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2020年辽宁省营口市中考数学试卷 一．选择题（共10小题） 1．﹣6的绝对值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．﹣ 2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．xy2﹣xy2＝xy2 C．（x+y）2＝x2+y2 D．（2xy2）2＝4xy4 4．如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为 （　　） A．66° B．56° C．68° D．58° 5．反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　） A．110° B．130° C．140° D．160° 8．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3 9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84 10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（　　） A．3 B． C．2 D．1 二．填空题（共8小题） 11．ax2﹣2axy+ay2＝　 　． 12．长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为　 　． 13．（3+）（3﹣）＝　 　． 14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是　 　． 15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为　 　． 16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　 　． 17．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为　 　． 18．如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为　 　． 三．解答题 19.先化简，再求值：（﹣x）÷，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值． 20.随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗． （1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　　； （2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 21.“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为　　； （3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数． 22.如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.73） 23.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长． 24.某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）． （1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 25.如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F． （1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　　； （2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示） （3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长． 26.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC； ①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标． 2020年辽宁省营口市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．﹣6的绝对值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．﹣ 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值． 【解答】解：|﹣6|＝6， 故选：A． 2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【解答】解：从上面看易得俯视图： ． 故选：C． 3．下列计算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．xy2﹣xy2＝xy2 C．（x+y）2＝x2+y2 D．（2xy2）2＝4xy4 【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方的运算法则分别进行计算后，可得到正确答案． 【解答】解：A、x2•x3＝x5，原计算错误，故此选项不符合题意； B、xy2﹣xy2＝xy2，原计算正确，故此选项符合题意； C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意； D、（2xy2）2＝4xy4，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为 （　　） A．66° B．56° C．68° D．58° 【分析】根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°； ∵EG平分∠BEF， ∴∠GEB＝58°． 故选：D． 5．反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题． 【解答】解：∵反比例函数y＝（x＜0）中，k＝1＞0， ∴该函数图象在第三象限， 故选：C． 6．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论． 【解答】解：∵DE∥AB， ∴＝＝， ∴的值为， 故选：A． 7．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　） A．110° B．130° C．140° D．160° 【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数． 【解答】解：如图，连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°， ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°． 故选：B． 8．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0， x﹣2＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝2，x2＝3． 故选：D． 9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84 【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论． 【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82． 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（　　） A．3 B． C．2 D．1 【分析】根据题意设B（m，m），则A（m，0），C（，），D（m，m），然后根据S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，得到（+）•（m﹣m）＝，即可求得k＝＝2． 【解答】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0）， ∵点C为斜边OB的中点， ∴C（，）， ∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C， ∴k＝•＝， ∵∠OAB＝90°， ∴D的横坐标为m， ∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D， ∴D的纵坐标为， 作CE⊥x轴于E， ∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝， ∴（AD+CE）•AE＝，即（+）•（m﹣m）＝， ∴＝1， ∴k＝＝2， 故选：C． 二．填空题（共8小题） 11．ax2﹣2axy+ay2＝　a（x﹣y）2　． 【分析】首先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：ax2﹣2axy+ay2 ＝a（x2﹣2xy+y2） ＝a（x﹣y）2． 故答案为：a（x﹣y）2． 12．长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为　1.8×106　． 【分析】根据科学记数法的表示方法：a×10n，可得答案． 【解答】解：将1800000用科学记数法表示为 1.8×106， 故答案为：1.8×106． 13．（3+）（3﹣）＝　12　． 【分析】直接利用平方差公式计算得出答案． 【解答】解：原式＝（3）2﹣（）2 ＝18﹣6 ＝12． 故答案为：12． 14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是　丙　． 【分析】再平均数相等的前提下，方差越小成绩越稳定，据此求解可得． 【解答】解：∵平均成绩都是87.9分，S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52， ∴S丙2＜S乙2＜S甲2， ∴丙选手的成绩更加稳定， ∴适合参加比赛的选手是丙， 故答案为：丙． 15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为　15π　． 【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可． 【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4， ∴母线长为5， ∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π， 故答案为：15π 16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　4　． 【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案． 【解答】解：∵OA＝1，OB＝2， ∴AC＝2，BD＝4， ∴菱形ABCD的面积为×2×4＝4． 故答案为：4． 17．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为　3　． 【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，根据等边三角形的性质得到BF＝AB＝6＝3，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过C作CF⊥AB交AD于E， 则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF， ∵△ABC为等边三角形，边长为6， ∴BF＝AB＝6＝3， ∴CF＝＝＝3， ∴CE+EF的最小值为3， 故答案为：3． 18．如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为　（1+）2019　． 【分析】解直角三角形求出A1B1，A2B2，A3B3，…，探究规律利用规律即可解决问题． 【解答】解：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1•tan60°＝， ∵A1B1∥A2B2， ∴＝， ∴＝， ∴A2B2＝（1+）， 同法可得，A3B3＝（1+）2， … 由此规律可知，A2020B2020＝（1+）2019， 故答案为（1+）2019． 三．解答题 19.先化简，再求值：（﹣x）÷，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值． 【考点】6D：分式的化简求值；CC：一元一次不等式组的整数解． 【专题】11：计算题；513：分式；66：运算能力． 【分析】先去括号、化除法为乘法进行化简，然后根据分式有意义的条件取x的值，代入求值即可． 【解答】解：原式＝• ＝• ＝﹣2﹣x． ∵x≠1，x≠2， ∴在0≤x≤2的范围内的整数选x＝0． 当x＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2． 20.随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗． （1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　　； （2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法． 