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2019
广东省
中考
数学试卷
2019年广东省中考数学试卷
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1.(3分)(2019•广东)﹣2的绝对值是( )
A.2 B.﹣2 C. D.±2
2.(3分)(2019•广东)某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元,将数221000用科学记数法表示为( )
A.2.21×106 B.2.21×105 C.221×103 D.0.221×106
3.(3分)(2019•广东)如图,由4个相同正方体组合而成的儿何体,它的左视图是( )
A. B.
C. D.
4.(3分)(2019•广东)下列计算正确的是( )
A.b6+b3=b2 B.b3•b3=b9 C.a2+a2=2a2 D.(a3)3=a6
5.(3分)(2019•广东)下列四个银行标志中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.(3分)(2019•广东)数据3,3,5,8,11的中位数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.(3分)(2019•广东)实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子成立的是( )
A.a>b B.|a|<|b| C.a+b>0 D.<0
8.(3分)(2019•广东)化简的结果是( )
A.﹣4 B.4 C.±4 D.2
9.(3分)(2019•广东)已知x1,x2是一元二次方程x2﹣2x=0的两个实数根,下列结论错误的是( )
A.x1≠x2 B.x12﹣2x1=0 C.x1+x2=2 D.x1•x2=2
10.(3分)(2019•广东)如图,正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边在上方作正方形EFGB,延长FG交DC于M,连接AM,AF,H为AD的中点,连接FH分别与AB,AM交于点N、K:则下列结论:①△ANH≌△GNF;②∠AFN=∠HFG;③FN=2NK;④S△AFN:S△ADM=1:4.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二.填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11.(4分)(2019•广东)计算:20190+()﹣1= .
12.(4分)(2019•广东)如图,已知a∥b,∠1=75°,则∠2= .
13.(4分)(2019•广东)一个多边形的内角和是1080°,这个多边形的边数是 .
14.(4分)(2019•广东)已知x=2y+3,则代数式4x﹣8y+9的值是 .
15.(4分)(2019•广东)如图,某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15米,在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,则教学楼AC的高度是 米(结果保留根号).
16.(4分)(2019•广东)如图1所示的图形是一个轴对称图形,且每个角都是直角,长度如图所示,小明按图2所示方法玩拼图游戏,两两相扣,相互间不留空隙,那么小明用9个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是 (结果用含a,b代数式表示).
三.解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
17.(6分)(2019•广东)解不等式组:
18.(6分)(2019•广东)先化简,再求值:(﹣)÷,其中x=.
19.(6分)(2019•广东)如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点.
(1)请用尺规作图法,在△ABC内,求作∠ADE,使∠ADE=∠B,DE交AC于E;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若=2,求的值.
四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)
20.(7分)(2019•广东)为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩,随机抽取了部分男生进行测试,并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级,绘制如下不完整的统计图表,如图表所示,根据图表信息解答下列问题:
成绩等级频数分布表
成绩等级
频数
A
24
B
10
C
x
D
2
合计
y
(1)x= ,y= ,扇形图中表示C的圆心角的度数为 度;
(2)甲、乙、丙是A等级中的三名学生,学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验,用列表法或画树状图法,求同时抽到甲,乙两名学生的概率.
21.(7分)(2019•广东)某校为了开展“阳光体育运动”,计划购买篮球、足球共60个,已知每个篮球的价格为70元,每个足球的价格为80元.
(1)若购买这两类球的总金额为4600元,求篮球,足球各买了多少个?
(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额,求最多可购买多少个篮球?
22.(7分)(2019•广东)在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的三个顶点均在格点上,以点A为圆心的与BC相切于点D,分别交AB、AC于点E、F.
(1)求△ABC三边的长;
(2)求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积.
五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
23.(9分)(2019•广东)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点,其中点A的坐标为(﹣1,4),点B的坐标为(4,n).
(1)根据图象,直接写出满足kx+b>的x的取值范围;
(2)求这两个函数的表达式;
(3)点P在线段AB上,且S△AOP:S△BOP=1:2,求点P的坐标.
24.(9分)(2019•广东)如图1,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.
(1)求证:ED=EC;
(2)求证:AF是⊙O的切线;
(3)如图2,若点G是△ACD的内心,BC•BE=25,求BG的长.
25.(9分)(2019•广东)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+x﹣与x轴交于点A、B(点A在点B右侧),点D为抛物线的顶点,点C在y轴的正半轴上,CD交x轴于点F,△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE,点A恰好旋转到点F,连接BE.
(1)求点A、B、D的坐标;
(2)求证:四边形BFCE是平行四边形;
(3)如图2,过顶点D作DD1⊥x轴于点D1,点P是抛物线上一动点,过点P作PM⊥x轴,点M为垂足,使得△PAM与△DD1A相似(不含全等).
