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2020年无锡市初中毕业升学考试 数学试题 一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.﹣7的倒数是（　　） A. B. 7 C. - D. ﹣7 【答案】C 【解析】 【分析】 此题根据倒数的含义解答，乘积为1的两个数互为倒数，所以﹣7的倒数为1÷（﹣7）． 【详解】解：﹣7的倒数为：1÷（﹣7）＝﹣． 故选C． 【点睛】此题考查的知识点是倒数．解答此题的关键是要知道乘积为1的两个数互为倒数，所以﹣7的倒数为1÷（﹣7）． 2.函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由二次根式的被开方数大于等于0问题可解 【详解】解：由已知，3x﹣1≥0可知，故选B． 【点睛】本题考查了求函数自变量取值范围，解答时注意通过二次根式被开方数要大于等于零求出x取值范围． 3.已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. 24，25 B. 24，24 C. 25，24 D. 25，25 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平均数的计算公式和中位数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：（21+23+25+25+26）÷5=24； 把这组数据从小到大排列为：21，23，25，25，26，最中间的数是25，则中位数是25； 故应选：A． 【点睛】此题考查了平均数和中位数，掌握平均数的计算公式和中位数的定义是本题的关键． 4.若，，则的值等于（ ） A. 5 B. 1 C. -1 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】 将两整式相加即可得出答案． 【详解】∵，， ∴， ∴的值等于， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5.正十边形的每一个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用多边形的外角性质计算即可求出值． 【详解】解：360°÷10＝36°， 故选：A． 【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角性质是解本题的关键． 6.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 圆 B. 等腰三角形 C. 平行四边形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的性质求解． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； B、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确； C、平行四边形是不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误． 故选：B 【点睛】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合． 7.下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一判断即可． 【详解】解：A．，本选项不合题意； B．，本选项不合题意； C．1，本选项不合题意； D．2（x−2y）＝2x−4y，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法，二次根式的除法以及去括号与添括号，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 8.反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 把点B坐标代入一次函数解析式，求出m的值，可得出B点坐标，把 B点的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：由题意，把B（，m）代入，得m= ∴B（，） ∵点B为反比例函数与一次函数的交点， ∴k=x·y ∴k=×=． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟知一次函数反比例函数图像的交点坐标都适合两个函数解析式是解题关键． 9.如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知，易求得，延长交于，可得，则，再过点作，设，则，，，在中，根据，代入数值，即可求解． 【详解】解：如图 ∵ ，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，延长交于， ∴ ，则， ， 过点作，设，则，， ∴， ∴在中，，即， 解得：， ∴． 故选B． 【点睛】本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键． 10.如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论： ①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】 ①通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等； ②假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立； ③过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，利用函数求四边形面积的最大值，设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值； ④作点D关于直线的对称点D1，连接D D1，与相交于点Q，再将D1Q沿着向B端平移个单位长度，即平移个单位长度，得到D2P，与相交于点P，连接PC，此时四边形的周长为：，其值最小，再由D1Q=DQ=D2P，，且∠AD1D2=120°，可得的最小值，即可得解． 【详解】解：①∵线段在边上运动，， ∴, ∴与不可能相等， 则①错误； ②设， ∵，， ∴，即， 假设与相似， ∵∠A=∠B=60°， ∴，即， 从而得到，解得或（经检验是原方程根）， 又， ∴解得的或符合题意， 即与可能相似， 则②正确； ③如图，过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F， 设， 由，，得，即， ∴， ∵∠B=60°， ∴， ∵，∠A =60°， ∴, 则， ， ∴四边形面积为：, 又∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为：， 即四边形面积最大值为， 则③正确； ④如图，作点D关于直线的对称点D1，连接D D1，与相交于点Q，再将D1Q沿着向B端平移个单位长度，即平移个单位长度，得到D2P，与相交于点P，连接PC， ∴D1Q=DQ=D2P，，且∠AD1D2=120°， 此时四边形的周长为：，其值最小， ∴∠D1AD2=30°，∠D2A D=90°，， ∴根据股股定理可得，， ∴四边形的周长为：, 则④错误， 所以可得②③正确， 故选：D． 【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解． 二、填空题（每题2分，满分16分，将答案填在答题纸上） 11.因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先提取公因式a，再利用公式法继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要注意分解彻底． 12.2019年我市地区生产总值逼近12000亿元，用科学记数法表示12000 是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数. 【详解】解：∵12000=， 故答案为：. 