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扬州市2020年初中毕业、升学统一考试数学试题 说明： 1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题），非选择题（第9题~第28题，共20题）两部分．考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号，毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位号． 3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答、非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效． 4．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． ―、选择题（本大题共有8小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1.实数3的相反数是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据相反数的定义判断即可． 【详解】3的相反数是﹣3． 故选A． 【点睛】本题考查相反数的定义，关键在于牢记相反数基础知识． 2.下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据同底数幂的乘方和除法运算法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】A．，不符合题意 B．，不符合题意 C．，不符合题意 D．，符合题意 故选：D 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母部分保持不变． 3.在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案． 【详解】∵x2＋2＞0， ∴点P（x2＋2，−3）所在的象限是第四象限． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键． 4.“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称图形的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，属于基础概念题型，熟知轴对称图形的概念是解题关键． 5.某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如下尚不完整的调查问卷： 调查问卷 ________年________月________日 你平时最喜欢的一种体育运动项目是（ ）（单选） A． B． C． D．其他运动项目 准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目，选取合理的是（ ） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ②③④ D. ②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】 在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中找到三个互不包含，互不交叉的项目即可． 【详解】解：∵①室外体育运动，包含了②篮球和③足球， ⑤球类运动，包含了②篮球和③足球， ∴只有选择②③④，调查问卷的选项之间才没有交叉重合， 故选：C． 【点睛】本题考查收集调查数据的过程与方法，理解题意，准确掌握收集数据的方法是解题的关键． 6.如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ） A. 100米 B. 80米 C. 60米 D. 40米 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可． 【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转， ∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8， ∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小明走过的图形是正多边形是解题的关键． 7.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值． 【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是， ∴根据圆周角定理知，∠ABC＝， ∴在Rt△ACB中，AB= 根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝， ∴=， 故选A． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题． 8.小明同学利用计算机软件绘制函数（a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 根据图像过二、四象限可判断a的取值，根据x在负半轴的图像，可判断b的取值． 【详解】∵图像过二、四象限 ∴a＜0， ∵x在负半轴时，图像不连续 ∴b＞0 故选C． 【点睛】此题主要考查函数图像的综合判断，解题的关键是熟知函数图像与变量之间的关系． 二、填空题（本大题共有10小题，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9.2020年6月23日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射．据统计，国内已有超过6500000辆营运车辆导航设施应用北斗系统，数据6500000用科学记数法表示为________． 【答案】6.5×106 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：6500000用科学记数法表示应为：6.5×106， 故答案为：6.5×106． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10.分解因式： ． 【答案】． 【解析】 【分析】 要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可： 【详解】 故答案为: 【点睛】考核知识点：因式分解. 11.代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据二次根式的非负性计算即可得到结果． 【详解】由题可得：， 即， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，准确理解非负性的含义是解题的关键． 12.方程（x+1）2=9的解是_________． 【答案】2或-4 【解析】 试题分析：根据直接开方法即可解出方程． （x+1）2=9 x+1=±3 x=2或-4． 考点：本题考查的是解一元二次方程 点评：解答本题的关键是熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 13.圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】 根据圆锥的底面半径可以求出底面周长即为展开后的弧长,侧面积即为展开后扇形的面积,再根据扇形的面积公式求出扇形的半径即为圆锥的母线． 【详解】∵底面半径为3, ∴底面周长=2×3π=6π． ∴圆锥的母线=． 故答案为:4． 【点睛】本题考查圆锥与扇形的结合,关键在于理解圆锥周长是扇形弧长,圆锥母线是扇形半径． 14.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高． 【答案】 【解析】 【分析】 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺， 根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2， 解得：； 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 15.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________． 【答案】24 【解析】 【分析】 求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得60%计算即可； 【详解】∵正方形的二维码的边长为2cm， ∴正方形二维码的面积为， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得60%， ∴黑色部分的面积约为：， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键． 