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湖北省
随州市
2021
年中
数学
随州市2021年初中毕业升学考试
数学试题
(考试时间120分钟满分120分)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试卷上无效。
3.非选择题作答:用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,答在试卷上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的)
1.2021的相反数是( )
A.2021 B. C. D.
2.从今年公布的全国第七次人口普查数据可知,湖北省人口约为5700万,其中5700万用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3.如图,将一块含有角的直角三角板放置在两条平行线上,若,则为( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图,下列信息不正确的是( )
A.测得的最高体温为37.1℃
B.前3次测得的体温在下降
C.这组数据的众数是36.8
D.这组数据的中位数是36.6
6.如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体,该组合体的三视图中完全相同的是( )
A.主视图和左视图 B.主视图和俯视图
C.左视图和俯视图 D.三个视图均相同
7.如图,从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形,若随机向大正方形内投一粒米,则米粒落在图中阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
8.如图,某梯子长10米,斜靠在竖直的墙面上,当梯子与水平地面所成角为时,梯子顶端靠在墙面上的点处,底端落在水平地面的点处,现将梯子底端向墙面靠近,使梯子与地面所成角为,已知,则梯子顶端上升了( )
A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米
9.根据图中数字的规律,若第个图中的,则的值为( )
A.100 B.121 C.144 D.169
10.如图,已知抛物线的对称轴在轴右侧,抛物线与轴交于点和点,与轴的负半轴交于点,且,则下列结论:
①;②;③;④当时,在轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点,(点在点左边),使得.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共有6小题,每小题3分,共18分,只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上)
11.计算:______.
12.如图,是的外接圆,连接并延长交于点,若,则的度数为______.
13.已知关于的方程()的两实数根为,,若,则______.
14.如图,在中,,,,将绕点逆时针旋转角()得到,并使点落在边上,则点所经过的路径长为______.(结果保留)
15.2021年5月7日,《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家,他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人,他给出的两个分数形式:(约率)和(密率).同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和(即有,其中,,,为正整数),则是的更为精确的近似值.例如:已知,则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为:;由于,再由,可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数……现已知,则使用两次“调日法”可得到的近似分数为______.
16.如图,在中,,为的中点,平分交于点,,分别与,交于点,,连接,,则的值为______;若,则的值为______.
三、解答题(本大题共8小题,共72分,解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程)
17.(本题满分5分)
先化简,再求值:,其中.
18.(本题满分7分)
如图,在菱形中,,是对角线上的两点,且.
(1)求证:≌;
(2)证明四边形是菱形.
19.(本题满分10分)
疫苗接种初期,为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召,某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师,了解教师的疫苗接种情况,得到如下统计表:
已接种
未接种
合计
七年级
30
10
40
八年级
35
15
九年级
40
60
合计
105
150
(1)表中,______,______,______;
(2)由表中数据可知,统计的教师中接种率最高的是______年级教师;(填“七”或“八”或“九”)
(3)若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师,根据抽样结果估计未接种的教师约有______人;
(4)为更好地响应号召,立德中学从最初接种的4名教师(其中七年级1名,八年级1名,九年级2名)中随机选取2名教师谈谈接种的感受,请用列表或画树状图的方法,求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率.
20.(本题满分8分)
如图,一次函数的图象与轴、轴分别交于点,,与反比例函数()的图象交于点,.
(1)分别求出两个函数的解析式;
(2)连接,求的面积.
21.(本题满分9分)
如图,是以为直径的上一点,过点的切线交的延长线于点,过点作交的延长线于点,垂足为点.
(1)求证:;
(2)若的直径为9,.
①求线段的长;
②求线段的长.
22.(本题满分10分)
如今我国的大棚(如图1)种植技术已十分成熟.小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚,其横截面顶部为抛物线型,大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处,另一端固定在离地面高2米的墙体处,现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度(米)与其离墙体的水平距离(米)之间的关系满足,现测得,两墙体之间的水平距离为6米.
(1)直接写出,的值;
(2)求大棚的最高处到地面的距离;
(3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜,需搭建高为米的竹竿支架若干,已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿,则共需要准备多少根竹竿?
23.(本题满分11分)
等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题,在解题中,灵活运用等面积法解决相关问题,可以使解题思路清晰,解题过程简便快捷.
(1)在直角三角形中,两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为_____,其内切圆的半径长为______;
(2)①如图1,是边长为的正内任意一点,点为的中心,设点到各边距离分别为,,,连接,,,由等面积法,易知,可得_____;(结果用含的式子表示)
②如图2,是边长为的正五边形内任意一点,设点到五边形各边距离分别为,,,,,参照①的探索过程,试用含的式子表示的值.(参考数据:,)
(3)①如图3,已知的半径为2,点为外一点,,切于点,弦,连接,则图中阴影部分的面积为______;(结果保留)
②如图4,现有六边形花坛,由于修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形状改造成五边形,其中点在的延长线上,且要保证改造前后花坛的面积不变,试确定点的位置,并说明理由.
