2021年浙江省温州市中考数学真题试卷解析版.doc

2021年浙江省温州市中考数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分 1．计算（﹣2）2的结果是（　　） A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1 2．直六棱柱如图所示，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（　　） A．218×106 B．21.8×107 C．2.18×108 D．0.218×109 4．如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有（　　） A．45人 B．75人 C．120人 D．300人 5．解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（　　） A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x 6．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A′，则A′B′的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．15 7．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2），则应缴水费为（　　） A．20a元 B．（20a+24）元 C．（17a+3.6）元 D．（20a+3.6）元 8．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，∠AOB＝α，则OC2的值为（　　） A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1 9．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0），AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结AE．若OE＝1，OC＝，AC＝AE，则k的值为（　　） A．2 B． C． D．2 10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）分解因式：2m2﹣18＝　 　． 12．（5分）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球　 　． 13．（5分）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 　 　． 14．（5分）不等式组的解集为 　 　． 15．（5分）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝　 　度． 16．（5分）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2）　 　；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，则当点A′，B′，圆的最小面积为 　 　． 三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（10分）（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣． （2）化简：（a﹣5）2+a（2a+8）． 18．（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D （1）求证：DE∥BC； （2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数． 19．（8分）某校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为4分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况 （1）以下是两位同学关于抽样方案的对话： 小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．” 小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩．” 根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案． 如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案． （2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数． 20．（8分）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）． （1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形． （2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中． 21．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标． （2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围． 22．（10分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧） （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时 23．（12分）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克． 营养品信息表 营养成份 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 规格 每包食材含量 每包单价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 （1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？ （2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完． ①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ ②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时 24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0） （1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式； （2）求点D，E的坐标； （3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长． 2021年浙江省温州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分 1．计算（﹣2）2的结果是（　　） A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1 【分析】(﹣2)²表示2个(﹣2)相乘,根据幂的意义计算即可． 【解答】解:(﹣2)²＝(﹣2)×(﹣6)＝4, 故选：A． 2．直六棱柱如图所示，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可． 【解答】解：从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形， 故选：C． 3．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（　　） A．218×106 B．21.8×107 C．2.18×108 D．0.218×109 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将218000000用科学记数法表示为2.18×108． 故选：C． 4．如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有（　　） A．45人 B．75人 C．120人 D．300人 【分析】利用大学生的人数以及所占的百分比可得总人数，用总人数乘以初中生所占的百分比即可求解． 【解答】解：参观温州数学名人馆的学生人数共有60÷20%＝300（人）， 初中生有300×40%＝120（人）， 故选：C． 5．解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（　　） A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x 【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号． 【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x， 去括号得：﹣3x﹣2＝x， 故选：D． 6．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A′，则A′B′的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．