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广东
Word
解析
2020年广东省初中学业水平考试
数 学
说明:1.全卷共4页,满分为120分,考试用时为90分钟.
2.答卷前,考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号.用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑.
3.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用像皮檫干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试题上.
4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
5.考生务必保持答题卡的整洁.考试结束时,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1.9的相反数是
A.﹣9 B.9 C. D.﹣
2.一组数据2、4、3、5、2的中位数是
A.5 B.3.5 C.3 D.2.5
3.在平面直角坐标系中,点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为
A.(﹣3 ,2) B.(﹣2 ,3) C.(2 ,﹣3) D.(3 ,﹣2)
4.若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数为
A.4 B.5 C.6 D.7
5.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是
A.x≠2 B.x≥2 C.x≤2 D.x≠﹣2
6.已知△ABC的周长为16,点D、E、F分别为△ABC三条边的中点,则△DEF的周长为
A.8 B. C.16 D.4
7.把函数y=(x﹣1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为
A.y=x2+2 B.y=(x﹣1)2+1
C.y=(x﹣2)2+2 D.y=(x﹣1)2+3
8.不等式组的解集为
A.无解 B.x≤1 C.x≥﹣1 D.﹣1≤x≤1
9.如题9图,在正方形ABCD中,AB=3,点E、F分别在边AB、CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为
A.1 B. C. D.2
10.如题10图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1.下列结论:①abc>0;②b2﹣4ac>0;③8a+c<0;④5a+b+2c>0.其中正确的结论有
A.4个 B.3个 C.2个 D.1
二、填空题(本大题7小题,每小题4分,共27分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11.分解因式:xy﹣x=____________.
12.如果单项式3xmy与﹣5x3yn 是同类项,那么m+n=________.
13.若+|b+1|=0,则(a+b)2020=_________.
14.已知x=5﹣y,xy=2,计算3x+3y﹣4xy的值为___________.
15.如题15图,在菱形ABCD中,∠A=30°,取大于AB的长为半径,分别以点A、B为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE、BD,则∠EBD的度数为___________.
16.如题16图,从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC,如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆的半径为______m.
17.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫、老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如题17图,∠ABC=90°,点M、N分别在射线BA、BC上,MN长度始终不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA、BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为_________________.
三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
18.先化简,再求值:(x+y)2+(x+y)(x﹣y) ﹣2x2,其中x=,y=.
19.某中学展开主题为“垃圾分类知多少”的调查活动,调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”“不太了解”四个等级,要求每名学生选且只能选其中一个等级 .随机抽取了120名学生的有效问卷,数据整理如下:
等级
非常了解
比较了解
基本了解
不太了解
人数(人)
24
72
18
x
(1)求x的值;
(2)若该校有学生1800人,请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人?
20.如题20图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC边上的点,BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.求证:△ABC是等腰三角形.
四、解答题(二)(本大题3小题,毎小题8分,共24分)
21.已知关于x、y的方程组与的解相同.
(1)求a、b的值;
(2)若一个三角形的一条边的长为2,另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解,试判断该三角形的形状,并说明理由.
22.如题22图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AB是⊙O的直径,CO平分∠BCD.
(1)求证:直线CD与⊙O相切;
(2)如题22﹣2图,记(1)中的切点为E,P为优弧上一点,AD=1,BC=2,求tan∠APE的值.
23.某社区拟建A、B两类摊位以搞活“地摊经济”,每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米,建A类摊位每平方米的费用为40元,建B类摊位每平方米的费用为30元,用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的.
(1)求每个A、B类摊位占地面积各为多少平方米?
(2)该社区拟建A、B两类摊位共90个,且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用.
五、解答题(三)(本大题2小题,毎小题10分,共20分)
24.如题24图,点B是反比例函数y=(x>0)图象上一点,过点B分别向坐标轴作垂线,垂足为A、C.反比例函数y=(x>0)的图象经过OB的中点M,与AB、BC分别交于点D、E.连接DE并延长交x轴于点F,点G与点O关于点C对称,连接BF、BG.
(1)填空:k=________;
(2)求△BDF的面积;
(3)求证:四边形BDFG为平行四边形.
25.如题25图,抛物线y=与x轴交于点A、B,点A、B分别位于原点的左、右两侧,BO=3AO=3,过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D,BC=CD.