16.如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长________cm． 【答案】 【解析】 【分析】 根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案． 【详解】解：如图：作BD⊥AC于D 由正六边形，得 ∠ABC=120°，AB=BC=a， ∠BCD=∠BAC=30°． 由AC=3，得CD=． cos∠BCD==，即， 解得a=， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形和圆，利用正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数． 17.如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线BF交AC于点G． 如果，，的面积为18，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】 由作图步骤可知BG为∠ABC的角平分线，过G作GH⊥BC,GM⊥AB，可得GM=GH ,然后再结合已知条件和三角形的面积公式求得GH，最后运用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由作图作法可知：BG为∠ABC的角平分线 过G作GH⊥BCGM⊥AB ∴GM=GH ∵S△ABC=S△ABG+ S△BCG=18 ∴, ∵，， ∴,解得：GH= ∴的面积为． 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线定理是解答本题的关键． 18.如图，在中，，，，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得，以EC、EF为邻边构造，连接EG，则EG的最小值为________． 【答案】9． 【解析】 【分析】 连接FC，作DM//FC，得△DEM∽△FEO，△DMN∽△CON，进一步得出DM=，EO=，过C作CH⊥AB于H，可求出CH=，根据题意，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，故可得EN=CH=，代入EO=求出EO即可得到结论． 【详解】解：连接FC，交EG于点O，过点D作DM//FC，交EG于点M，如图所示， ∵ ∴ ∵DM//FC， ∴△DEM∽△FEO， ∴， ∵DM//FC， ∴△DMN∽△CON， ∴, ∵四边形ECGF是平行四边形， ∴CO=FO， ∴ ∴, ∴ 过点C作CH⊥AB于点H， 在Rt△CBH，∠B=60︒，BC=8， ∴CH=BCsin60︒=4， 根据题意得，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形， ∴EN=CH=4， ∴EO=, ∴EG=2EO=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本大题共有10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19.计算或化简： （1） （2） 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】 （1）先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算法则对各项进行化简计算，再进行加减计算即可； （2）先将除法变为乘法，根据分式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算和分式的混合运算，解题的关键是要熟练掌握运算法则． 20.解不等式组，并写出它的最大负整数解． 【答案】不等式组的解集为x≤−5；最大负整数解为-5 【解析】 【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集，从而得出答案． 【详解】解不等式x＋5≤0，得x≤−5， 解不等式，得：x≤−3， 则不等式组的解集为x≤−5， 所以不等式组的最大负整数解为−5． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21.扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为________； （2）补全条形统计图； （3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数． 【答案】（1）500；108；（2）见解析；（3）估计该校需要培训的学生人数为200人 【解析】 【分析】 （1）根据条形统计图中A项为150人，扇形统计图中A项为30%，计算出样本容量；扇形统计图中计算360°的30%即360°×30%即可； （2）根据扇形统计图中B选项占40%，求出条形统计图中B选项的人数，补全条形统计图即可； （3）抽取的样本中“不太熟练或不熟练”的同学所占的百分比为×100%，由此估计2000名学生所占的百分比也为×100%，进而求出该校需要培训的学生人数． 【详解】解：（1）150÷30%=500（人）， 360°×30%=108°， 故答案为：500；108； （2）500×40%=200（人），补全条形统计图如下： （3）×100%×2000=200（人） ∴估计该校需要培训的学生人数为200人． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体等知识，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的之间的关系是解题的关键． 22.防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园． （1）小明从A测温通道通过的概率是________； （2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率． 【答案】(1) ;(2) ． 【解析】 【分析】 (1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是． (2)根据题意画出树状图，再根据所得结果算出概率即可． 【详解】(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是， 故答案为：． (2)由题意画出树状图： 由图可知，小明和小丽从同一个测温通道通过的概率=． 【点睛】本题考查概率的计算和树状图的画法，关键在于理解题意，由图得出相关概率． 23.如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 7200 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单． 【答案】乙商品的进价40元/件；补全进货单见详解 【解析】 【分析】 设出乙的进货价为x，表示出乙的进货数量，表示出甲的进货数量与进货价，根据假的进货数量乘以进货价等于甲的总金额列出方程，解出方程即可． 【详解】解：设乙的进货价为x，则乙的进货数量为 件， 所以甲的数量为（+40）件，甲的进货价为x（1+50%） 可列方程为：x（1+50%）（+40）=7200 4800+60x=7200 60x=2400 解得：x=40． 经检验：x=40是原方程的解， 所以乙的进价为40元/件． 答：乙商品的进价为40元/件． ，+40=120，x（1+50%）=60， 补全进货单如下表： 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 60 120 7200 乙 40 80 3200 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，通过题目给的条件，设出乙的进货价，表示出甲的数量与进货价，通过甲的进货价×甲的数量=甲的总金额，列出分式方程，解出答案，解答本题的关键在于表示出相关量，找出等量关系，列出方程． 24.如图，的对角线AC，BD相交于点O，过点O作，分别交AB，DC于点E、F，连接AF、CE． （1）若，求EF的长； （2）判断四边形AECF的形状，并说明理由． 【答案】（1）3；（2）菱形，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）只要证明即可得到结果； （2）先判断四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直且平分证明是菱形，即可得到结论； 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线， ∴，OA=OC， 又∵， ∴， 在△AOE和△COF中， ， ∴． ∴FO=EO， 又∵， ∴． 