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四川省凉山州2020年中考数学试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.（﹣1）2020等于（　　） A. ﹣2020 B. 2020 C. ﹣1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据负数的偶次方是正数可以解答． 【详解】（﹣1）2020=1， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，知道-1的奇次方是-1，-1的偶次方是1，是常考题型． 2.如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答． 【详解】解：A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意； B、三棱锥的左视图是等腰三角形，符合题意； C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意； D、正方体的左视图是矩形（正方形），不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题． 3.点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用平面直角坐标系内，对称坐标的特点即可解答. 【详解】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数 ∴点关于x轴对称的点的坐标是（2，-3） 故选B 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内坐标的对称，注意关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数；关于y轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标都变相反数. 4.已知一组数据1，0，3，-1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A. -1 B. 3 C. -1和3 D. 1和3 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据平均数的定义求出x的值，再根据众数的定义解答即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：， 所以这组数据的众数是：﹣1和3． 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数和众数的定义，属于基础题型，熟练掌握二者的概念是解题关键． 5.一元二次方程x2=2x的解为（ ） A. x=0 B. x=2 C. x=0或x=2 D. x=0且x=2 【答案】C 【解析】 【详解】 或 故选C. 6.下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】A.，故错误； B. ，故错误； C.，正确； D.∵， ∴无意义； 故选C． 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值． 7.已知一次函数y =（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m的取值范围（ ） A. m>- B. m<3 C. -<m<3 D. -<m≤3 【答案】D 【解析】 【分析】 一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况. 【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时， ，解得：－＜m＜3. 当函数图象经过第一，三象限时， ，解得m＝3. ∴－＜m≤3. 故选D. 【点睛】一次函数的图象所在的象限由k，b的符号确定：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，二，三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，三，四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，二，四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二，三，四象限.注意当b＝0的特殊情况. 8.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ） A. 10cm B. 8cm C. 8cm或10cm D. 2cm或4cm 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意作图，由线段之间的关系即可求解． 【详解】如图，∵点C是线段AB的中点， ∴AC=BC=AB=6cm 当AD=AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm ∴BD=BC+CD=6+2=8cm； 当AD=AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm ∴BD=BC+CD=6+4=10cm； 故选C． 【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系． 9.下列命题是真命题的是（ ） A. 顶点在圆上的角叫圆周角 B. 三点确定一个圆 C. 圆的切线垂直于半径 D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】 根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故A错误； B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B错误； C、圆的切线垂直于过切点的半径，故C错误； D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行判断． 10.如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可； 【详解】如图，取格点E，连接BE， 由题意得：，，， ∴． 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键． 11.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 过点O作，，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果． 【详解】如图，过点O作，，设圆的半径为r， ∴△OBM与△ODN是直角三角形，， ∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于， ∴,， ∴，， ∴，， ∴． 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键． 12.