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2019年江苏省扬州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）（2019•扬州）下列图案中，是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．（3分）（2019•扬州）下列各数中，小于的数是　　 A． B． C． D． 3．（3分）（2019•扬州）分式可变形为　　 A． B． C． D． 4．（3分）（2019•扬州）一组数据3、2、4、5、2，则这组数据的众数是　　 A．2 B．3 C．3.2 D．4 5．（3分）（2019•扬州）如图所示物体的左视图是　　 A． B． C． D． 6．（3分）（2019•扬州）若点在一次函数的图象上，则点一定不在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（3分）（2019•扬州）已知是正整数，若一个三角形的3边长分别是、、，则满足条件的的值有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 8．（3分）（2019•扬州）若反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图象上，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）（2019•扬州）2019年5月首届大运河文化旅游博览会在扬州成功举办，京杭大运河全长约1790000米，数据1790000米用科学记数法表示为　　． 10．（3分）（2019•扬州）分解因式：　 　． 11．（3分）（2019•扬州）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质鼠抽检的结果如下： 抽取的毛绒玩具数 20 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 19 17 91 184 462 921 1379 1846 优等品的频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是　　．（精确到 12．（3分）（2019•扬州）一元二次方程的根是　 　． 13．（3分）（2019•扬州）计算　　． 14．（3分）（2019•扬州）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若，则　　． 15．（3分）（2019•扬州）如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则　　． 16．（3分）（2019•扬州）如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接．若，，则　　． 17．（3分）（2019•扬州）如图，将四边形绕顶点顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为　　． 18．（3分）（2019•扬州）如图，在中，，，若进行以下操作，在边上从左到右依次取点、、、、；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交、于点、，则　　． 三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）（2019•扬州）计算或化简： （1）； （2）． 20．（8分）（2019•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 21．（8分）（2019•扬州）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图． 每天课外阅读时间 频数 频率 24 36 0.3 0.4 12 合计 1 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中　　，　　； （2）请补全频数分布直力图； （3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数． 22．（8分）（2019•扬州）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如． （1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是　　； （2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率． 23．（10分）（2019•扬州）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？ 24．（10分）（2019•扬州）如图，在平行四边形中，平分，已知，，． （1）求证：； （2）求． 25．（10分）（2019•扬州）如图，是的弦，过点作，交于，． （1）求证：是的切线； （2）已知，点是上的一点． ①求的度数； ②若，求的长． 26．（10分）（2019•扬州）如图，平面内的两条直线、，点，在直线上，点、在直线上，过、两点分别作直线的垂线，垂足分別为，，我们把线段叫做线段在直线上的正投影，其长度可记作或，特别地线段在直线上的正投影就是线段． 请依据上述定义解决如下问题： （1）如图1，在锐角中，，，则　　； （2）如图2，在中，，，，求的面积； （3）如图3，在钝角中，，点在边上，，，，求， 27．（12分）（2019•扬州）如图，四边形是矩形，，，以为一边向矩形外部作等腰直角，．点在线段上，且，点沿折线运动，点沿折线运动（与点不重合），在运动过程中始终保持线段．设与之间的距离为． （1）若． ①如图1，当点在线段上时，若四边形的面积为48，则的值为　　； ②在运动过程中，求四边形的最大面积； （2）如图2，若点在线段上时，要使四边形的面积始终不小于50，求的取值范围． 28．（12分）（2019•扬州）如图，已知等边的边长为8，点是边上的一个动点（与点、不重合）．直线1是经过点的一条直线，把沿直线1折叠，点的对应点是点． （1）如图1，当时，若点恰好在边上，则的长度为　　； （2）如图2，当时，若直线，则的长度为　　； （3）如图3，点在边上运动过程中，若直线1始终垂直于，的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积； （4）当时，在直线1变化过程中，求面积的最大值． 2019年江苏省扬州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念判断． 【解答】解：、不是中心对称图形，故此选项错误； 、不是中心对称图形，故此选项错误； 、不是中心对称图形，故此选项错误； 、是中心对称图形，正确． 故选：． 2．（3分）下列各数中，小于的数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，结合实数大小比较的法则，从符号和绝对值两个方面分析可得答案． 【解答】解：比小的数是应该是负数，且绝对值大于2的数， 分析选项可得，，只有符合． 故选：． 