(1)求b、c的值;
(2)求直线BD的直线解析式;
(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方,点Q在射线BA上.当△ABD与△BPQ相似时,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.
2020年广东省初中学业水平考试
数 学
说明:1.全卷共4页,满分为120分,考试用时为90分钟.
2.答卷前,考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号.用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑.
3.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用像皮檫干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试题上.
4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
5.考生务必保持答题卡的整洁.考试结束时,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1.9的相反数是
A.﹣9 B.9 C. D.﹣
【答案】A
【解析】正数的相反数是负数.
【考点】相反数
2.一组数据2、4、3、5、2的中位数是
A.5 B.3.5 C.3 D.2.5
【答案】C
【解析】按顺序排列,中间的数或者中间两个数的平均数.
【考点】中位数
3.在平面直角坐标系中,点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为
A.(﹣3 ,2) B.(﹣2 ,3) C.(2 ,﹣3) D.(3 ,﹣2)
【答案】D
【解析】关于x轴对称:横坐标不变,纵坐标互为相反数.
【考点】对称性
4.若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数为
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】B
【解析】(n-2)×180°=540°,解得n=5.
【考点】n边形的内角和
5.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是
A.x≠2 B.x≥2 C.x≤2 D.x≠﹣2
【答案】B
【解析】偶数次方根的被开方数是非负数.
【考点】二次根式
6.已知△ABC的周长为16,点D、E、F分别为△ABC三条边的中点,则△DEF的周长为
A.8 B. C.16 D.4
【答案】A
【解析】三角形的中位线等于第三边的一半.
【考点】三角形中位线的性质.
7.把函数y=(x﹣1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为
A.y=x2+2 B.y=(x﹣1)2+1
C.y=(x﹣2)2+2 D.y=(x﹣1)2+3
【答案】C
【解析】左加右减,向右x变为x-1,y=(x﹣1﹣1)2+2y=(x﹣2)2+2 .
【考点】函数的平移问题.
8.不等式组的解集为
A.无解 B.x≤1 C.x≥﹣1 D.﹣1≤x≤1
【答案】D
【解析】解不等式.
【考点】不等式组的解集表示.
9.如题9图,在正方形ABCD中,AB=3,点E、F分别在边AB、CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为
A.1 B. C. D.2
【答案】D
【解析】解法一:排除法
过点F作FG∥BC交BE与点G,可得∠EFG=30°,∵FG=3,由三角函数可得EG=,∴BE>.
解法二:角平分线的性质
延长EF、BC、B’C’交于点O,可知∠EOB=∠EOB’=30°,可得∠BEO=∠B’EO=60°, ∴∠AEB’=60°.设BE=B’E=2x,由三角函数可得AE=x,由AE+BE=3,可得x=1,∴BE=2.
【考点】特殊平行四边形的折叠问题、辅助线的作法、三角函数.
10.如题10图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1.下列结论:①abc>0;②b2﹣4ac>0;③8a+c<0;④5a+b+2c>0.其中正确的结论有
A.4个 B.3个 C.2个 D.1
【答案】B
【解析】由a<0,b>0,c>0可得①错误;由△>0可得②正确;由x=-2时,y<0可得③正确.当x=1时,a+b+c>0,当x=-2时,4a-2b+c>0即-4a+2b-c>0,两式相减得5a-b+2c>0,即5a+2c>b,∵b>0,∴5a+b+2c>0可得④正确.
【考点】二次函数的图象性质.
二、填空题(本大题7小题,每小题4分,共27分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11.分解因式:xy﹣x=____________.
【答案】x(y-1)
【解析】提公因式
【考点】因式分解
12.如果单项式3xmy与﹣5x3yn 是同类项,那么m+n=________.
【答案】4
【解析】m=3,n=1
【考点】同类项的概念
13.若+|b+1|=0,则(a+b)2020=_________.
【答案】1
【解析】算术平方根、绝对值都是非负数,∴a=2,b=-1,-1的偶数次幂为正
【考点】非负数、幂的运算
14.已知x=5﹣y,xy=2,计算3x+3y﹣4xy的值为___________.
【答案】7
【解析】x+y=5,原式=3(x+y)-4xy,15-8=7
【考点】代数式运算
15.如题15图,在菱形ABCD中,∠A=30°,取大于AB的长为半径,分别以点A、B为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE、BD,则∠EBD的度数为___________.