【专题】543：概率及其应用；69：应用意识． 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4， 所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝＝． 21.“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为　18°　； （3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数． 【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图． 【专题】54：统计与概率；65：数据分析观念． 【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出A组的人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可得到C组的人数，然后即可将条形统计图补充完整； （2）根据条形统计图中D组的人数，可以计算出扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数； （3）根据扇形统计图中A组所占的百分比，即可计算出该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数． 【解答】解：（1）A组学生有：200×30%＝60（人）， C组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50（人）， 补全的条形统计图，如右图所示； （2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°×＝18°， 故答案为：18°； （3）2500×30%＝750（人）， 答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生有750人． 22.如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.73） 【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题． 【专题】31：数形结合；554：等腰三角形与直角三角形；55E：解直角三角形及其应用；64：几何直观；68：模型思想；69：应用意识． 【分析】作高AN，由题意可得∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，进而得出∠ABC＝∠BAC＝30°，于是AC＝BC＝12，在在Rt△ANC中，利用直角三角形的边角关系，求出AN与10海里比较即可． 【解答】 解：没有触礁的危险； 理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N， 由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°， ∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°， ∴∠ABC＝∠BAC＝30°， ∴BC＝AC＝12， 在Rt△ANC中，AN＝AC•cos60°＝12×＝6， ∵AN＝6≈10.38＞10， ∴没有危险． 23.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长． 【考点】KF：角平分线的性质；M2：垂径定理；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形． 【专题】55A：与圆有关的位置关系；67：推理能力． 【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到OH＝OC，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，在解直角三角形即可得到结论． 【解答】 （1）证明：过O作OH⊥AB于H， ∵∠ACB＝90°， ∴OC⊥BC， ∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB， ∴OH＝OC， 即OH为⊙O的半径， ∵OH⊥AB， ∴AB为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x， 在Rt△AOH中，∵tanA＝， ∴＝， ∴＝， ∴AH＝4x， ∴AO＝＝＝5x， ∵AD＝2， ∴AO＝OD+AD＝3x+2， ∴3x+2＝5x， ∴x＝1， ∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3， ∴AC＝OA+OC＝5+3＝8， 在Rt△ABC中，∵tanA＝， ∴BC＝AC•tanA＝8×＝6， ∴OB＝＝＝3． 24.某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）． （1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 【考点】HE：二次函数的应用． 【专题】124：销售问题；533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质；536：二次函数的应用；66：运算能力；69：应用意识． 【分析】（1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y； （2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×， ∴y＝﹣40x+880； （2）设每天的销售利润为w元，则有： w＝（﹣40x+880）（x﹣16） ＝﹣40（x﹣19）2+360， ∵a＝﹣40＜0， ∴二次函数图象开口向下， ∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元． 答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元． 25.如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F． （1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　AF＝AE　； （2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示） （3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长． 【考点】SO：相似形综合题． 【专题】152：几何综合题；556：矩形 菱形 正方形；55D：图形的相似；66：运算能力；67：推理能力． 【分析】（1）证明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝AE； （2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出，则可得出结论； （3）①如图1，当点F在DA上时，证得△GDF∽△GBA，得出，求出AG＝．由△ABE∽△ADF可得出＝，求出AE＝．则可得出答案； ②如图2，当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长． 【解答】解：（1）AE＝AF． ∵AD＝AB，四边形ABCD矩形， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∴△EAB≌△FAD（AAS）， ∴AF＝AE； 故答案为：AF＝AE． （2）AF＝kAE． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°， ∴∠FAD+∠FAB＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB+∠FAB＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∵∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE＝∠ADF． ∴△ABE∽△ADF， ∴， ∵AD＝kAB， ∴， ∴， ∴AF＝kAE． （3）解：①如图1，当点F在DA上时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AD＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴CD＝2， ∵CF＝1， ∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1． 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝＝＝， ∵DF∥AB， ∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB， ∴△GDF∽△GBA， ∴， ∵AF＝GF+AG， ∴AG＝． ∵△ABE∽△ADF， ∴＝， ∴AE＝＝． 在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝＝＝， ②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3， 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝＝＝5． ∵DF∥AB， ∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF， ∴△AGB∽△FGD， ∴＝， ∵GF+AG＝AF＝5， ∴AG＝2， ∵△ABE∽△ADF， ∴， ∴AE＝， 在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝＝＝． 综上所述，EG的长为或． 26.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC； ①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标． 【考点】HF：二次函数综合题． 【专题】16：压轴题；65：数据分析观念． 【分析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解； （2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可； ②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR＝NR，列出等式即可求解． 【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1）， 解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①； （2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4）， 由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3； tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝； ①当点P（P′）在点C的右侧时， ∵∠PAB＝∠BCO， 故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）； 当点P在点C的左侧时， 设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N， ∵∠PAB＝∠BCO， ∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×＝， 解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣）， 由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②， 联立①②并解得：， 故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）； ②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝， 故设直线AP的表达式为：y＝x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1， 故直线AP的表达式为：y＝x+1， 联立①③并解得：，故点N（，）； 设△AMN的外接圆为圆R， 当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n）， ∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°， ∴∠RMH＝∠GAR， ∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°， ∴△AGR≌△RHM（AAS）， ∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH， ∴点M（m+n，n﹣m﹣3）， 将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③， 由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m﹣）2+（）2④， 联立③④并解得：， 故点M（﹣，﹣）．