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2021年湖南省衡阳市中考数学试卷 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（3分）8的相反数是（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣ D．±8 2．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（　　） A．98.99×106 B．9.899×107 C．9899×104 D．0.09899×108 3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列运算结果为a6的是（　　） A．a2•a3 B．a12÷a2 C．（a3）2 D．（a3）2 5．（3分）下列计算正确的是（　　） A．＝±4 B．（﹣2）0＝1 C．+＝ D．＝3 6．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85 7．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 9．（3分）下列命题是真命题的是（　　） A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B．正六边形的每一个内角为120° C．有一个角是60°的三角形是等边三角形 D．对角线相等的四边形是矩形 10．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 11．（3分）下列说法正确的是（　　） A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式 B．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖 C．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是 D．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人 12．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 13．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　． 14．（3分）计算：＝　 　． 15．（3分）因式分解：3a2﹣9ab＝　 　． 16．（3分）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 　 　．（结果保留π） 17．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 　 　棵． 18．（3分）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为 　 　厘米． 三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.） 19．（6分）计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）． 20．（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF． 21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示． （1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是 　 　度； （2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？ （3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率． 22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点． （1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由； （2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长． 23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据． 双层部分长度x（cm） 2 8 14 20 单层部分长度y（cm） 148 136 124 112 （1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式； （2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度； （3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围． 24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长． 25．（10分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）． （1）求点M的坐标（用含t的式子表示）； （2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值； （3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由； （4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离． 26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”． （1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时． ①求c的取值范围； ②求∠EMN的度数； （3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2021年湖南省衡阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（3分）8的相反数是（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣ D．±8 【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此8的相反数是﹣8． 故选：A． 2．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（　　） A．98.99×106 B．9.899×107 C．9899×104 D．0.09899×108 【解答】解：98990000＝9.899×107， 故选：B． 3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 4．（3分）下列运算结果为a6的是（　　） A．a2•a3 B．a12÷a2 C．（a3）2 D．（a3）2 【解答】解：A．a2•a3＝a5,故此选项不合题意； B．a12÷a2＝a10,故此选项不合题意； C．（a3）2＝a6,故此选项符合题意； D．（a3）2＝a6,故此选项不合题意； 故选：C． 5．（3分）下列计算正确的是（　　） A．＝±4 B．（﹣2）0＝1 C．+＝ D．＝3 【解答】解：16的算术平方根为4，即，故A不符合题意； 根据公式a0＝1(a≠0)可得（﹣2）0＝1，故B符合题意； 、无法运用加法运算化简，故，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：B． 6．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85 【解答】解：将数据重新排列为82，82，83，85，86，92， A、数据的众数为82，此选项正确，不符合题意； B、数据的中位数为＝84，此选项正确，不符合题意； C、数据的平均数为＝85， 所以方差为×[（85﹣85）2+（83﹣85）2+2×（82﹣85）2+（86﹣85）2+（92﹣85）2]＝12，此选项错误，符合题意； D、由C选项知此选项正确； 故选：C． 