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2021年四川省南充市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分. 1．（4分）满足x≤3的最大整数x是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（4分）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 3．（4分）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（　　） A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF 4．（4分）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7．下列说法错误的是（　　） A．该组数据的中位数是6 B．该组数据的众数是6 C．该组数据的平均数是6 D．该组数据的方差是6 5．（4分）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（　　） A．10x+5（x﹣1）＝70 B．10x+5（x+1）＝70 C．10（x﹣1）+5x＝70 D．10（x+1）+5x＝70 6．（4分）下列运算正确的是（　　） A．•＝ B．÷＝ C．+＝ D．﹣＝ 7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 8．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（　　） A． B．2 C．+1 D．2﹣1 9．（4分）已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021 10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论： ①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形； ②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48； ③A′C﹣B′C的最大值为15； ④A′C+B′C的最小值为9． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上. 11．（4分）如果x2＝4，则x＝　 　． 12．（4分）在﹣2，﹣1，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 　 　． 13．（4分）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为 　 　． 14．（4分）若＝3，则+＝　 　． 15．（4分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD：AC的值为 　 　． 16．（4分）关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论： ①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点； ②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间； ③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1． 其中正确结论的序号是 　 　． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（8分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x﹣3）2，其中x＝﹣1． 18．（8分）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE． 19．（8分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目． （1）求考生小红和小强自选项目相同的概率； （2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下： 考生 自选项目 长跑 掷实心球 小红 95 90 95 小强 90 95 95 ①补全条形统计图． ②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩． 20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值． 21．（10分）如图，反比例函数的图象与过点A（0，﹣1），B（4，1）的直线交于点B和C． （1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）已知点D（﹣1，0），直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求△BCE的面积． 22．（10分）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长． 23．（10分）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元． （1）求苹果的进价； （2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式； （3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣x+12．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入﹣购进支出） 24．（10分）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE＝． （1）求tan∠ACE； （2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）； （3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由． 25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2021年四川省南充市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分. 1．（4分）满足x≤3的最大整数x是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：满足x≤3的最大整数x是3， 故选：C． 2．（4分）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 【解答】解：由题意得：|m|＝|m+2|, ∴m＝m+2或m＝﹣(m+2), ∴m＝﹣1． 故选：C． 3．（4分）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（　　） A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF 【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF， 又∵∠DOC＝∠BOA， ∴选项A正确，选项B、C、D不正确， 故选：A． 4．（4分）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7．下列说法错误的是（　　） A．该组数据的中位数是6 B．该组数据的众数是6 C．该组数据的平均数是6 D．该组数据的方差是6 【解答】解：A、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7．则中位数是6，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵6出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是6，故本选项说法正确，不符合题意； C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）÷7＝6，故本选项说法正确，不符合题意； D、方差为：×[（5﹣6）2+2×（5﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（7﹣6）2]＝，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 5．（4分）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（　　） A．10x+5（x﹣1）＝70 B．10x+5（x+1）＝70 C．10（x﹣1）+5x＝70 D．