【答案】45°
【解析】菱形的对角线平分对角,∠ABC=150°,∠ABD=75°
【考点】垂直平分线的性质、菱形的性质
16.如题16图,从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC,如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆的半径为______m.
【答案】
【解析】连接BO、AO可得△ABO为等边,可知AB=1,l=,2πr=得r=
【考点】弧长公式、圆锥
17.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫、老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如题17图,∠ABC=90°,点M、N分别在射线BA、BC上,MN长度始终不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA、BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为_________________.
【答案】
【解析】 点B到点E的距离不变,点E在以B为圆心的圆上,线段BD与圆的交点即为所求最短距离的E点,BD=,BE=2
【考点】直角三角形的性质、数学建模思想、最短距离问题
三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
18.先化简,再求值:(x+y)2+(x+y)(x﹣y) ﹣2x2,其中x=,y=.
【答案】
解:
原式=x2+2xy+y2+x2-y2-2x2
=2xy
把x=,y=代入,
原式=2××=2
【解析】完全平方公式、平方差公式,合并同类项
【考点】整式乘除,二次根式
19.某中学展开主题为“垃圾分类知多少”的调查活动,调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”“不太了解”四个等级,要求每名学生选且只能选其中一个等级 .随机抽取了120名学生的有效问卷,数据整理如下:
等级
非常了解
比较了解
基本了解
不太了解
人数(人)
24
72
18
x
(1)求x的值;
(2)若该校有学生1800人,请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人?
【答案】
解:
(1)由题意得24+72+18+x=120,解得x=6
(2)1800×=1440(人)
答:估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人.
【解析】统计表的分析
【考点】概率统计
20.如题20图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC边上的点,BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.求证:△ABC是等腰三角形.
【答案】
证明:
∵BD=CE,∠ABE=∠ACD,∠DFB=∠CFE
∴△BFDF≌△CFE(AAS)
∴∠DBF=∠ECF
∵∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
【解析】等式的性质、等角对等边
【考点】全等三角形的判定方法、等腰三角形的判定方法
四、解答题(二)(本大题3小题,毎小题8分,共24分)
21.已知关于x、y的方程组与的解相同.
(1)求a、b的值;
(2)若一个三角形的一条边的长为2,另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解,试判断该三角形的形状,并说明理由.
【答案】
解:
(1) 由题意得,解得
由,解得
(2)该三角形的形状是等腰直角三角形,理由如下:
由(1)得x2﹣4x+12=0
(x-)2=0
x1=x2=
∴该三角形的形状是等腰三角形
∵(2)2=24,()2=12
∴(2)2=()2+()2
∴该三角形的形状是等腰直角三角形
【解析】理解方程组同解的概念,一元二次方程的解法、三角形形状的判断
【考点】二元一次方程组、一元二次方程、勾股定理逆定理
22.如题22图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AB是⊙O的直径,CO平分∠BCD.
(1)求证:直线CD与⊙O相切;
(2)如题22﹣2图,记(1)中的切点为E,P为优弧上一点,AD=1,BC=2,求tan∠APE的值.
E
【答案】
(1) 证明:过点O作OE⊥CD交于点E
∵AD∥BC,∠DAB=90°
∴∠OBC=90°即OB⊥BC
∵OE⊥CD,OB⊥BC,CO平分∠BCD
∴OB=OE
∵AB是⊙O的直径
∴OE是⊙O的半径
∴直线CD与⊙O相切
(2)连接OD、OE
∵由(1)得,直线CD、AD、BC与⊙O相切
∴由切线长定理可得AD=DE=1,BC=CE=3,
∠ADO=∠EDO,∠BCO=∠ECO
∴∠AOD=∠EOD,CD=3
∵=
∴∠APE=∠AOE=∠AOD
∵AD∥BC
∴∠ADE+∠BCE=180°
∴∠EDO+∠ECO=90°即∠DOC=90°
∵OE⊥DC,∠ODE=∠CDO
∴△ODE∽△CDO
∴即
∴OD=
∵在Rt△AOD中,AO=
∴tan∠AOD==
∴tan∠APE=
【解析】无切点作垂直证半径,切线长定理,直角三角形的判定,相似三角形的运用、辅助线的作法
【考点】切线的判定、切线长定理、圆周角定理、相似三角形、三角函数
23.某社区拟建A、B两类摊位以搞活“地摊经济”,每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米,建A类摊位每平方米的费用为40元,建B类摊位每平方米的费用为30元,用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的.