7．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：这个组合体的三视图如下： 故选：A． 8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米， ∵sin∠BAC＝＝sin37°≈0.6＝， ∴AB≈BC＝×6＝10（米）， 故选：D． 9．（3分）下列命题是真命题的是（　　） A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B．正六边形的每一个内角为120° C．有一个角是60°的三角形是等边三角形 D．对角线相等的四边形是矩形 【解答】解：A．每个多边形的外角和都是360°，故错误，假命题； B．正六边形的内角和是720°，每个内角是120°，故正确，真命题； C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题； D．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题． 故选：B． 10．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：解不等式x+1＜0得，x＜﹣1, 解不等式﹣2x≤6得，x≥﹣3， ∴不等式组的解集为：﹣3≤x＜﹣1,在数轴上表示为： 故选：A． 11．（3分）下列说法正确的是（　　） A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式 B．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖 C．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是 D．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人 【解答】解：全国中学生人数很大，应采用抽样调查方式， ∴A选项错误， 彩票的中奖机会是1%说的是可能性，和买的数量无关， ∴B选项错误， 根据概率的计算公式，C选项中摸出红球的概率为， ∴C选项错误， 200名学生中有85名学生喜欢跳绳， ∴跳绳的占比为， ∴3200×42.5＝1360(人)， ∴D选项正确， 故选：D． 12．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【解答】解：∵PM∥CN， ∴∠PMN＝∠MNC， ∵∠MNC＝∠PNM， ∴∠PMN＝∠PNM， ∴PM＝PN， ∵NC＝NP， ∴PM＝CN， ∵MP∥CN， ∴四边形CNPM是平行四边形， ∵CN＝NP， ∴四边形CNPM是菱形， 故①正确； 如图1，当点P与A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x， 在Rt△ABN中，AB²+BN²＝AN²， 即4²+x²＝(8﹣x)²， 解得x＝3， ∴CN＝8﹣3＝5， ∵AB＝4，BC＝8， ∴AC＝＝4， ∴CQ＝AC＝2， ∴QN＝＝， ∴MN＝2QN＝2， 故②不正确； 由题知，当MN过点D时，CN最短，如图2，四边形CMPN的面积最小， 此时S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4， 当P点与A点重合时，CN最长，如图1，四边形CMPN的面积最大， 此时S＝×5×4＝5， ∴4≤S≤5正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 13．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≥3　． 【解答】解：根据题意，得 x﹣3≥0， 解得，x≥3； 故答案为：x≥3． 14．（3分）计算：＝　1　． 【解答】解：原式＝＝1． 故答案为：1． 15．（3分）因式分解：3a2﹣9ab＝　3a（a﹣3b）　． 【解答】解：3a2﹣9ab ＝3a（a﹣3b）， 故答案为：3a（a﹣3b）． 16．（3分）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 　12π　．（结果保留π） 【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π． 故答案为：12π． 17．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 　500　棵． 【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵， 依题意得：﹣＝3， 解得：x＝400， 经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意， ∴（1+25%）x＝500． 故答案为：500． 18．（3分）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为 　(2+3)　厘米． 【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大， 当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm， ∴AC＝2cm， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm， 当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm， ∴OD＝OB＝BD＝1cm， 在Rt△ADO中，AD＝＝＝2(cm)， ∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm， 如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的最短， 此时，OE＝OF＝＝， AE＝AF＝＝＝, ∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为： （cm） 故答案为：(2+3)． 三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.） 19．（6分）计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）． 【解答】解：原式＝(x2+4xy+4y2)+(x2﹣4y2)+(x2﹣4xy) ＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+x2﹣4xy ＝3x2． 20．（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF． 【解答】证明：∵AC∥DF， ∴∠CAB＝∠FDE(两直线平行，同位角相等), 又∵BC∥EF， ∴∠CBA＝∠FED(两直线平行，同位角相等), 在△ABC和△DEF中， , ∴△ABC≌△DEF(ASA)． 21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示． （1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是 　64.8　度； （2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？ （3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率． 【解答】解：（1）由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：1﹣20%﹣7%﹣55%＝18%， ∴其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：360°×18%＝64.8°， 故答案为：64.8； （2）500×20%＝100（吨）， 100×0.2＝20（万元）， 答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元； （3）由题意可列树状图： ∴P（一男一女）＝＝． 