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湖南省邵阳市2020年中考数学试题 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.2020的倒数是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据倒数的定义解答. 【详解】2020的倒数是， 故选：C. 【点睛】此题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键. 2.下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可． 【详解】A、球的三视图都是圆，故本选项正确； B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项错误； C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项错误； D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键． 3.2020年6月23日，中国第55颗北斗号航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3450亿元，较2018年增长14.4%．其中，3450亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】 根据科学计数法的表示形式为，其中，n为整数，即可做出选择． 【详解】解：根据科学计数法的表示形式为，其中，n为整数，则3450亿=345000000000=3.45×1011元． 故选：D 【点睛】本题主要考查利用科学计数法表示较大的数的方法，掌握科学计数法的表示方法是解答本题的关键，这里还需要注意n的取值． 4.设方程的两根分别是，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可． 【详解】由可知，其二次项系数，一次项系数， 由韦达定理：， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率． 5.已知正比例函数的图象过点，把正比例函数的图象平移，使它过点，则平移后的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点求出一次函数解析式，即可求解． 【详解】解：把点代入得 解得， ∴正比例函数解析式为， 设正比例函数平移后函数解析式为， 把点代入得， ∴， ∴平移后函数解析式为， 故函数图象大致． 故选：D 【点睛】本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后一次函数解析式是解题关键． 6.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分别运用二次根式、整式的运算、分式的运算法则逐项排除即可． 【详解】解：A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项错误； D. ，故D选项正确． 故答案为D． 【点睛】本题考查了二次根式、整式的运算、分式的运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 7.如图，四边形是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得，下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可. 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF， ∴∠ABE=∠CDF， A.若添加，则无法证明，故A错误； B.若添加，运用AAS可以证明，故选项B正确； C.若添加，运用ASA可以证明，故选项C正确； D.若添加，运用SAS可以证明，故选项D正确． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 8.已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据，得出，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案． 【详解】∵ ∴ 选项Ａ：在第一象限 选项Ｂ：在第二象限 选项Ｃ：在第三象限 选项Ｄ：在第四象限 小手盖住的点位于第二象限 故选：B 【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练进行正负的判断是解题的关键． 9.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】假设不规则图案面积为x， 由已知得：长方形面积为20， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ， 当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上有：，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 10.将一张矩形纸片按如图所示操作： （1）将沿向内折叠，使点A落在点处， （2）将沿向内继续折叠，使点P落在点处，折痕与边交于点M． 若，则的大小是（ ） A. 135° B. 120° C. 112.5° D. 115° 【答案】C 【解析】 【分析】 由折叠前后对应角相等且可先求出，进一步求出，再由折叠可求出，最后在中由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵折叠，且， ∴，即， ∵折叠， ∴， ∴在中，， 故选：C． 【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题． 二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分） 11.因式分解：=______． 【答案】2（x+3）（x﹣3）． 【解析】 试题分析：先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）. 考点：因式分解. 12.如图，已知点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，的面积是2．则k的值是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】 根据△OAB的面积等于2即可得到线段OB与线段AB的乘积，进而得到A点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出k值． 【详解】解：设点A的坐标为()，， 由题意可知：， ∴， 又点A在反比例函数图像上， 故有． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和性质是解决此类题的关键． 13.据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）： 甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9． 从接受“送教上门”的时间波动大小来看，___________学生每周接受送教的时间更稳定．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】 先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教的时间更稳定． 