24.(本题满分12分)
在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,顶点的坐标为.
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)如图1,若点在抛物线上且满足,求点的坐标;
(3)如图2,是直线上一个动点,过点作轴交抛物线于点,是直线上一个动点,当为等腰直角三角形时,直接写出此时点及其对应点的坐标。(每写出一组正确结果得1分,最多得5分)
随州市2021年初中毕业升学考试
数学参考答案及评分标准
第一题(第1至10小题,每小题3分,共30分)是选择题,每小题给出的代号为A,B,C,D四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,把正确结论的代号在答题卡上相应的地方涂黑,涂对得3分,不涂、涂错或涂黑的代号超过一个,一律0分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
D
A
A
C
B
B
第二题(第11至16小题,每小题3分,共18分)是填空题,只需要将结果直接填写在答题卡上对应题号处的横线上,不必写出解答过程,不填、填错,一律0分.(说明:第12题填40或40都给分,16题第一空1分,第二空2分)
11. 12. 13. 14. 15.
16.
第三题(第17至24小题,共72分)是解答或证明题,各题都给出了一种解法或部分其他解法的解题思路,若考生的解法与本解法不同,可根据本题的主要考查内容参照评分标准制定相应的评分细则,下述右端所注分数表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
17.(本题满分5分)
解:原式…………3分
当时,原式…………5分
18.(本题满分7分)
(1)证明:∵四边形为菱形,
∴,且,
又∵,∴≌.……3分
(2)
证明:连接交于点,
∵四边形为菱形,
∴,且为,中点,
又∵,∴……5分
∴与互相垂直且平分,故四边形是菱形.
说明:该题(1)(2)问均有多种方法,用其他合理方法得到正确结果都可给分.
19.(本题满分10分)
解:(1)…………1分
…………2分
…………3分
(2)七…………4分
(3)2400…………6分
(4)设七年级教师用表示,八年级教师用表示,九年级教师用,表示,根据题意:可画出树状图:
或列表:
…………8分
由上图(或上表)可知,共有12种等可能的结果,符合条件的结果有10种,故(两名教师不在同一年级).……10分
说明:(4)问中用树状图法或列表法中一种即可.
20.(本题满分8分)
解:(1)由过点和可得:
解得,故,…………2分
又由过点和可得:
解得,故.………………4分
(2)由过点,可知,故,而点到轴距离为2,
所以的面积.…………8分
21.(本题满分9分)
(1)证明:连接,∵是的切线,∴,
又∵,∴,
∴.……2分
又∵在中,,∴,
∴,∴;……4分
(2)①连接,依题意可得
在中,∵,∴.
又∵,且,
∴,
在中,∵,∴.…………6分
②由(1)可知,故∽,
∴,即,………………8分
解得.………………9分
说明:该题(1)(2)问均有多种方法,用其他合理方法得到正确结果都可给分.
22.(本题满分10分)
解:(1),…………2分
(2)由,…………4分
可得当时,有最大值,
即大棚最高处到地面的距离为米;…………6分
(3)由,解得,,…………8分
又因为,
可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为(米),
又大棚的长为16米,故需要搭建支架部分的土地面积为(平方米)
共需要(根)竹竿.…………10分
23.(本题满分11分)
(1)…………1分
1………………2分
(2)①………………4分
②结论.
类比①中方法可知,
设点为正五边形的中心,连接,,
易知,
过作于,,
故,,
故,从而得到:
.………………6分
(3)①…………8分
②如图,连接,过点作交的延长线于点,则点即为所求.………9分
连接,∵,
∵,∴,
∴…………11分
说明:(3)②问只需简述如何确定点的位置并证明,不要求用尺规作图.
24.(本题满分12分)
解:(1)抛物线的解析式为:,…………2分
(2)由和可知直线的解析式为:…………3分
过点作,交抛物线于点,
易知直线的解析式为,
结合抛物线可知,
解得:(舍),,
故.………………5分
过点作轴平行线,过点作轴平行线交于点,
由可知四边形为正方形,
设与轴交于点,在下方作交于点,
易知≌,故,,又由可得
直线的解析式为,
结合抛物线可知,
解得(舍),,故.
综上所述,符合条件的点坐标为:,.…………7分
(3),;,;
,;,;
,;,.…………12分
说明:(1)问不需写解答过程,解析式写成或者也得分;
(2)问用其他合理方法也可根据步骤给分;(3)问为结论开放题型,共有6组正确答案,考生每写出一组正确的点,的坐标给1分,至多得5分.