22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点． （1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由； （2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长． 【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下： ∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴∠AFH＝90°， ∵Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠DAF＝∠BAE, 又∵∠DAF+∠FAB＝90°， ∴∠BAE+∠FAB＝90°， ∴∠FAE＝90°， 在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°， ∴四边形AFHE是矩形， 又∵AE＝AF， ∴矩形AFHE是正方形； （2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13, 在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2， 即132＝x2+(x+7)2, 解得：x＝5, ∴BE＝BH+EH＝5+7＝12, ∴DF＝BE＝12, 又∵DH＝DF+FH， ∴DH＝12+5＝17． 23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据． 双层部分长度x（cm） 2 8 14 20 单层部分长度y（cm） 148 136 124 112 （1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式； （2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度； （3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 由题知， 解得， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+152； （2）根据题意知， 解得， ∴双层部分的长度为22cm； （3）由题知，当x＝0时，y＝152， 当y＝0时，x＝76， ∴76≤L≤152． 24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长． 【解答】解：（1）证明：连结OD，如图所示： ∵AB是直径， ∴∠BDA＝90°， ∴∠BDO+∠ADO＝90°， 又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B， ∴∠B＝∠BDO＝∠CDA， ∴∠CDA+∠ADO＝90°， ∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）连结OE，如图所示： ∵∠BDE＝30°， ∴∠BOE＝2∠BDE＝60°， 又∵E为的中点， ∴∠EOD＝60°, ∴△EOD为等边三角形， ∴ED＝EO＝OD＝2, 又∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝120°， ∴∠DOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°, 在Rt△DOC中，∠DOC＝60°,OD＝2， ∴tan∠DOC＝tan60°＝＝＝, ∴CD＝2． 25．（10分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）． （1）求点M的坐标（用含t的式子表示）； （2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值； （3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由； （4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离． 【解答】解：（1）过点A作x轴的垂线，交MN于点E，交OB于点F， 由题意得：OQ＝2t，OP＝3t,PB＝6﹣3t， ∵O（0，0），A（3，4），B（6，0）， ∴OF＝FB＝3，AF＝4，OA＝AB＝， ∵MN∥OB， ∴∠OQM＝∠OFA，∠OMQ＝∠AOF， ∴△OQM∽△AFO， ∴， ∴， ∴QM＝， ∴点M的坐标是（）． （2）∵MN∥OB， ∴四边形QEFO是矩形， ∴QE＝OF， ∴ME＝OF﹣QM＝3﹣， ∵OA＝AB， ∴ME＝NE， ∴MN＝2ME＝6﹣3t， ∴S四边形MNBP＝S△MNP+S△BNP ＝MN•OQ+•BP•OQ ＝ ＝﹣6t2+12t ＝﹣6(t﹣1)2+6， ∵点P到达点B时，P、Q同时停止， ∴0≤t≤2， ∴t＝1时，四边形MNBP的最大面积为6． （3）∵MN＝6﹣3t，BP＝6﹣3t， ∴MN＝BP， ∵MN∥BP， ∴四边形MNBP是平行四边形， ∴平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心，即MB的中点， 设中点为H（x，y）， ∵M()，B（6，0）， ∴x＝＝， y＝． ∴x＝， 化简得：y＝， ∴直线l的解析式为：y＝． （4）∵OA＝AB， ∴∠AOB＝∠PBN， 又∵∠OAP＝∠BPN， ∴△AOP∽△PBN， ∴， ∴， 解得：t＝． ∵MN＝6﹣3t，AE＝AF﹣OQ,ME＝3﹣， ∴MN＝6﹣3×， AE＝， ME＝， ∴AM＝． 设点N到OA得距离为h， ∵S△AMN＝•MN•AE＝•AM•h， ∴， 解得：h＝． ∴点N到OA得距离为． 26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”． （1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时． ①求c的取值范围； ②求∠EMN的度数； （3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：x＝，解得x＝±2， 当x＝±2时，y＝＝±2， 故“雁点”坐标为（2,2）或（﹣2，﹣2）； （2）①∵“雁点”的横坐标与纵坐标相等， 故“雁点”的函数表达式为y＝x， ∵物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E， 则ax2+5x+c＝x， 则△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4， ∵a＞1， 故c＜4； ②∵ac＝4，则ax2+5x+c＝0为ax2+5x+＝0， 解得x＝﹣或﹣，即点M的坐标为（﹣，0）， 由ax2+5x+c＝x，ac＝4， 解得x＝﹣，即点E的坐标为（﹣，﹣）， 故点E作EH⊥x轴于点H， 则HE＝，MH＝xE﹣xM＝﹣﹣（﹣）＝＝HE， 故∠EMN的度数为45°； （3）存在，理由： 由题意知，点C在直线y＝x上，故设点C的坐标为（t，t）， 过点P作x轴的平行线交过点C与y轴的平行线于点M，交过点B与y轴的平行线于点N， 设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， 则BN＝﹣m2+2m+3,PN＝3﹣m,PM＝m﹣t,CM＝﹣m2+2m+3﹣t, ∵∠NPB+∠MPC＝90°,∠MPC+∠CPM＝90°, ∴∠NPB＝∠CPM, ∵∠CMP＝∠PNB＝90°,PC＝PB, ∴△CMP≌△PNB（AAS）， ∴PM＝BN，CM＝PN， 即m﹣t＝|﹣m2+2m+3|，﹣m2+2m+3﹣t＝|3﹣m|， 解得m＝1+（舍去）或1﹣或， 故点P的坐标为（，）或（，）． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/6/23 8:57:13；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@；学号：500557 第26页（共26页）