故EF的长为3． （2）由（1）可得，，四边形ABCD是平行四边形， ∴，FC∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形， 又，OE=OF，OA=OC， ∴平行四边形AECF是菱形． 【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的性质应用，准确运用全等三角形的性质及菱形的判定是解题的关键． 25.如图，内接于，，点E在直径CD的延长线上，且． （1）试判断AE与的位置关系，并说明理由； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）AE与⊙O相切，理由见详解；（2）． 【解析】 【分析】 （1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案； （2）连接AD，利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）AE与⊙O相切，理由如下： 连接AO， ∵∠B=60°， ∴∠AOC=120°， ∵AO=CO，AE=AC， ∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°， ∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°， ∴∠EAC=120°， ∴∠EAO=90°， ∴AE是⊙O的切线； （2）连接AD，则， ∴∠DAC=90°， ∴CD为⊙O的直径， 在Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°， ∴， ∴， ∴，∠AOD=60°， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题． 26.阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则________，________； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常加法和乘法运算．已知，，那么________． 【答案】（1）-1，5；（2）购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；（3）-11 【解析】 【分析】 （1）已知，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值； （2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解； （3）根据，可得，，，根据“整体思想”，即可求得的值． 【详解】（1） ①-②，得x-y=-1 ①+②，得3x+3y=15 ∴x+y=5 故答案为：-1，5 （2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则 ①×2，得40x+6y+4z=64③ ③-②，得x+y+z=6 ∴5(x+y+z)=30 ∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 （3）∵ ∴①，②， ∴②-①，得③ ∴④ ①+②，得⑤ ⑤-④，得 ∴ 故答案为：-11 【点睛】本题考查了利用“整体思想”解二元二次方程组，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，引入了新运算，根据定义结合“整体思想”求代数式的值． 27.如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且，OC平分，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F． （1）求证：； （2）如图2，若，求的值； （3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值． 【答案】（1）见详解；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）先由三角形外角得出∠BOD=∠DAO+∠ODA，然后根据OA=OD，OC平分∠BOD得出∠DAO=∠ODA，∠COD=∠COB，可得∠COD=∠ODA，即可证明； （2）先证明△BOG≌△DOG，得出∠ADB=∠OGB=90°，然后证明△AFO∽△AED，得出∠AOD=∠ADB=90°，，根据勾股定理得出AD=2，即可求出答案； （3）先设AD=2x，OG=x，则CG=2-x，BG==，BC===CD，然后得出四边形ABCD的周长=4+2x+4，令=t≥0，即x=2-t2，可得四边形ABCD的周长=-2（t-1）2+10，得出x=2-t2=1，即AD=2，然后证明△ADF≌△COF，得出DF=OF=OD=1，根据△ADO是等边三角形，得出∠DAE=30°，可得，求出DE=，即可得出答案． 【详解】（1）由三角形外角可得∠BOD=∠DAO+∠ODA， ∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ODA， ∵OC平分∠BOD， ∴∠COD=∠COB， ∴∠COD=∠ODA， ∴OC∥AD； （2）∵OC平分， ∴∠COD=∠COB， △BOG与△DOG中， ∴△BOG≌△DOG， ∴∠BGO=∠DGO=90°， ∵AD∥OC， ∴∠ADB=∠OGB=90°，∠DAC=∠OCA， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OAC， ∵DE=DF， ∴∠DFE=∠DEF， ∵∠DFE=∠AFO， ∴∠AFO=∠DEF， ∴△AFO∽△AED， ∴∠AOD=∠ADB=90°，， ∵OA=OD=2， ∴根据勾股定理可得AD=2， ∴=； （3）∵OA=OB，OC∥AD， ∴根据三角形中位线可设AD=2x，OG=x，则CG=2-x，BG==， ∴BC===CD， ∴四边形ABCD的周长=AB+AD+DC+BC =4+2x+2 =4+2x+4 令=t≥0，即x=2-t2， ∴四边形ABCD的周长=4+2x+4 =4+2（2-t2）+4t =-2t2+4t+8 =-2（t-1）2+10， 当t=1时，四边形ABCD的周长取得最大值，最大值为10， 此时x=2-t2=1， ∴AD=2， ∵OC∥AD， ∴∠ADF=∠COF，∠DAF=∠OCF， ∵AD=OC=2， ∴△ADF≌△COF ∴DF=OF=OD=1， ∵AD=OC=OA=OD， ∴△ADO是等边三角形， 由（2）可知∠DAF=∠OAF，∠ADE=90°， ∴在Rt△ADE中，∠DAE=30°， ∴， ∴DE=， ∴=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的性质，涉及的知识点比较复杂，综合性较强，灵活运用这些知识点是解题关键． 28.如图，已知点、，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数的图像经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．” （1）当时． ①求线段AB所在直线的函数表达式． ②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值． （2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围． 【答案】（1）①；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当时，有最大值；当时，有最小值；（2）； 【解析】 【分析】 （1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB为，则，利用二次函数的性质，即可求出答案； （2）根据题意，求出直线AB的直线为，设点P为（x，），则得到，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴，即可求出n的取值范围． 【详解】解：（1）当时，点B为（5，1）， ①设直线AB为，则 ，解得：， ∴； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得， 设点P为（x，），由点P在线段AB上则 ， ∴； ∵， ∴当时，有最大值； 当时，有最小值； ∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在的位置时k值最大． （2）∵、， 设直线AB为，则 ，解得：， ∴， 设点P为（x，），由点P在线段AB上则 ， 当，即n=2时，，则k随x的增大而增大，如何题意； 当n≠2时，则对称轴为：； ∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大． 即k在中，k随x的增大而增大； 当时，有 ∴，解得：， ∴不等式组的解集为：； 当时，有 ∴，解得：， ∴综合上述，n的取值范围为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．