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标;
②直接回答这样的点P共有几个?
2019年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1.(3分)(2019•广东)﹣2的绝对值是( )
A.2 B.﹣2 C. D.±2
【考点】绝对值.菁优网版权所有
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数,即可解答.
【解答】解:|﹣2|=2,故选:A.
2.(3分)(2019•广东)某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元,将数221000用科学记数法表示为( )
A.2.21×106 B.2.21×105 C.221×103 D.0.221×106
【考点】科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
【分析】根据有效数字表示方法,以及科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将221000用科学记数法表示为:2.21×105.
故选:B.
3.(3分)(2019•广东)如图,由4个相同正方体组合而成的儿何体,它的左视图是( )
A. B.
C. D.
【考点】简单组合体的三视图.菁优网版权所有
【分析】左视图是从左边看得出的图形,结合所给图形及选项即可得出答案.
【解答】解:从左边看得到的是两个叠在一起的正方形,如图所示.
故选:A.
4.(3分)(2019•广东)下列计算正确的是( )
A.b6+b3=b2 B.b3•b3=b9 C.a2+a2=2a2 D.(a3)3=a6
【考点】合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.菁优网版权所有
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案.
【解答】解:A、b6+b3,无法计算,故此选项错误;
B、b3•b3=b6,故此选项错误;
C、a2+a2=2a2,正确;
D、(a3)3=a9,故此选项错误.
故选:C.
5.(3分)(2019•广东)下列四个银行标志中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形;中心对称图形.菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
C、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项正确;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误.
故选:C.
6.(3分)(2019•广东)数据3,3,5,8,11的中位数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】中位数.菁优网版权所有
【分析】先把原数据按从小到大排列,然后根据中位数的定义求解即可.
【解答】解:把这组数据按照从小到大的顺序排列为:3,3,5,8,11,
故这组数据的中位数是,5.
故选:C.
7.(3分)(2019•广东)实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子成立的是( )
A.a>b B.|a|<|b| C.a+b>0 D.<0
【考点】绝对值;实数与数轴.菁优网版权所有
【分析】先由数轴可得﹣2<a<﹣1,0<b<1,且|a|>|b|,再判定即可.
【解答】解:由图可得:﹣2<a<﹣1,0<b<1,
∴a<b,故A错误;
|a|>|b|,故B错误;
a+b<0,故C错误;
<0,故D正确;
故选:D.
8.(3分)(2019•广东)化简的结果是( )
A.﹣4 B.4 C.±4 D.2
【考点】算术平方根.菁优网版权所有
【分析】根据算术平方根的含义和求法,求出16的算术平方根是多少即可.
【解答】解:==4.
故选:B.
9.(3分)(2019•广东)已知x1,x2是一元二次方程x2﹣2x=0的两个实数根,下列结论错误的是( )
A.x1≠x2 B.x12﹣2x1=0 C.x1+x2=2 D.x1•x2=2
【考点】根与系数的关系.菁优网版权所有
【分析】由根的判别式△=4>0,可得出x1≠x2,选项A不符合题意;将x1代入一元二次方程x2﹣2x=0中可得出x12﹣2x1=0,选项B不符合题意;利用根与系数的关系,可得出x1+x2=2,x1•x2=0,进而可得出选项C不符合题意,选项D符合题意.
【解答】解:∵△=(﹣2)2﹣4×1×0=4>0,
∴x1≠x2,选项A不符合题意;
∵x1是一元二次方程x2﹣2x=0的实数根,
∴x12﹣2x1=0,选项B不符合题意;
∵x1,x2是一元二次方程x2﹣2x=0的两个实数根,
∴x1+x2=2,x1•x2=0,选项C不符合题意,选项D符合题意.
故选:D.