二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，结合②的结论可判断③；由于当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，即（m为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴， ∴b＜0，，故②正确； ∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0， ∴，故①正确； ∵当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0， ∵，∴， 整理即得：，故③正确； ∵当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c， ∴（m为实数），即（m为实数），故④正确． 综上，正确结论的个数有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥﹣1. 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件判断即可. 【详解】由于二次根式需要有意义,则x+1≥0,x≥﹣1. 故答案为x≥﹣1. 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件,关键在于牢记基础知识. 14.因式分解：=_______________. 【答案】a(a+b)(a-b). 【解析】 分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式. 解析：原式= a(a+b)(a-b). 故答案为a(a+b)(a-b). 15.如图，的对角线AC、BD相交于点O，交AD于点E，若OA=1，的周长等于5，则的周长等于__________． 【答案】16 【解析】 【分析】 根据已知可得E为AD的中点，OE是△ABD的中位线，据此可求得AB，根据OA=1，的周长等于5，可求得具体的结果． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线， ∴O为BD和AC的中点， 又∵， ∴，，E为AD的中点， 又∵OA=1，的周长等于5， ∴AE+OE=4， ∴， ∴的周长=． 故答案为16． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理判定是解题的关键． 16.如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面，则半圆的半径OA的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 如图，连接 证明再证明从而可以列方程求解半径． 【详解】解：如图，连接 点C、D分别是半圆AOB上的三等分点， 为等边三角形， 解得： （负根舍去）， 故答案为： 【点睛】本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键． 17.如图，矩形OABC的面积为3，对角线OB与双曲线相交于点D，且，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，设D的坐标是（x，y），根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理求出DM＝AB，DN＝BC，代入矩形的面积即可求出答案． 【详解】过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N， 设D的坐标是（x，y）， 则DM＝y，DN＝x， ∵OB：OD＝5：3，四边形是OABC矩形， ∴∠BAO＝90°， ∵DM⊥OA， ∴DM∥BA， ∴△ODM∽△OBA， ∴， ∴DM＝AB， 同理DN＝BC， ∵四边形OABC的面积为3， ∴AB×BC＝3， ∴DM×DN＝xy＝AB×BC＝×3＝， 即k＝xy＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行线分线段成比例定理，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点的理解和掌握，能推出DM＝AB和DN＝BC是解此题的关键． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 18.解方程： 【答案】 【解析】 【分析】 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． 19.化简求值：，其中 【答案】，5 【解析】 【分析】 利用平方差公式，完全平方公式和去括号的法则对原式进行展开化简，然后将代入求值即可． 【详解】原式= = = 将代入得3×2-1=5． 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式和去括号，掌握运算法则是解题关键． 20.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm． 【答案】48mm 【解析】 【分析】 设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解． 【详解】设正方形的边长为x mm， 则AI＝AD﹣x＝80﹣x， ∵EFHG是正方形， ∴EF∥GH， ∴△AEF∽△ABC， ∴, 即， 解得x＝48 mm， ∴这个正方形零件的边长是48mm． 【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 21.某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图， （1）第一批所抽取的4个班共征集到作品 件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为 ； （2）补全条形统计图； （3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品两个不同班级的概率． 【答案】（1）24；150°（2）见解析（3） 【解析】 【分析】 （1）根据B班的作品数量及占比即可求出第一批所抽取的4个班共征集的作品件数，再求出C班的作品数量，求出其占比即可得到扇形的圆心角的度数； （2）根据C班的作品数量即可补全统计图； （3）根据题意画出树状图，根据概率公式即可求解． 【详解】（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品为6÷25%=24套， ∴C班的作品数量为24-4-6-4=10套， 故C班的扇形的圆心角的度数为150° 故答案为24；150°； （2）∵C班的作品数量为10套， 故补全条形统计图如下： （3）依题意可得到树状图： ∴P（抽取的作品在两个不同班级）=． 【点睛】本题考查了统计调查与概率的求解，解题的关键是熟知利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 22.如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H． （1）求证：DH是半圆切线； （2）若，，求半圆的直径． 【答案】（1）见详解；（2）12 【解析】 【分析】 （1）连接OD，先证明OD∥AH，然后根据DH⊥AH，可得OD⊥DH，即可证明； （2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，可得OE=DH=， 在Rt△AOE中，根据sin∠BAC=，sin∠BAC=，可得AO==×=6，即可求出直径． 【详解】（1）连接OD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分， ∴∠CAD=∠OAD， ∴∠CAD=∠ODA， ∴OD∥AH， ∵DH⊥AH， ∴OD⊥DH， ∴DH是半圆的切线； （2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形， ∴OE=DH=， 在Rt△AOE中， ∵sin∠BAC=，sin∠BAC=， ∴AO==×=6， ∴AB=2OA=12， ∴半圆的直径长为12． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形，灵活运用所学知识点是解题关键． 23.关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是________________. 【答案】-≤a＜- 【解析】 【分析】 解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有四个整数解，进而求出a的范围． 【详解】 解不等式①得，x＞8； 解不等式②得，x＜2-4a； ∴不等式组的解集为8＜x＜2-4a. ∵不等式组有4个整数解， ∴12＜2-4a≤13， ∴-≤a＜- 24.如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为 ． 【答案】 【解析】 【分析】 如图，连接利用三角形三边之间的关系得到最短时的位置，如图利用勾股定理计算，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接 则＞， 定值， 当落在上时，最短， 　　　　　　　　　　图 如图，连接， 由勾股定理得： 即的最小值为： 故答案为： 　　　　　　　　　图 【点睛】本题考查的是矩形的性质，考查利用轴对称求线段的最小值问题，同时考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 25.如图，点P、Q分别是等边边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发． （1）如图1，连接AQ、CP求证： （2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数 （3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120°． 【解析】 【分析】 （1）根据点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，可得BQ=AP，结合等边三角形的性质证全等即可； （2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB，再由三角形内角和定理即可求得∠AMP的度数，再根据对顶角相等可得的度数； （3）先证出，可得∠Q=∠P，再由对顶角相等，进而得出∠QMC=∠CBP=120°． 【详解】解：（1）证明：∵三角形ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°， ∵点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发， ∴BQ=AP， 在△ABQ与△CAB中， ∴． （2）角度不变，60°，理由如下： ∵ ∴∠CPA=∠AQB， 在△AMP中， ∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°， ∴∠QMC=∠AMP=60°， 故∠QMC的度数不变，度数为60°． （3）角度不变，120°，理由如下： 当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时， 有AP=BQ，∴BP=CQ ∵∠ABC=∠BCA=60°， ∴∠CBP=∠ACQ=120°， ∴ ∴∠Q=∠P， ∵∠QCM=∠BCP， ∴∠QMC=∠CBP=120°， 故∠QMC的度数不变，度数为120°． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质证全等是解题的关键． 26.如图，已知直线 （1）当反比例函数的图象与直线在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围 （2）若反比例函数的图象与直线在第一象限内相交于点、，当时，求k的值并根据图象写出此时关的不等式的解集 【答案】（1）；（2）；或； 【解析】 【分析】 （1）根据方程至少有一个交点，得判别式大于或等于0，可得答案； （2）根据韦达定理，可得方程两根关系，结合，即可求出k的值；进而求出点A、B的横坐标，然后根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集． 【详解】解：（1）∵与的图像在第一象限内至少有一个交点， ∴令，则， ∴， ∴； ∴k的取值范围为：； （2）由（1）得， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴； ∴， 解得：，， ∴不等式的解集是：或； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了韦达定理，一次函数与不等式的关系．解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质进行解题． 27.如图，的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，、、所对的边分别是a、b、c （1）求证： （2）若，，，利用（1）的结论求AB的长和的值 【答案】(1)详见解析;(2)AB=,. 【解析】 【分析】 (1)根据圆周角的性质作出辅助线构造直角三角形,利用三角函数解出即可求证. (2)利用(1)中的结论代入求出AB,在作BD⊥AC,利用三角函数求出AC的值,再根据(1)的结论求出. 【详解】(1) 如图所示,连接BO并延长交圆于A1,连接A1C,可得,,根据三角函数可得,则. 同理可得,. ∴. (2)根据(1)结论可得, ,,.将值代入得: ,解得,即AB=. 过点B作BD⊥AC,由题意可得,, ∴AD=AB·sin=, AD=BC·sin=. ∴AC=AD+CD=. ∴即,得. 【点睛】本题考查圆周角的性质,三角函数,关键在于会利用性质作出相应的辅助线. 28.如图，二次函数的图象过、、三点 （1）求二次函数的解析式； （2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式； （3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）y=-x+；（3）（-，）． 【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法即可求解； （2）先求出直线OB的解析式为y=x与线段OB的中点E的坐标，可设直线CD的解析式为y=x+m，再把E点代入即可求出直线CD的解析式； （3）设P的横坐标为t，先联立直线CD与抛物线得到D点的横坐标，得到t的取值，再得到线段PQ关于t的关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）把、、代入 得 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）如图，∵， ∴其中点E的坐标为 设直线OB的解析式为y=kx 把代入得 解得k= ∴直线OB的解析式为y=x， ∵直线CD垂直平分OB， ∴可设直线CD的解析式为y=-x+m, 把E代入得 解得m= ∴直线CD的解析式为y=-x+； （3）联立 得到 解得x1=-,x2=1， 设P的横坐标为t，则P（t,）， ∵过点P作轴，交直线CD于Q， ∴Q（t，-t+） ∴PQ=（-t+）-（）=- 故当t=-时PQ有最大值 此时P的坐标为（-，）． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．