15 【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可． 【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3， ∴＝，即＝， 解得，A′B′＝9， 故选：B． 7．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2），则应缴水费为（　　） A．20a元 B．（20a+24）元 C．（17a+3.6）元 D．（20a+3.6）元 【分析】应缴水费＝17立方米的水费+（20﹣17）立方米的水费。 【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+2.6）（元）。 故选：D． 8．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，∠AOB＝α，则OC2的值为（　　） A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1 【分析】在Rt△OAB中，sinα＝,可得OB的长度，在Rt△OBC中，根据勾股定理OB2+BC2＝OC2,代入即可得出答案． 【解答】解：∵AB＝BC＝1, 在Rt△OAB中，sinα＝, ∴OB＝, 在Rt△OBC中， OB3+BC2＝OC2, ∴OC6＝()2+22＝． 故选：A． 9．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0），AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结AE．若OE＝1，OC＝，AC＝AE，则k的值为（　　） A．2 B． C． D．2 【分析】根据题意求得B（k，1），进而求得A（k，），然后根据勾股定理得到∴（）2＝（k）2+（）2，解方程即可求得k的值． 【解答】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E， ∴四边形BDOE是矩形， ∴BD＝OE＝1， 把y＝1代入y＝，求得x＝k， ∴B（k，7）， ∴OD＝k， ∵OC＝OD， ∴OC＝k， ∵AC⊥x轴于点C， 把x＝k代入y＝得， ∴AE＝AC＝， ∵OC＝EF＝k，AF＝， 在Rt△AEF中，AE2＝EF5+AF2， ∴（）2＝（k）2+（）2，解得k＝±， ∵在第一象限， ∴k＝， 故选：B． 10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T,设BH交CF于M,AE交DF于N．设BE＝AN＝CH＝DF＝a,则AE＝BM＝CF＝DN＝2a,想办法求出BH,CG,可得结论． 【解答】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T,AE交DF于N,则AE＝BM＝CF＝DN＝2a, ∴EN＝EM＝MF＝FN＝a, ∵四边形ENFM是正方形， ∴∠EFH＝∠TFG＝45°,∠NFE＝∠DFG＝45°, ∵GT⊥TF,DF⊥DG, ∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°, ∴TG＝FT＝DF＝DG＝a, ∴CT＝3a,CG＝＝a, ∵MH∥TG, ∴△CMH∽△CTG, ∴CM:CT＝MH:TG＝7, ∴MH＝a, ∴BH＝5a+a＝a, ∴＝＝, 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）分解因式：2m2﹣18＝　2（m+3）（m﹣3）　． 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝2（m2﹣3） ＝2（m+3）（m﹣7）． 故答案为：2（m+3）（m﹣2）． 12．（5分）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球　　． 【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可得出答案． 【解答】解：∵一共有21个只有颜色不同的球，其中红球有5个， ∴从中任意摸出1个球是红球的概率为， 故答案为：． 13．（5分）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 　π　． 【分析】根据弧长公式代入即可． 【解答】解：根据弧长公式可得： l＝＝＝π． 故答案为：π． 14．（5分）不等式组的解集为 　1≤x＜7　． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式x﹣3＜4，得：x＜2， 解不等式≥1， 则不等式组的解集为1≤x＜2， 故答案为：1≤x＜7． 15．（5分）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝　85　度． 【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，连接OO′，如图，再根据旋转的性质得∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，则判断△OO′B为等边三角形得到∠OBO′＝60°，所以∠ABA′＝60°，然后利用三角形外角性质计算∠OCB． 【解答】解：∵⊙O与△OAB的边AB相切， ∴OB⊥AB， ∴∠OBA＝90°， 连接OO′，如图， ∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B， ∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′， ∵OB＝OO′， ∴△OO′B为等边三角形， ∴∠OBO′＝60°， ∴∠ABA′＝60°， ∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°． 故答案为85． 16．（5分）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2）　6﹣2　；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，则当点A′，B′，圆的最小面积为 　(16﹣8)π　． 【分析】如图，连接FH,由题意可知点A′,O,C′在线段FH上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°,解直角三角形求出JK,OH,B′H,再求出OB′2,可得结论． 【解答】解：如图，连接FH,O,C′在线段FH上,B′C′． ∵大正方形的面积＝12， ∴FG＝GH＝2, ∵EF＝HK＝2, ∴在Rt△EFG中，tan∠EGF＝＝＝, ∴∠EGF＝30°, ∵JK∥FG, ∴∠KJG＝∠EGF＝30°, ∴d＝JK＝GK＝﹣6)＝6﹣2, ∵OF＝OH＝FH＝, ∴OC′＝﹣, ∵B′C′∥QH,B′C′＝2, ∴∠OC′H＝∠FHQ＝45°, ∴OH＝HC′＝﹣2, ∴HB′＝2﹣(﹣6)＝3﹣, ∴OB′5＝OH2+B′H2＝(﹣1)2+(8﹣)2＝16﹣3, ∵OA′＝OC′＜OB′, ∴当点A′，B′，圆的最小面积为(16﹣8． 故答案为：6﹣2，(16﹣8． 三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（10分）（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣． （2）化简：（a﹣5）2+a（2a+8）． 【分析】（1）运用实数的计算法则可以得到结果； （2）结合完全平方公式，运用整式的运算法则可以得到结果． 【解答】解：(1)原式＝﹣12+8﹣3+5 ＝﹣6； (2)原式＝a2﹣10a+25+a7+4a ＝2a8﹣6a+25． 18．（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D （1）求证：DE∥BC； （2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可； （2）由（1）中DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°,再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解． 【解答】解：（1）∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠DBE＝∠EBC， ∵DB＝DE, ∵∠DEB＝∠DBE， ∴∠DEB＝∠EBC， ∴DE∥BC； （2）∵DE∥BC， ∴∠C＝∠AED＝45°， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°． ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠DBE＝∠EBC＝． 19．（8分）某校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为4分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况 （1）以下是两位同学关于抽样方案的对话： 小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．” 小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩．” 