角线时，这几种情况讨论即可． 【详解】解：（1）由题意得抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C， ∴当y=0时， 即（x+3）（1-x）=0 解得x1=-3，x2=1， ∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0）， 当x=0时，y=-02-2×0+3=3， ∴C的坐标为（0，3）， 综上：A（-3，0），B（1，0），（0，3）； （2）设B（t，0）， 由题意得y2由y1平移所得， ∴a=-1， ∴可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t， ∴D（，）， ∵B和B是对称点，D在对称轴上，∠BDB=90°， ∴△BDB是等腰直角三角形， ∴yD=|BB|， ∴=（t-1）， 解得t=3， ∴B（3，0）， ∴y2=-x2+4x-3； （3）①若Q在B右边，则P在x轴上方，且CP∥BQ， ∴yP=yC=3， 此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去； ②若Q在B左边， 当BQ为边时，则CP∥BQ， 此时yP=yC=3，P点在y1上， 将yP=3，代入y1得， 解得x1=0，x2=-2， ∴此时P的坐标为（-2，3）； 当BQ为对角线时，则BC∥QP， ∵yC-yB=3， ∴yQ-yP=3， ∵Q在x轴上， ∴yP=-3， 将yP=-3代入y1得， 解得x1=-1+，x2=-1-， 将yP=-3代入y2得-x2+4x-3=-3， 解得x1=0，x2=4， ∴P的坐标为：（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）， 综上：P的坐标为：（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质，结合题意灵活运用知识点是解题关键．