【详解】解：甲的“送教上门”时间的平均数为： ， 乙的“送教上门”时间的平均数为：， 甲的方差：， 乙的方差：， ， 所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定． 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义：方差越小，数据的密集度越高，波动幅度越小是解题的关键． 14.如图，线段，用尺规作图法按如下步骤作图． （1）过点B作的垂线，并在垂线上取； （2）连接，以点C为圆心，为半径画弧，交于点E； （3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点D．即点D为线段的黄金分割点． 则线段的长度约为___________（结果保留两位小数，参考数据：） 【答案】6.18 【解析】 【分析】 根据作图得△ABC为直角三角形，，AE=AD, 根据勾股定理求出AC，再求出AE，即可求出AD． 【详解】解：由作图得△ABC为直角三角形，，AE=AD, ∴cm， ∴cm， ∴cm． 故答案为：6.18 【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键． 15.在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________． 2 1 6 3 【答案】 【解析】 【分析】 先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：， 设第二行中间数为x，则，解得， 设第三行第一个数为y，则，解得， ∴2个空格的实数之积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键． 16.中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________． 【答案】x(x+12)=864 【解析】 【分析】 本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可． 【详解】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12， 故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864， 故答案：x(x+12)=864． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可． 17.如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长为____________． 【答案】13. 【解析】 【分析】 由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线AB的长． 【详解】解：∵圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长= ∴OB=， Rt△AOB中，AB=， 所以，该圆锥的母线长为13. 故答案为：13． 【点睛】本题考查圆锥弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公式． 18.如图，在中，，斜边，过点C作，以为边作菱形，若，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】 如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积． 【详解】 如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G， ∵根据题意四边形ABEF为菱形， ∴AB=BE=， 又∵∠ABE=30° ∴在RT△BHE中，EH=， 根据题意，AB∥CF， 根据平行线间的距离处处相等， ∴HE=CG=， ∴的面积为． 【点睛】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG，最终求出直角三角形面积． 三、解答题（本大题有8个小题，第19~25题每题8分，第26是10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程） 19.计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】 分别利用零指数幂、负指数幂的性质，绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝2 【点睛】此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简规则是解题关键． 20.已知：， （1）求m，n的值； （2）先化简，再求值：． 【答案】（1）；（2），0 【解析】 【分析】 （1）分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出m、n的方程，解之即可求出m、n的值； （2）先利用整式的运算法则化简，再代入m、n值计算即可求解． 【详解】（1）根据非负数得：m-1=0且n+2=0， 解得：， （2）原式==， 当，原式=． 【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键． 21.如图，在等腰中，，点D是上一点，以为直径的过点A，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）试题错误． 【解析】 【分析】 （1）连接OA，由圆的性质可得OA=OB，即∠OBA=∠OAB；再由AB=AC，即∠OBA=∠C，再结合，可得∠OAB=∠CAD,然后由∠BAD=90°说明∠OAC=90°即可完成证明； （2）试题错误． 【详解】（1）证明：如图：连接OA ∵OA=OB ∴∠OBA=∠OAB ∵AB=AC ∴∠OBA=∠C ∴∠OAB=∠C ∵ ∴∠OAB=∠CAD ∵BD是直径 ∴∠BAD=90° ∵∠OAC=∠BAD-∠OAB+∠CAD=90° ∴是的切线； （2）试题错误． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，证得∠OAC=90°是解答本题的关键． 22.2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔分别为，，．若管道与水平线的夹角为30°，管道与水平线夹角为45°，求管道和的总长度（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 【分析】 先根据题意得到BO，CB2长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案． 【详解】解：根据题意知，四边形和四边形均为矩形， ，， ，， 在中，，，， ； 在中，，，， ， ， 即管道AB和BC的总长度为：． 【点睛】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到AB和BC的长度． 23.“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，了了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题： XX学校“停课不停学”网络学习时间 调查表 亲爱的同学，你好！ 为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学习时间的选项，在其后的空格内打“√”． 