根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案． 如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案． （2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数． 【分析】（1）根据小红和小明抽样的特点进行分析评价即可； （2）根据中位数、众数的意义求解即可． 【解答】解：（1）两人都能根据学校信息合理选择样本容量进行抽样调查，小红的方案考虑到性别的差异，小明的方案考虑到了年级特点，他们抽样调查不具有广泛性和代表性； （2）平均数为＝2.75（分）， 抽查的120人中，成绩是6分出现的次数最多，因此众数是3分， 将这120人的得分从小到大排列处在中间位置的两个数都是3分，因此中位数是8分， 答：这组数据的平均数是2.75分、中位数是3分． 20．（8分）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）． （1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形． （2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中． 【分析】（1）直接将其中任意四边形向右平移3个单位得出符合题意的图形； （2）直接将其中任意一三角形边长扩大为原来的倍，即可得出所求图形． 【解答】解：（1）如图2所示，即为所求； （2）如图3所示，即为所求． 21．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标． （2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围． 【分析】（1）将点（﹣2，0）代入求解． （2）分别求出点A,B坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解． 【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得6＝4a+4a﹣6， 解得a＝1， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣3x﹣8， ∵y＝x2﹣5x﹣8＝（x﹣1）5﹣9, ∴抛物线顶点坐标为（1，﹣6）． （2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣4x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16， ∴m＝16， 把y＝7代入函数解析式得7＝x5﹣2x﹣8， 解得n＝2或n＝﹣3， ∵n为正数， ∴n＝5， ∴点A坐标为（﹣4，16），7）． ∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1， ∴抛物线顶点在AB下方， ∴﹣8<xP＜5,﹣9≤yP＜16． 22．（10分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧） （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时 【分析】（1）证AE∥CF，再证△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出结论； （2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出AE＝3，BE＝4，再证∠ECF＝∠CBE，则tan∠CBE＝tan∠ECF，得＝，求出EF＝﹣2，进而得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝， 设AE＝4a，则BE＝4a， 由勾股定理得：（3a）3+（4a）2＝52， 解得：a＝1或a＝﹣2（舍去）， ∴AE＝3，BE＝4， 由（1）得：四边形AECF是平行四边形， ∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝2， ∵∠CBE＝∠EAF， ∴∠ECF＝∠CBE， ∴tan∠CBE＝tan∠ECF， ∴＝， ∴CF2＝EF×BF， 设EF＝x，则BF＝x+4， ∴52＝x（x+4）， 解得：x＝﹣5或x＝﹣,（舍去）， 即EF＝﹣2， 由（1）得：△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF＝4， ∴BD＝BE+EF+DF＝8+﹣2+4＝8+． 23．（12分）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克． 营养品信息表 营养成份 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 规格 每包食材含量 每包单价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 （1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？ （2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完． ①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ ②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时 【分析】（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，根据“用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克”列分式方程解答即可； （2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，根据（1）的结论以及“每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可； ②设A为m包，则B为包，根据“A的数量不低于B的数量”求出m的取值范围；设总利润为W元，根据题意求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【解答】解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元， 由题意得， 解得a＝20， 经检验，a＝20是所列方程的根， ∴2a＝40（元）， 答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元； （2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克， 由题意得，解得， 答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克； ②设A为m包，则B为， ∵A的数量不低于B的数量， ∴m≥2000﹣4m， ∴m≥400， 设总利润为W元，根据题意得： W＝45m+12(2000﹣4m)﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000， ∵k＝﹣4<0， ∴W随m的增大而减小， ∴当m＝400时，W的最大值为2800, 答：当A为400包时，总利润最大． 24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0） （1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式； （2）求点D，E的坐标； （3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长． 【分析】（1）点M是AB的中点，则点M（1,4），则圆的半径AM＝＝，再用待定系数法即可求解； （2）由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，即可求解； （3）①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，则△AEP为等腰直角三角形，即可求解；②∠AEP＝∠BDO时，则△EAP∽△DBO，进而求解；③∠AEP＝∠BOD时，同理可解． 【解答】解：（1）∵点M是AB的中点，则点M（1， 则圆的半径为AM＝＝， 设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得， 故直线CM的表达式为y＝﹣x+； （2）设点D的坐标为（x，﹣x+）， 由AM＝得：（x﹣3）2+（﹣x+2＝（）8， 解得x＝5或﹣3， 故点D、E的坐标分别为（﹣5、（5； （3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3， 故∠DBO＝45°， 由点A、E的坐标； 由点A、E、B、D的坐标得＝8， 同理可得：BD＝3，OB＝8， ①当∠AEP＝∠DBO＝45°时， 则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC， 故点P的坐标为（5,5）， 故OP＝5； ②∠AEP＝∠BDO时， ∵∠EAP＝∠DBO， ∴△EAP∽△DBO， ∴，即＝＝，解得AP＝8， 故PO＝10； ③∠AEP＝∠BOD时， ∵∠EAP＝∠DBO， ∴△EAP∽△OBD， ∴，即，解得AP＝， 则PO＝5+＝， 综上，OP为5或10或．