10（x+1）+5x＝70 【解答】解：设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元， 依题意得：10x+5(x﹣1)＝70． 故选：A． 6．（4分）下列运算正确的是（　　） A．•＝ B．÷＝ C．+＝ D．﹣＝ 【解答】解：＝，故选项A错误； ＝＝，故选项B错误； ＝＝，故选项C错误； ＝＝＝，故选项D正确； 故选：D． 7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴CD＝2ED＝2CE， ∵CD＝2OE， ∴DE＝OE， ∵CD⊥AB， ∴∠DOE＝∠ODE＝45°， ∴∠BCD＝∠DOE＝22.5°． 故选：B． 8．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（　　） A． B．2 C．+1 D．2﹣1 【解答】解：如图，连结BD，作DH⊥AB,垂足为H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD,AD∥BC, ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°, ∴AD＝BD,∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°, ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°, ∵AE＝BF， ∴△ADE≌△BDF(SAS)， ∴DE＝DF,∠FDB＝∠ADE， ∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°, ∴△DEF是等边三角形， ∵△DEF的周长是3， ∴DE＝, 设AH＝x,则HE＝2﹣x， ∵AD＝BD,DH⊥AB, ∴∠ADH＝∠ADB＝30°, ∴AD＝2x,DH＝x， 在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE², ∴（x）²+(2﹣x)²＝()², 解得：x＝(负值舍去）， ∴AD＝2x＝1+， 故选：C． 9．（4分）已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021 【解答】解:∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2021,x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0， ∵x2≠0, ∴x2﹣2021+＝0, ∴﹣＝x2﹣2021, ∴﹣, ∴x12﹣＝2021x1﹣1+2021x2﹣20212 ＝2021(x1+x2)﹣1+20212 ＝20212﹣1﹣20212 ＝﹣1． 故选：B． 10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论： ①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形； ②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48； ③A′C﹣B′C的最大值为15； ④A′C+B′C的最小值为9． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：如图1中，∵AB＝A′B′,AB∥A′B′,AB＝CD,AB∥CD, ∴A′B′＝CD,A′B′∥CD, ∴四边形A′B′CD是平行四边形，故①正确， 作点C关于直线AA′的对称点E,连接CE交AA′于T,交BD于点O,则CE＝4OC． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°,CD＝AB＝15, ∴BD＝＝＝25, ∵•BD•CO＝•BC•CD, ∴OC＝＝12, ∴EC＝48,故②正确， ∵A′C﹣B′C≤A′B′, ∴A′C﹣B′C≤15, ∴A′C﹣B′C的最大值为15,故③正确， 如图2中，∵B′C＝A′D, ∴A′C+B′C＝A′C+A′D, 作点D关于AA′的对称点D′,连接DD′交AA′于J,过点D′作D′E⊥CD交CD的延长线于E,连接CD′交AA′于A′,此时CB′+CA′的值最小，最小值＝CD′, 由△AJD∽△DAB,可得＝, ∴＝, ∴DJ＝12, ∴DD′＝24, 由△DEE′∽△DAB,可得＝＝, ∴＝＝, ∴ED′＝,DE＝, ∴CE＝CD+DE＝15+＝, ∴CD′＝＝＝9, ∴A′C+B′C的最小值为9．故④正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上. 11．（4分）如果x2＝4，则x＝　±2　． 【解答】解：x2＝4， 开平方得x＝±2； 故答案为：±2． 12．（4分）在﹣2，﹣1，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 　　． 【解答】解：在﹣2，﹣1，1，2这四个数中，其倒数等于本身的有﹣1和1这两个数， 所以四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是＝， 故答案为：． 13．（4分）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为 　3　． 【解答】解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°， ∵F为BE的中点，AF＝3， ∴BE＝2AF＝6． ∵G，H分别为BC，EC的中点， ∴GH＝BE＝3， 故答案为3． 14．（4分）若＝3，则+＝　　． 【解答】解：∵, ∴n＝2m, ∴+＝+＝+4＝, 故答案为：． 15．（4分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD：AC的值为 　　． 【解答】解：∵BC＝AB＝3BD， ∴， ∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△DBA， ∴, ∴AD:AC＝, 故答案为：． 16．（4分）关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论： ①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点； ②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间； ③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1． 其中正确结论的序号是 　②③　． 【解答】解：由,消去y得到，ax2﹣4x﹣1＝0, ∵△＝16+4a,a＜0, ∴△的值可能大于0， ∴抛物线与直线y＝2x+2可能有交点，故①错误． ∵抛物线与x轴有两个交点, ∴△＝4﹣4a＞0, ∴a＜1, ∵抛物线经过(0,1),且x＝1时，y＝a﹣1＜0, ∴抛物线与x轴的交点一定在（0,0）与（1,0）之间．故②正确， ∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界）， ∴﹣＞0, ∴a＞0, ∴1＞≥0, 解得，a≥1,故③正确， 故答案为：②③． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（8分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x﹣3）2，其中x＝﹣1． 【解答】解：原式＝4x2﹣1﹣(4x2﹣12x+9) ＝4x2﹣1﹣4x2+12x﹣9 ＝12x﹣10． ∵x＝﹣1, ∴12x﹣10＝12×(﹣1)﹣10＝﹣22． 故答案为：12x﹣10,﹣22． 18．（8分）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE． 【解答】证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠FAC＝90°， ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BEA＝∠AFC＝90°， ∴∠BAE+∠EBA＝90°， ∴∠EBA＝∠FAC, 在△ACF和△BAE中， , ∴△ACF≌△BAE(AAS), ∴AF＝BE． 19．（8分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目． （1）求考生小红和小强自选项目相同的概率； （2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下： 考生 自选项目 长跑 掷实心球 小红 95 90 95 小强 90 95 95 ①补全条形统计图． ②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩． 