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键. 13.已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积为=__________． 【答案】 【解析】 分析】 先利用勾股定理求出圆锥的母线l的长，再利用圆锥的侧面积公式：S侧=πrl计算即可． 【详解】解：根据题意可知，圆锥的底面半径r=1cm，高h=， ∴圆锥的母线， ∴S侧=πrl=π×1×2=2π（cm2）． 故答案为：2πcm2． 【点睛】此题考查圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是个扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是底面圆的周长l．掌握圆锥的侧面积公式：S侧=•2πr•l=πrl是解题的关键． 14.如图，在菱形中，，点在上，若，则__________． 【答案】115° 【解析】 【分析】 先根据菱形性质求出∠BCD，∠ACE，再根据求出∠AEC，最后根据两直线平行，同旁内角互补解题即可． 【详解】解：四边形ABCD是菱形，， ∴AB∥CD， ∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE=∠BCD=65°， ∵ ， ∴∠ACE=∠AEC=65°， ∴∠BAE=180°-∠AEC=115°． 【点睛】本题考查了菱形性质，等腰三角形性质，解题方法较多，根据菱形性质求解∠ACE是解题关键． 15.请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质，对称轴为轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可. 【详解】解：设函数的表达式为y=ax2+bx+c， ∵图象的对称轴为y轴， ∴对称轴为x==0， ∴b=0， ∴满足条件的函数可以是：.（答案不唯一） 故答案是：y=x2（答案不唯一） 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 16.我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子最井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是___________尺． 【答案】8 【解析】 【分析】 先设绳长x尺，由题意列出方程，然后根据绳长即可求出井深． 【详解】解：设绳长x尺， 由题意得x-4=x-1， 解得x=36， 井深：×36-4=8（尺）， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键． 17.二次函数的图像过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】 先求出点B的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，易证△BFM∽△AOB，然后根据相似三角形的性质可求得BF的长，进而可得点M坐标；当∠BAM=90°时，辅助线的作法如图2，同样根据△BAE∽△AMH求出AH的长，继而可得点M坐标． 【详解】解：对，当x=0时，y=3，∴点B坐标为（0，3）， 抛物线的对称轴是直线：， 当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，则， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 又∠MFB=∠BOA=90°， ∴△BFM∽△AOB， ∴，即，解得：BF=3， ∴OF=6， ∴点M的坐标是（，6）； 当∠BAM=90°时，如图2，过点A作EH⊥x轴，过点M作MH⊥EH于点H，过点B作BE⊥EH于点E，则， 同上面的方法可得△BAE∽△AMH， ∴，即，解得：AH=9， ∴点M的坐标是（，﹣9）； 综上，点M的坐标是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点和对称轴、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 18.如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，，相交于点，则面积最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 作DG∥AC，交BE于点G，得到，进而得到，求出面积最大值，问题得解． 【详解】解：如图1，作DG∥AC，交BE于点G， ∴， ∵ , ∴ ∵ ∴ ∴ ∵AB=4， ∴ ∴若面积最大，则面积最大， 如图2，当点△ABC为等腰直角三角形时，面积最大，为， ∴ 面积最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形面积最大问题，相似等知识点，通过OD与CD关系将求面积转化为求面积是解题关键 三、解答题：本大题共10小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．考生根据要求作答． 19.计算： （1） （2）． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】 (1)利用幂的运算，绝对值的定义，及算术平方根的定义计算即可解出答案； （2）根据同分母分式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式=4+5－4=5； （2）原式= = =． 【点睛】本题考查了实数的运算以及分式的加减法，熟记相关的定义与运算法则是解题的关键． 20.解方程： （1） （2） 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据公式法求解即可； （2）先分别求每一个不等式，然后即可得出不等式组的解集． 【详解】（1）由方程可得a=1，b=1，c=-1， x===； （2）解不等式-2x≤0，得x≥0， 解不等式4x+1<5，得x<1， ∴不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和解不等式组，掌握运算法则是解题关键． 21.如图，已知，，． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）先由平行线的性质得∠B=∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE； （2）根据全等三角形的性质得∠AFB=∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE=∠DEF，再由平行线的判定可得结论． 【详解】证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠B=∠C， ∵BE=CF， ∴BE-EF=CF-EF， 即BF=CE， 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（SAS）； （2）∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC， ∴∠AFE=∠DEF， ∴AF∥DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，属于全等基础知识的考查，难度不大，注意证明过程的规范性． 22.现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀． （1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是________； （2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据概率公式计算即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，可得抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率为； 故答案为： （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果为4种，所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率= 【点睛】本题考查了用列表法与树状图法求概率，解答中注意利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 23.