(1)求每个A、B类摊位占地面积各为多少平方米?
(2)该社区拟建A、B两类摊位共90个,且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用.
【答案】
解:(1)设每个B类摊位占地面积为x平方米,则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米.
解得x=3
经检验x=3是原方程的解
∴x+2=5(平方米)
答:每个A、B类摊位占地面积各为5平方米和3平方米.
(2) 设A类摊位数量为a个,则B类摊位数量为(90-a)个,最大费用为y元.
由90-a≥3a,解得a≤22.5
∵a为正整数
∴a的最大值为22
y=40a+30(90-a)=10a+2700
∵10>0
∴y随a的增大而增大
∴当a=22时,y=10×22+2700=2920(元)
答:这90个摊位的最大费用为2920元.
【解析】分式方程的应用题注意检验,等量关系的确定是关键
【考点】分式方程的应用,不等式的应用,一次函数应用
五、解答题(三)(本大题2小题,毎小题10分,共20分)
24.如题24图,点B是反比例函数y=(x>0)图象上一点,过点B分别向坐标轴作垂线,垂足为A、C.反比例函数y=(x>0)的图象经过OB的中点M,与AB、BC分别交于点D、E.连接DE并延长交x轴于点F,点G与点O关于点C对称,连接BF、BG.
(1)填空:k=_2_______;
(2)求△BDF的面积;
(3)求证:四边形BDFG为平行四边形.
【答案】
(2)解:过点D作DP⊥x轴交于点P
由题意得,S矩形OBC=AB•AO=k=8,S矩形ADPO=AD•AO=k=2
∴=即BD=AB
∵S△BDF=BD•AO=AB•AO=3
(3)连接OE
由题意得S△OEC=OC•CE=1,S△OBC=OC•CB=4
∴即CE=BE
∵∠DEB=∠CEF,∠DBE=∠FCE
∴△DEB∽△FEC
∴CF=BD
∵OC=GC,AB=OC
∴FG=AB-CF=BD-BD=BD
∵AB∥OG
∴BD∥FG
∴四边形BDFG为平行四边形
【解析】反比例函数k的几何意义,三角形面积的表示,清楚相似比与线段比的关
【考点】反比例函数、相似三角形、三角形的面积比、平行四边形的判定
25.如题25图,抛物线y=与x轴交于点A、B,点A、B分别位于原点的左、右两侧,BO=3AO=3,过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D,BC=CD.
(1)求b、c的值;
(2)求直线BD的直线解析式;
(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方,点Q在射线BA上.当△ABD与△BPQ相似时,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.
【答案】
解:(1)由题意得A(-1,0),B(3,0),代入抛物线解析式得
,解得
(2)过点D作DE⊥x轴交于点E
∵OC∥OC,BC=CD,OB=3
∴
∴OE=
∴点D的横坐标为xD=-
∵点D是射线BC与抛物线的交点
∴把xD=-代入抛物线解析式得yD=+1
∴D(-,+1)
设直线BD解析式为y=kx+m,将B(3,0)、D(-,+1)代入
,解得
∴直线BD的直线解析式为y=
(3)由题意得tan∠ABD=,tan∠ADB=1
由题意得抛物线的对称轴为直线x=1,设对称轴与x轴交点为M,P(1,n)且n<0,Q(x,0)且x<3
①当△PBQ∽△ABD时,tan∠PBQ=tan∠ABD即=,解得-n=
tan∠PQB=tan∠ADB,即=1,解得x=
②当△PQB∽△ABD时,tan∠PBQ=tan∠ADB即=1,解得-n=2
tan∠QPB=tan∠ABD,即=,解得x=
③当△PQB∽△DAB时,tan∠PBQ=tan∠ABD即=,解得-n=
tan∠PQM=tan∠DAE,即=,解得x=
④当△PQB∽△ABD时,tan∠PBQ=tan∠ABD即=1,解得-n=2
tan∠PQM=tan∠DAE,即=,解得x=
综上所述,Q1(,0)、Q2(,0)、Q3(,0)、Q4(,0)
【解析】分类讨论不重不漏,计算能力要求高
【考点】一次函数、二次函数、平面直角坐标系、相似三角形、三角函数、分类讨论、二次根式计算
数学试卷 第 32 页 (共 32 页)