2019年湖北省武汉市中考数学试卷.doc

2019年湖北省武汉市中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2019•武汉）实数2019的相反数是　　 A．2019 B． C． D． 2．（3分）（2019•武汉）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．（3分）（2019•武汉）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是　　 A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球 C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球 4．（3分）（2019•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 5．（3分）（2019•武汉）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是　　 A． B． C． D． 6．（3分）（2019•武汉）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示与的对应关系的是　　 A． B． C． D． 7．（3分）（2019•武汉）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为　　 A． B． C． D． 8．（3分）（2019•武汉）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，，、，两点在该图象上，下列命题：①过点作轴，为垂足，连接．若的面积为3，则；②若，则；③若，则，其中真命题个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 9．（3分）（2019•武汉）如图，是的直径，、是（异于、上两点，是上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是　　 A． B． C． D． 10．（3分）（2019•武汉）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是　　 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）（2019•武汉）的化简结果为　 　． 12．（3分）（2019•武汉）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：，分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是　　． 13．（3分）（2019•武汉）计算的结果是　　． 14．（3分）（2019•武汉）如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为　　． 15．（3分）（2019•武汉）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是　　． 16．（3分）（2019•武汉）问题背景：如图1，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，可推出结论：． 问题解决：如图2，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是　　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．（8分）（2019•武汉）计算：． 18．（8分）（2019•武汉）如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，，求证：． 19．（8分）（2019•武汉）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：表示“很喜欢”， 表示“喜欢”， 表示“一般”， 表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次共抽取　　名学生进行统计调查，扇形统计图中，类所对应的扇形圆心角的大小为　　； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的类的学生大约有多少人？ 20．（8分）（2019•武汉）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点在格点上，点是边与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由． （1）如图1，过点画线段，使，且． （2）如图1，在边上画一点，使． （3）如图2，过点画线段，使，且． 21．（8分）（2019•武汉）已知是的直径，和是的两条切线，与相切于点，分别交、于、两点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接并延长交于点，连接．若，，求图中阴影部分的面积． 22．（10分）（2019•武汉）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量（件是售价（元件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元的三组对应值如表： 售价（元件） 50 60 80 周销售量（件 100 80 40 周销售利润（元 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②该商品进价是　　元件；当售价是　　元件时，周销售利润最大，最大利润是　　元． （2）由于某种原因，该商品进价提高了元件，物价部门规定该商品售价不得超过65元件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求的值． 23．（10分）（2019•武汉）在中，，，是上一点，连接． （1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：． （2）过点作，为垂足，连接并延长交于点． ①如图2，若，求证：． ②如图3，若是的中点，直接写出的值．（用含的式子表示） 24．（12分）（2019•武汉）已知抛物线和 （1）如何将抛物线平移得到抛物线？ （2）如图1，抛物线与轴正半轴交于点，直线经过点，交抛物线于另一点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接． ①若，求点的横坐标； ②若，直接写出点的横坐标． （3）如图2，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行．若的面积为2，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系． 2019年湖北省武汉市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）实数2019的相反数是　　 A．2019 B． C． D． 【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案． 【解答】解：实数2019的相反数是：． 故选：． 2．（3分）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案． 【解答】解：由题意，得 ， 解得， 故选：． 3．（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是　　 A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球 C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 【解答】解：、3个球都是黑球是随机事件； 、3个球都是白球是不可能事件； 、三个球中有黑球是必然事件； 、3个球中有白球是随机事件； 故选：． 4．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用轴对称图形定义判断即可． 【解答】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是， 故选：． 5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是　　 A． B． C． D． 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，如图所示：． 故选：． 6．（3分）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示与的对应关系的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，可知随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【解答】解：不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度， 随的增大而减小，符合一次函数图象， 故选：． 7．（3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为　　 A． B． C． D． 【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： 由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使的有6种结果， 关于的一元二次方程有实数解的概率为， 故选：． 8．（3分）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，，、，两点在该图象上，下列命题：①过点作轴，为垂足，连接．若的面积为3，则；②若，则；③若，则，其中真命题个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可． 【解答】解：过点作轴，为垂足，连接． 的面积为3， ， 反比例函数的图象分别位于第二、第四象限， ， ，正确，是真命题； ②反比例函数的图象分别位于第二、第四象限， 在所在的每一个象限随着的增大而增大， 若，则，正确，是真命题； ③当、两点关于原点对称时，，则，正确，是真命题， 真命题有3个， 故选：． 9．（3分）如图，是的直径，、是（异于、上两点，是上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是　　 A． B． C． D． 【分析】如图，连接．设．易知点在以为圆心为半径的圆上，运动轨迹是，点的运动轨迹是，由题意，设，则，利用弧长公式计算即可解决问题． 【解答】解：如图，连接．设． 