3．（3分）分式可变形为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用分式的基本性质分析得出答案． 【解答】解：分式可变形为：． 故选：． 4．（3分）一组数据3、2、4、5、2，则这组数据的众数是　　 A．2 B．3 C．3.2 D．4 【分析】根据众数的定义即可求出这组数据的众数． 【解答】解：在这组数据中2出现了2次，出现的次数最多，则这组数据的众数是2； 故选：． 5．（3分）如图所示物体的左视图是　　 A． B． C． D． 【分析】根据左视图是矩形，左视图中间有横着的实线进行选择即可． 【解答】解：左视图为：， 故选：． 6．（3分）若点在一次函数的图象上，则点一定不在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，此题得解． 【解答】解：，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限． 点在一次函数的图象上， 点一定不在第三象限． 故选：． 7．（3分）已知是正整数，若一个三角形的3边长分别是、、，则满足条件的的值有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】分两种情况讨论：：①若，②若，分别依据三角形三边关系进行求解即可． 【解答】解：①若，则 ， 解得，即， 正整数有6个：4，5，6，7，8，9； ②若，则 ， 解得，即， 正整数有2个：3和4； 综上所述，满足条件的的值有7个， 故选：． 8．（3分）若反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图象上，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D． 【分析】根据反比例函数图形上点的坐标特征得到反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，解方程组得，根据的图象与一次函数的图象有两个不同的交点，得到方程有两个不同的实数根，于是得到结论． 【解答】解：反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点在反比例函数的图象上， 解方程组得， 的图象与一次函数有两个不同的交点， 方程有两个不同的实数根， △， 或， 故选：． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）2019年5月首届大运河文化旅游博览会在扬州成功举办，京杭大运河全长约1790000米，数据1790000米用科学记数法表示为　　． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：数据1790000米用科学记数法表示为， 故答案为：． 10．（3分）分解因式：　　． 【分析】首先提取公因式，然后再利用平方差公式继续分解，即可求得答案． 【解答】解：． 故答案为：． 11．（3分）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质鼠抽检的结果如下： 抽取的毛绒玩具数 20 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 19 17 91 184 462 921 1379 1846 优等品的频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是　0.92　．（精确到 【分析】由表中数据可判断频率在0.92左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率为0.92． 【解答】解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92， 故答案为0.92． 12．（3分）一元二次方程的根是　1或2　． 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：， ， ， ，， ，， 故答案为：1或2． 13．（3分）计算　　． 【分析】先根据积的乘方得到原式，然后利用平方差公式计算． 【解答】解：原式 ， 故答案为． 14．（3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若，则　　． 【分析】直接利用翻折变换的性质以及平行线的性质分析得出答案． 【解答】解：延长， 由题意可得：， 则． 故答案为：． 15．（3分）如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则　15　． 【分析】根据中心角的度数边数，列式计算分别求出，的度数，则，则边数中心角． 【解答】解：连接， 是内接正六边形的一边， ， 是内接正十边形的一边， ， ， ； 故答案为：15． 16．（3分）如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接．若，，则　　． 【分析】连接，则为的中位线，根据勾股定理求出长即可求出的长． 【解答】解：连接， 正方形和正方形中，，， ，， ， ． 、分别是、的中点， ． 故答案为：． 17．（3分）如图，将四边形绕顶点顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为　　． 【分析】由旋转的性质得：，四边形四边形，图中阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积四边形的面积扇形的面积，代入扇形面积公式计算即可． 【解答】解：由旋转的性质得：，四边形四边形， 则图中阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积四边形的面积扇形的面积； 故答案为：． 18．（3分）如图，在中，，，若进行以下操作，在边上从左到右依次取点、、、、；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交、于点、，则　40380　． 【分析】，，可得，因为，，则有；同理有如下规律，，； 【解答】解：，， ，即， ，， ， 同理，，， ； 故答案为40380． 三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算或化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简二次根式、计算零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得； （2）先变形为同分母分式相减，再依据法则计算，继而约分即可得． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 20．（8分）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 所以不等式组的所有负整数解为、、． 21．（8分）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图． 