【解答】解：（1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作A、B、C，列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表可知共有9种等可能结果，其中小红和小强自选项目相同的有3种结果， 所以小红和小强自选项目相同的概率为＝； （2）①补全条形统计图如下： ②小红的体育中考成绩为95×50%+90×30%+95×20%＝93.5（分）， 小强的体育中考成绩为90×50%+95×30%+95×20%＝92.5（分）． 20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值． 【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0， ∴无论k取何值,方程有两个不相等的实数根． (2)解:∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0， 解得：x＝k或x＝k+1． ∴一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两根为k,k+1, ∴或, 如果1+为整数,则k为1的约数, ∴k＝±1, 如果1﹣为整数,则k+1为1的约数, ∴k+1＝±1, 则k为0或﹣2． ∴整数k的所有可能的值为±1,0或﹣2． 21．（10分）如图，反比例函数的图象与过点A（0，﹣1），B（4，1）的直线交于点B和C． （1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）已知点D（﹣1，0），直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求△BCE的面积． 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y＝,直线AB解析式为y＝ax+b, ∵反比例函数的图象过点B（4，1）, ∴k＝4×1＝4, 把点A（0，﹣1），B（4，1）代入y＝ax+b得, 解得, ∴直线AB为y＝,反比例函数的解析式为y＝； (2)解得或, ∴C(﹣2,﹣2), 设直线CD为y＝mx+n, 把C(﹣2,﹣2),D(﹣1,0)代入得, 解得, ∴直线CD为y＝2x+2, 由得或, ∴E(1,4), ∴S△BCE＝6×6﹣×3﹣﹣＝． 22．（10分）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长． 【解答】(1)证明:∵AB＝OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形． ∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°． ∵BC＝OB， ∴BC＝AB， ∴∠BAC＝∠C, ∵∠OBA＝∠BAC+∠C＝60°， ∴∠BAC＝∠C＝30°． ∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°． ∴OA⊥AC， ∴点A在⊙O上， ∴AC是⊙O的切线； (2)解:如图，连结OF,过点O作OH⊥GF于点H． ∴GF＝2HF，∠OHE＝∠OHF＝90°． ∵点D,E分别是AC，OA的中点， ∴OE＝AE＝OA＝×4＝2,DE∥OC． ∴∠OEH＝∠AOB＝60°,OH＝OEsin∠OEH＝． ∴HF＝＝＝． ∴GF＝2HF＝2． 23．（10分）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元． （1）求苹果的进价； （2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式； （3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣x+12．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入﹣购进支出） 【解答】(1)解：设苹果的进价为x元/千克， 根据题意得：， 解得：x＝10， 经检验x＝10是原方程的根，且符合题意， 答：苹果的进价为10元/千克． (2)解：当0≤x≤100时，y＝10x； 当x＞100时，y＝10×100+(x﹣100)(10﹣2)＝8x+200； ∴y＝． (3)解：当0≤x≤100时， w＝(z﹣10)x ＝()x ＝， ∴当x＝100时，w有最大值为100； 当100＜x≤300时， w＝(z﹣10)×100+(z﹣8)(x﹣100) ＝()×100+()(x﹣100) ＝ ＝， ∴当x＝200时，w有最大值为200； ∵200＞100， ∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大为200元． 答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大． 24．（10分）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE＝． （1）求tan∠ACE； （2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）； （3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由． 【解答】解:(1)过点E作EM⊥AC于点M, ∴∠AME＝∠EMC＝90°, ∵四边形ABCD是边长为1的正方形,DE＝, ∴∠CAD＝45°,AE＝AD﹣DE＝1﹣＝, ∴EM＝AM＝AE•sin∠CAD＝,AC＝, ∴CM＝AC﹣AM＝﹣＝, ∴tan∠ACE＝＝＝； (2)∵GH⊥AD,AB⊥AD, ∴GH∥AB, ∴△DHG∽△DAF, ∴, ∴, ∴y＝x﹣xy, ∴y＝(0＜x≤1)； (3)当∠ADF＝∠ACE时,EG⊥AC, 理由如下: ∵tan∠ADF＝tan∠ACE＝, ∴, ∴x＝,y＝, ∴HA＝GH＝, ∴EH＝AD﹣DE﹣AH＝, ∴EG＝＝＝, ∴EG＝EM, 又∵EM⊥AC, ∴点G与点M重合, ∴EG⊥AC． 25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：，解得， 故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4①； （2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4， 故点B的坐标为（4,0），点C（0,4）， 设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得， 故直线BC的表达式为y＝﹣x+4， 设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4）， 则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x， ∵﹣1＜0， 故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO， 此时点Q的坐标为（2，﹣2）； ∵PQ＝CO，PQ∥OC， 故四边形OCPQ为平行四边形； （3）∵D是OC的中点，则点D（0,2）， 由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x﹣2， 过点Q作QH⊥x轴于点H， 则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA， 而∠DQE＝2∠ODQ． ∴∠HQA＝∠HQE， 则直线AQ和直线QE关于直线QH对称， 故设直线QE的表达式为y＝2x+r， 将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6， 故直线QE的表达式为y＝2x﹣6②， 联立①②并解得（不合题意的值已舍去）， 故点E的坐标为（5,4）， 设点F的坐标为（0，m）， 由点B、E的坐标得：BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17， 同理可得，当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1； 当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解； 当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝； 故点F的坐标为（0,1）或（0，﹣1）或（0，）． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/6/23 8:56:52；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@；学号：500557 第27页（共27页）