是直径， ， 是的内心， ， ， ， ， ， 易知点在以为圆心为半径的圆上，运动轨迹是，点的运动轨迹是， ，设，则 ． 故选：． 10．（3分）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是　　 A． B． C． D． 【分析】由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可． 【解答】解：； ； ； ， ， ， ， 原式． 故选：． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）的化简结果为　4　． 【分析】根据二次根式的性质求出即可． 【解答】解：， 故答案为：4． 12．（3分）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：，分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是　　． 【分析】根据中位数的概念求解可得． 【解答】解：将数据重新排列为18、20、23、25、27， 所以这组数据的中位数为， 故答案为：． 13．（3分）计算的结果是　　． 【分析】异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减． 【解答】解：原式 ． 故答案为： 14．（3分）如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为　　． 【分析】设，由等腰三角形的性质和直角三角形得出，，得出，证出，由平行四边形的性质得出，得出方程，解方程即可． 【解答】解：设， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 解得：， 即； 故答案为：． 15．（3分）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是　，　． 【分析】由于抛物线沿轴向右平移1个单位得到，从而得到抛物线与轴的两交点坐标为，，然后根据抛物线与轴的交点问题得到一元二方程的解． 【解答】解：关于的一元二次方程变形为， 把抛物线沿轴向右平移1个单位得到， 因为抛物线经过点、， 所以抛物线与轴的两交点坐标为，， 所以一元二方程的解为，． 故答案为，． 16．（3分）问题背景：如图1，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，可推出结论：． 问题解决：如图2，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是　　． 【分析】（1）在上截取，通过三角形求得证得，得出是等边三角形，得出，即可求得，连接，延长到，使，连接，证得是等边三角形，得出，然后通过证得，得出，即可证得结论； （2）以为边作等边三角形，以为边作等边．连接，可证，可得，则，即当、、、四点共线时，值最小，最小值为的长度，根据勾股定理先求得、，然后求的长度，即可求的最小值． 【解答】（1）证明：如图1，在上截取， 在和中 ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 连接，延长到，使，连接， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， 是等边三角形， ， ，，，， ， 在和中 ， ， ； （2）解：如图2：以为边作等边三角形，以为边作等边．连接，作，交的延长线于． 和是等边三角形 ，，， 在和中 ， 当、、、四点共线时，值最小， ，， ， ， ． ， ， ， 最小值为， 故答案为， 三、解答题（共8题，共72分） 17．（8分）计算：． 【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可． 【解答】解： ． 18．（8分）如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，，求证：． 【分析】根据平行线的性质可得，又，利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出． 【解答】解：， ， ， ， 又，， ． 19．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：表示“很喜欢”， 表示“喜欢”， 表示“一般”， 表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次共抽取　50　名学生进行统计调查，扇形统计图中，类所对应的扇形圆心角的大小为　　； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的类的学生大约有多少人？ 【分析】（1）这次共抽取：（人，类所对应的扇形圆心角的大小； （2）类学生：（人，据此补充条形统计图； （3）该校表示“喜欢”的类的学生大约有（人． 【解答】解：（1）这次共抽取：（人， 类所对应的扇形圆心角的大小， 故答案为50，； （2）类学生：（人， 条形统计图补充如下 该校表示“喜欢”的类的学生大约有（人， 答：该校表示“喜欢”的类的学生大约有690人； 20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点在格点上，点是边与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由． （1）如图1，过点画线段，使，且． （2）如图1，在边上画一点，使． （3）如图2，过点画线段，使，且． 【分析】（1）作平行四边形即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论； （3）作平行四边形即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示，线段即为所求； （2）如图所示，点即为所求； （3）如图所示，线段即为所求． 21．（8分）已知是的直径，和是的两条切线，与相切于点，分别交、于、两点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接并延长交于点，连接．若，，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接、，证明，得出，即可得出结论； （2）连接，，证明得出，求出，由直角三角形的性质得出，，图中阴影部分的面积，即可得出结果． 【解答】（1）证明：连接、，如图1所示： 和是它的两条切线， ，， ， 切于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，，如图2所示： ， ， ，， ， ， 垂直平分， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 在，， 中，， ， ， ，， 图中阴影部分的面积． 22．（10分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量（件是售价（元件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元的三组对应值如表： 售价（元件） 50 60 80 周销售量（件 100 80 40 周销售利润（元 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②该商品进价是　40　元件；当售价是　　元件时，周销售利润最大，最大利润是　　元． （2）由于某种原因，该商品进价提高了元件，物价部门规定该商品售价不得超过65元件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求的值． 【分析】（1）①依题意设，解方程组即可得到结论； ②该商品进价是，设每周获得利润：解方程组即可得到结论； （2）根据题意得，，由于对称轴是，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）①依题意设， 则有 解得： 所以关于的函数解析式为； ②该商品进价是， 设每周获得利润 则有， 解得：， ， 当售价是70元件时，周销售利润最大，最大利润是1800元； 故答案为：40，70，1800； （2）根据题意得，， 对称轴， ①当时（舍，②当时，时，求最大值1400， 解得：． 23．（10分）在中，，，是上一点，连接． （1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：． （2）过点作，为垂足，连接并延长交于点． ①如图2，若，求证：． ②如图3，若是的中点，直接写出的值．（用含的式子表示） 【分析】（1）如图1中，延长交于点．想办法证明即可． （2）①如图2中，作交的延长线于．利用全等三角形的性质证明，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． ②如图3中，作交的延长线于，作于．不妨设，则．想办法求出，（用表示），即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1中，延长交于点． ， ， ， ，， ， ， ，， ， ． （2）①证明：如图2中，作交的延长线于． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②解：如图3中，作交的延长线于，作于．不妨设，则． 则，，，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ． 24．（12分）已知抛物线和 （1）如何将抛物线平移得到抛物线？ （2）如图1，抛物线与轴正半轴交于点，直线经过点，交抛物线于另一点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接． ①若，求点的横坐标； ②若，直接写出点的横坐标． （3）如图2，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行．若的面积为2，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系． 【分析】（1）向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到； （2）易求点，，联立方程，可得，；设，， ①当时，则有，求得； ②当时，，，则有，求得； （3）设经过与的直线解析式为， ，则可知△，求得， 求出直线的解析式为，直线的解析式为，则可求，， 再由面积，可得，即可求解； 【解答】解：（1）向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到； （2）与轴正半轴的交点， 直线经过点， ， ， 与的交点为的解， 或， ，， 设，且， 轴， ， ①当时， ， 则有， ， 点横坐标为； ②当时， ，， ， ； 点横坐标为； （3）设经过与的直线解析式为， ， 则有， △， ， 直线的解析式为，直线的解析式为， ，， ， ， ， ； 第28页（共28页）