每天课外阅读时间 频数 频率 24 36 0.3 0.4 12 合计 1 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中　120　，　　； （2）请补全频数分布直力图； （3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数． 【分析】（1）由的频数与频率可得总人数，再用12除以总人数可得的值； （2）总人数乘以0.4得出第3组频数，从而补全图形； （3）利用样本估计总体思想可得． 【解答】解：（1），， 故答案为：120，0.1； （2）的人数为， 补全图形如下： （3）估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为（人． 22．（8分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如． （1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是　　； （2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得． 【解答】解：（1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是． 故答案为． （2）树状图如图所示： 共有12种可能，满足条件的有4种可能， 所以抽到的两个素数之和等于30的概率 23．（10分）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？ 【分析】直接利用甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等，得出等式求出答案． 【解答】解：设甲工程队每天修米，则乙工程队每天修米，根据题意可得： ， 解得：， 经检验得：是原方程的根， 故， 答：甲工程队每天修900米，乙工程队每天修600米． 24．（10分）如图，在平行四边形中，平分，已知，，． （1）求证：； （2）求． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，，推出，再根据角平分线性质得出，推出，得出，由勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）由平行线得出，由勾股定理求出，得出，即可得出结果． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ，， ， 是直角三角形，； （2）解：， ， ， ． 25．（10分）如图，是的弦，过点作，交于，． （1）求证：是的切线； （2）已知，点是上的一点． ①求的度数； ②若，求的长． 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，等量代换得到，根据三角形的内角和得到，于是得到结论； （2）①根据等腰三角形和直角三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论； ②根据弧长公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：①， ，， ， ； ②，， 的长． 26．（10分）如图，平面内的两条直线、，点，在直线上，点、在直线上，过、两点分别作直线的垂线，垂足分別为，，我们把线段叫做线段在直线上的正投影，其长度可记作或，特别地线段在直线上的正投影就是线段． 请依据上述定义解决如下问题： （1）如图1，在锐角中，，，则　2　； （2）如图2，在中，，，，求的面积； （3）如图3，在钝角中，，点在边上，，，，求， 【分析】（1）如图1中，作．根据正投影的定义求出即可． （2）如图2中，作于．由正投影的定义可知，，利用相似三角形的性质求解即可解决问题． （3）如图3中，作于，于．根据正投影的定义，求出，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，作． ， ， ， ， ， 故答案为2． （2）如图2中，作于． ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． （3）如图3中，作于，于． ，， ， ， ， ，，，， ，， ， ， 在中，，，， ， ， ． 27．（12分）如图，四边形是矩形，，，以为一边向矩形外部作等腰直角，．点在线段上，且，点沿折线运动，点沿折线运动（与点不重合），在运动过程中始终保持线段．设与之间的距离为． （1）若． ①如图1，当点在线段上时，若四边形的面积为48，则的值为　3　； ②在运动过程中，求四边形的最大面积； （2）如图2，若点在线段上时，要使四边形的面积始终不小于50，求的取值范围． 【分析】（1）①在线段上，，，，由梯形面积公式得出方程，解方程即可； ②当，在上运动时，到点时四边形面积最大，为直角梯形，得出时，四边形面积的最大值， 当在上运动，，四边形为不规则梯形，作于，交于，作于，交于，则，， ，由等腰直角三角形的性质得出，得出，，证明，得出比例式，得出，求出梯形的面积，由二次函数的性质即可得出结果； （2）在上，则，，，梯形的面积，对称轴，得出，对称轴在10和15之间，得出，二次函数图象开口向下，当时，最小，得出，；即可得出答案． 【解答】（1）解：①在线段上，，，， 四边形的面积， 解得：； 故答案为：3； ②当，在上运动时，到点时四边形面积最大，为直角梯形， 时，四边形面积的最大值， 当在上运动，，四边形为不规则梯形， 作于，交于，作于，交于，如图2所示： 则，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 由题意得：， ， ， 即， 解得：， 梯形的面积， 当时，四边形的面积最大； （2）解：在上，则，，， 梯形的面积，对称轴为：， ， ，对称轴在10和15之间， ，二次函数图象开口向下， 当时，最小， ， ； 综上所述，的取值范围为． 28．（12分）如图，已知等边的边长为8，点是边上的一个动点（与点、不重合）．直线1是经过点的一条直线，把沿直线1折叠，点的对应点是点． （1）如图1，当时，若点恰好在边上，则的长度为　4　； （2）如图2，当时，若直线，则的长度为　　； （3）如图3，点在边上运动过程中，若直线1始终垂直于，的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积； （4）当时，在直线1变化过程中，求面积的最大值． 【分析】（1）证明是等边三角形即可解决问题． （2）如图2中，设直线交于点．连接交于．证明是等边三角形，求出即可解决问题． （3）如图3中，结论：面积不变．证明即可． （4）如图4中，当时，的面积最大，设直线交于，求出即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中， 是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ． 故答案为4． （2）如图2中，设直线交于点．连接交于． ， ，， 是等边三角形， ， ，关于对称， ， ， ． 故答案为． （3）如图3中，结论：面积不变． ，关于直线对称， 直线， 直线， ， ． （4）如图4中，当时，的面积最大， 设直线交于， 在中，，， ， ， ． 第29页（共29页）