平均每天利用网络学习时间问卷调查表 选项 学习时间（小时） A B C D （1）本次接受问卷调查的学生共有___________人； （2）请补全图①中的条形统计图； （3）图②中，D选项所对应的扇形圆心角为_________度； （4）若该校共有1500名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在C选项的有多少人？ 【答案】（1）100 （2）见详解 （3）18 o （4）600 【解析】 【分析】 根据扇形图和条形图A选项的联系可以算出来总人数，进而求出B选项的人数，D选项圆心角和1500人中C选项的人数． 【详解】（1）15÷15%=100（人） （2）如图选B的人数：100-40-15-5=40（人） （3）360 o ×=18 o （4）1500 ×=600（人） 【点睛】本题主要考察了，条形统计图，扇形统计图等知识点，准确的找出它们的联系是解题关键． 24.2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元． （1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？ （2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？ 【答案】（1）A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元；（2）丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台． 【解析】 【分析】 （1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元，再根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元”和“ 3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”两个等量关系列二元一次方程组解答即可； （2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台，再根据 “购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”和“A型风扇不超过B型风扇数量的3倍”两个不等关系列不等式组求出a的整数解的个数即可． 【详解】解：（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元 由题意得： ，解得 答：A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元； （2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台 有题意得，解得： ∴a可以取72、73、74、75 ∴小丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意确定等量关系和不等关系是解答本题的关键． 25.已知：如图①，将一块45°角的直角三角板与正方形的一角重合，连接，点M是的中点，连接． （1）请你猜想与的数量关系是__________． （2）如图②，把正方形绕着点D顺时针旋转角（）． ①与的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长到点N，使，连接） ②求证：； ③若旋转角，且，求的值．（可不写过程，直接写出结果） 【答案】（1）AF=2DM（2）①成立，理由见解析②见解析③ 【解析】 【分析】 （1）根据题意合理猜想即可； （2）①延长到点N，使，连接，先证明△MNC≌△MDE，再证明△ADF≌△DCN，得到AF=DN，故可得到AF=2DM； ②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解； ③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°，可设AG=k,得到DG,AD,FG,ED的长，故可求解． 【详解】（1）猜想与的数量关系是AF=2DM， 故答案为：AF=2DM； （2）①AF=2DM仍然成立， 理由如下：延长到点N，使，连接， ∵M是CE中点， ∴CM=EM 又∠CMN=∠EMD， ∴△MNC≌△MDE ∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE ∴CN∥DE， 又AD∥BC ∴∠NCB=∠EDA ∴△ADF≌△DCN ∴AF=DN ∴AF=2DM ②∵△ADF≌△DCN ∴∠NDC=∠FAD， ∵∠CDA=90°， ∴∠NDC+∠NDA=90° ∴∠FAD+∠NDA=90° ∴AF⊥DM ③∵， ∴∠EDC=90°-45°=45° ∵， ∴∠EDM=∠EDC=30°， ∴∠AFD=30° 过A点作AG⊥FD的延长线于G点，∴∠ADG=90°-45°=45° ∴△ADG是等腰直角三角形， 设AG=k,则DG=k，AD=AG÷sin45°=k， FG=AG÷tan30°=k， ∴FD=ED=k-k 故=． 【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与性质及三角函数的运用． 26.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴、y轴的交点分别为，抛物线过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，到达C点后，立即返回，向方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为． （1）求抛物线的解析式； （2）求点D的坐标； （3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值； （4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段沿过点B的直线翻折，点A的对称点为，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）． 【解析】 【分析】 （1）将代入计算即可； （2）作于点E，证明，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标； （3）分为点Ｍ在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为和两种情况讨论；当点M在BC上时，分为和两种情况讨论； （4）作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得的最小值；连接BQ减去可得的最小值，综上可得的最小值． 【详解】（1）将代入得 ，解得 ∴抛物线的解析式为： （2）作于点E ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）若点M在DA上运动时， 当，则，即不成立，舍去 当，则，即，解得： 若点M在BC上运动时， 当，则，即 ∴ 当时， ∴，解得（舍去） 当时， ∴，无解； 当，则，即 ∴ 当时， ∴，解得（舍去） 当时， ∴，解得 综上所示：当时，；时 （4）作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N ∵点D， ∴点 由得对称轴为 ∴点 ∴ ∴ 故最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形综合，涉及相似三角形的性质与判定，最短路径问题的计算，熟知以上知识的应用是解题的关键．