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湖南省张家界市2020年中考数学 一、选择题 1.的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：∵×2020=1， ∴的倒数是2020． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2.如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下： 故选A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图． 3.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可 【详解】解：A、，故原式错误； B、，故原式错误； C、，故原式错误； D、，故原式正确， 故选：D． 【点睛】此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 4.下列采用的调查方式中，不合适的是（ ） A. 了解澧水河的水质，采用抽样调查． B. 了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查． C. 了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查． D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案． 【详解】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适， 了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适， 了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适， 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适， 故选B． 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 5.如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形， ∴∠A＝180°−∠BCD＝60°， 由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系， 每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：， ∴列出方程：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 【答案】A 【解析】 【分析】 解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 【详解】解：x2－6x+8=0 （x－4）（x－2）=0 解得：x=4或x=2， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形， 所以三角形的底边长为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键． 8.如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，则的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】 根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解． 【详解】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB， ∴△ABC的面积等于△ABO的面积， 连接OA、OB，如下图所示： 则 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论． 二、填空题 9.因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据公式法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握公式法并灵活应用是解题的关键． 10.今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为___________元． 【答案】2.11×108 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数． 【详解】211000000的小数点向左移动8位得到2.11， 所以211000000用科学记数法表示为2.11×108， 故答案为：2.11×108． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 11.如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度． 【答案】76° 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解． 【详解】解：∵DC∥OB， ∴∠ADC=∠AOB=38°， 由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°， ∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°， 故答案为：76°． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键． 12.新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可． 【详解】全班共有学生30+24=54（人）， 其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 13.如图，正方形的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点B落在对角线上，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】 如下图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB=NC=，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP=BP，设MP=x，则EP=BP=，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解． 【详解】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP,如下图所示， ∵B在对角线CF上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1， ∴△ENC为等腰直角三角形， ∴MB=CN=EC=， 又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形， ∴△PEC≌△PBC(HL)， ∴PB=PE， 又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE， ∴△MPE为等腰直角三角形， 设MP=x，则EP=BP=， ∵MP+BP=MB， ∴，解得， ∴BP=， ∴阴影部分的面积=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E点作BC的平行线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长. 14.观察下面的变化规律： ，…… 根据上面的规律计算： __________． 【答案】 【解析】 【分析】 本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题． 【详解】由题干信息可抽象出一般规律：（均为奇数，且）． 故． 故答案：． 【点睛】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解． 三、解答题 15.计算：． 【答案】 【解析】 【分析】 根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可． 详解】 【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键． 16.如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点． （1）求证：； （2）若，连接，求四边形的周长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）25 【解析】 【分析】 （1）根据矩形的性质可得，，，即可证的两个三角形全等； （2）设，根据已知条件可得，由（1）可推得,可得ED=EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长； 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在△DOE和△BOF中， ， ∴． （2）由（1）可得，，， ∴四边形BFDE是平行四边形， 在△EBO和△EDO中， ， ∴， ∴， ∴四边形BFDE是菱形， 根据，设，可得， 在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴四边形的周长=． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键． 17.先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【解析】 【分析】 括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算进行化简，最后把x的值代入进行计算即可． 【详解】 = = = =， 当时，原式==1． 【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了二次根式的运算，分式的约分，分式的除法运算、减法运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 18.为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70~79分，C：80~89分，D：90~100分”四个等级进行统计，得到右边未画完整的统计图： D组成绩的具体情况是： 分数（分） 93 95 97 98 99 人数（人） 2 3 5 2 1 根据以上图表提供的信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）D组成绩的中位数是_________分； （3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？ 【答案】（1）见解析；（2）97；（3）690人． 【解析】 【分析】 （1）用总人数减去A、B、D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可； （2）D组共有13人，把数据按照从小到大（从大到小）的顺序排列，找到中间第七个数据即可； （3）用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数． 【详解】解：（1）∵随机抽取40名学生，根据条形统计图可以得出：A为5人，B为12人，D为13人， ∴C的人数为：， 补全条形统计图如下图： （2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列： 93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99 第七个数据为中位数，是97， 故答案为：97； （3）80分以上的是C、D两组，共有10+13=23人，所占的比列为：23÷40=0.575 所以1200名学生中80分以上的人数有：1200×0.575=690（人）， 故答案为：690人． 【点睛】本题主要考查的是条形统计图，中位数以及用样本估计总体，解决本题的关键就是明确题意，找出所求问题的条件，仔细计算． 19.今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价． 【答案】第一批购进的消毒液的单价为10元． 【解析】 【分析】 设第一批购进的消毒液的单价为x元，根据两次购买到的数量相等可列出方程求解． 【详解】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元， 根据题意可得：， 解得：x=10， 经检验，x=10是原方程的根， 答：第一批购进的消毒液的单价为10元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题中等量关系列出方程，分式方程要记得验根． 20.阅读下面材料： 对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：． 根据上面的材料回答下列问题： （1）______； （2）当时，求x的取值范围． 【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥ 【解析】 【分析】 （1）比较大小，即可得出答案； （2）根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得﹣1 故答案为：﹣1； （2）由题意得： 3（2x－3）≥2（x+2） 6x－9≥2x+4 4x≥13 X≥ ∴x的取值范围为x≥． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 21.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为，继续飞行到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为，已知“南天一柱”的高为，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：，，） 【答案】安全 【解析】 【分析】 设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD-BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可． 【详解】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD=37°，∠CBD=45°． 在Rt△ACD中， ∵tan∠CAD=， ∴AD=． 在Rt△BCD中， ∵tan∠CBD=， ∴BD=． ∵AD-BD=AB， ∴-=9×6， ∴x=162， ∵162>150， ∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题． 22.如图，在中，，以为直径作，过点C作直线交的延长线于点D，使． （1）求证：为的切线； （2）若平分，且分别交于点，当时，求的长． 【答案】(1)见解析；（2）EF=． 【解析】 【分析】 （1）如图，连接OC，欲证明CD是的切线，只需求得∠OCD=； （2）由角平分线及三角形外角性质可得，即∠CEF=∠CFE，根据勾股定理可求得EF长． 【详解】 （1）证明：如图，连接OC ∵为的直径 ∴，即∠A+∠ABC= 又∵OC=OB ∴∠ABC=∠OCB ∵ ∴∠BCD+∠OCB=，即∠OCD= ∵OC是圆O的半径 ∴CD是的切线． （2）解：∵平分 ∴∠CDE=∠ADE 又∵ ∴，即∠CEF=∠CFE ∵∠ACB=， ∴CE=CF=2 ∴EF= 【点睛】此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解题关键． 23.如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【解析】 【分析】 （1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可； （2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状； （3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标 【详解】解：（1）∵直线经过点 ∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5） 当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0） ∴解得 ∴该抛物线的解析式为 （2）的为直角三角形，理由如下： ∵解方程=0，则x1=1，x2=5 ∴A（1,0），B（5,0） ∵抛物线的对称轴l为x=3 ∴△APB为等腰三角形 ∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0） ∴OB=CO=5,即∠ABP=45° ∴∠ABP=45°， ∴∠APB=180°-45°-45°=90° ∴∠APC=180°-90°=90° ∴的为直角三角形； （3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1 ∴∠AM1B=2∠ACB ∵△ANB为等腰直角三角形. ∴AH=BH=NH=2 ∴N（3，2） 设AC的函数解析式为y=kx+b ∵C(0，5),A(1，0) ∴ 解得b=5，k=-5 ∴AC的函数解析式为y=-5x+5 设EM1的函数解析式为y=x+n ∵点E的坐标为（） ∴=× +n，解得：n= ∴EM1的函数解析式为y=x+ ∵ 解得 ∴M1的坐标为（）； 在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2 设M2（a，-a+5） 则有：3=，解得a= ∴-a+5= ∴M2的坐标为（，）． 综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．