小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元） 年份 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 收入 3 8 9 14 18 支出 1 4 5 6 6 存款余额 2 6 10 15 34 （1）表格中________； （2）请把下面的条形统计图补充完整：（画图后标注相应的数据） （3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？ 【答案】（1）；（2）见解析；（3）2018年支出最多，为7万元 【解析】 【分析】 （1）本年度收入减去支出后余额加上上一年存入银行的余额作为本年的余额，则可建立一元一次方程10＋a−6＝15，然后解方程即可； （2）根据题意得，再解方程组得到2018年的存款余额，然后补全条形统计图； （3）利用（2）中c的值进行判断． 【详解】解：（1）10＋a−6＝15， 解得a＝11， 故答案为11； （2）根据题意得， 解得， 即存款余额为22万元， 补全条形统计图如下： ； （3）由图表可知：小李在2018年的支出最多，支出了为7万元． 【点睛】本题考查了图像统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较． 24.如图，已知是锐角三角形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则的半径为________． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）由题意知直线为线段BC的垂直平分线，若圆心在线段上，且与边、相切，则再作出的角平分线，与MN的交点即为圆心O； （2）过点作，垂足为，根据即可求解． 【详解】解：（1）①先作的垂直平分线：分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l，分别交、于、； ②再作的角平分线：以点B为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B，即为的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为； ③以为圆心，为半径画圆，圆即为所求； （2）过点作，垂足为，设 ∵，，∴，∴ 根据面积法，∴ ∴，解得， 故答案：． 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图． 25.如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，． （1）求证：； （2）求的周长． 【答案】（1）见解析；（2）的周长为 【解析】 【分析】 （1）由切线的性质可得，由外角的性质可得，由等腰三角形的性质，可得，可得结论； （2）由直角三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】证明：（1）是的切线， ， ， ， ， ， ， ； （2），，， ，， ，， ， ， 的周长． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 26.有一块矩形地块，米，米，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为米．现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉；在等腰梯形和中种植乙种花卉；在矩形中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米、60 元/米、40元/米，设三种花卉的种植总成本为元． （1）当时，求种植总成本； （2）求种植总成本与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米，求三种花卉的最低种植总成本． 【答案】（1）当时，；（2）；（3）当时，最小为21600． 【解析】 【分析】 （1）根据，即可求解； （2）参考（1），由题意得：； （3），，则，即可求解． 【详解】解：（1）当时，，， 故 ； （2），，参考（1），由题意得：； （3）， 同理， 甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米， ， 解得：， 故， 而随的增大而减小，故当时，的最小值为21600， 即三种花卉的最低种植总成本为21600元． 【点睛】本题考查了一次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 27.如图，在矩形中，，，点为边上的一点（与、不重合）四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交与点，记四边形的面积为． （1）若，求的值； （2）设，求关于的函数表达式． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）解Rt△ADE可得和AE的长，然后根据平行线的性质、对称的性质可得，进而可判断为等边三角形，再根据S=S△APE+S△ADE解答即可； （2）过点作于点F，如图，则四边形ADEF是矩形，由（1）得，从而可得，设，则，然后在中根据勾股定理即可利用x表示a，然后根据S=S△APE+S△ADE即可求出结果． 【详解】解：（1）在Rt△ADE中，∵，， ∴，∴， ∴， ∵，∴， ∵四边形关于直线的对称图形为四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴S=S△APE+S△ADE=； （2）过点作于点F，如图，则四边形ADEF是矩形， ∴，， 由（1）可知，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：，解得：， ∴S=S△APE+S△ADE=． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，考查的知识点多、综合性强，熟练掌握上述知识是解题的关键． 28.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图像于点，，点在该二次函数的图像上，设过点（其中）且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形． （1）若点的横坐标为8． ①用含的代数式表示的坐标； ②点能否落在该二次函数的图像上？若能，求出的值；若不能，请说明理由； （2）当时，若点恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式． 【答案】（1）①；②能，；（2）或． 【解析】 【分析】 （1）①求出点的坐标，直线直线的解析式即可解决问题． ②求出直线的解析式，求出点的坐标，利用矩形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出的值即可． （2）分两种情形：①当点在轴的右侧时，设，求出点的坐标利用待定系数法构建方程求出即可．②当点在轴的左侧时，即为①中点的位置，利用①中结论即可解决问题． 详解】解：（1）①点在的图象上，横坐标为8， ， 直线的解析式为， 点的纵坐标为， ，； ②假设能在抛物线上， ， 直线的解析式为， 点在直线上，纵坐标为， ， 的中点的坐标为，， ，，把点坐标代入抛物线的解析式得到． （2）①当点在轴右侧时，设，所以直线解析式为， ∴， ， 直线的解析式为，可得，， ，，代入抛物线的解析式得到，， 解得， 直线的解析式为． ②当点在轴左侧时，即为①中点位置， ∴直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．