10.(3分)(2019•广东)如图,正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边在上方作正方形EFGB,延长FG交DC于M,连接AM,AF,H为AD的中点,连接FH分别与AB,AM交于点N、K:则下列结论:①△ANH≌△GNF;②∠AFN=∠HFG;③FN=2NK;④S△AFN:S△ADM=1:4.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质;相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】由正方形的性质得到FG=BE=2,∠FGB=90°,AD=4,AH=2,∠BAD=90°,求得∠HAN=∠FGN,AH=FG,根据全等三角形的定理定理得到△ANH≌△GNF(AAS),故①正确;根据全等三角形的性质得到∠AHN=∠HFG,推出∠AFH≠∠AHF,得到∠AFN≠∠HFG,故②错误;根据全等三角形的性质得到AN=AG=1,根据相似三角形的性质得到∠AHN=∠AMG,根据平行线的性质得到∠HAK=∠AMG,根据直角三角形的性质得到FN=2NK;故③正确;根据矩形的性质得到DM=AG=2,根据三角形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:∵四边形EFGB是正方形,EB=2,
∴FG=BE=2,∠FGB=90°,
∵四边形ABCD是正方形,H为AD的中点,
∴AD=4,AH=2,
∠BAD=90°,
∴∠HAN=∠FGN,AH=FG,
∵∠ANH=∠GNF,
∴△ANH≌△GNF(AAS),故①正确;
∴∠AHN=∠HFG,
∵AG=FG=2=AH,
∴AF=FG=AH,
∴∠AFH≠∠AHF,
∴∠AFN≠∠HFG,故②错误;
∵△ANH≌△GNF,
∴AN=AG=1,
∵GM=BC=4,
∴==2,
∵∠HAN=∠AGM=90°,
∴△AHN∽△GMA,
∴∠AHN=∠AMG,
∵AD∥GM,
∴∠HAK=∠AMG,
∴∠AHK=∠HAK,
∴AK=HK,
∴AK=HK=NK,
∵FN=HN,
∴FN=2NK;故③正确;
∵延长FG交DC于M,
∴四边形ADMG是矩形,
∴DM=AG=2,
∵S△AFN=AN•FG=2×1=1,S△ADM=AD•DM=×4×2=4,
∴S△AFN:S△ADM=1:4故④正确,
故选:C.
二.填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11.(4分)(2019•广东)计算:20190+()﹣1= 4 .
【考点】有理数的加法;零指数幂;负整数指数幂.菁优网版权所有
【分析】分别计算负整数指数幂、零指数幂,然后再进行实数的运算即可.
【解答】解:原式=1+3=4.
故答案为:4.
12.(4分)(2019•广东)如图,已知a∥b,∠1=75°,则∠2= 105° .
【考点】平行线的性质.菁优网版权所有
【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可.
【解答】解:∵直线L直线a,b相交,且a∥b,∠1=75°,
∴∠3=∠1=75°,
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣75°=105°.
故答案为:105°
13.(4分)(2019•广东)一个多边形的内角和是1080°,这个多边形的边数是 8 .
【考点】多边形内角与外角.菁优网版权所有
【分析】根据多边形内角和定理:(n﹣2)•180 (n≥3)可得方程180(x﹣2)=1080,再解方程即可.
【解答】解:设多边形边数有x条,由题意得:
180(x﹣2)=1080,
解得:x=8,
故答案为:8.
14.(4分)(2019•广东)已知x=2y+3,则代数式4x﹣8y+9的值是 21 .
【考点】代数式求值;整式的加减.菁优网版权所有
【分析】直接将已知变形进而代入原式求出答案.
【解答】解:∵x=2y+3,
∴x﹣2y=3,
则代数式4x﹣8y+9=4(x﹣2y)+9
=4×3+9
=21.
故答案为:21.
15.(4分)(2019•广东)如图,某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15米,在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,则教学楼AC的高度是 (15+15) 米(结果保留根号).
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.菁优网版权所有
【分析】首先分析图形:根据题意构造直角三角形.本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE,进而可解即可求出答案.
【解答】解:过点B作BE⊥AB于点E,
在Rt△BEC中,∠CBE=45°,BE=15;可得CE=BE×tan45°=15米.
在Rt△ABE中,∠ABE=30°,BE=15,可得AE=BE×tan30°=15米.
故教学楼AC的高度是AC=15米.
答:教学楼AC的高度是(15)米.
16.(4分)(2019•广东)如图1所示的图形是一个轴对称图形,且每个角都是直角,长度如图所示,小明按图2所示方法玩拼图游戏,两两相扣,相互间不留空隙,那么小明用9个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是 a+8b (结果用含a,b代数式表示).
【考点】利用轴对称设计图案.菁优网版权所有
【分析】用9个这样的图形的总长减去拼接时的重叠部分,即可得到拼出来的图形的总长度.
【解答】解:由图可得,拼出来的图形的总长度=9a﹣8(a﹣b)=a+8b.
故答案为:a+8b.
三.解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
17.(6分)(2019•广东)解不等式组:
【考点】解一元一次不等式组.菁优网版权所有
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分就是不等式组的解集.
【解答】解:
解不等式组①,得x>3
解不等式组②,得x>1
则不等式组的解集为x>3
18.(6分)(2019•广东)先化简,再求值:(﹣)÷,其中x=.
【考点】分式的化简求值.菁优网版权所有
【分析】先化简分式,然后将x 的值代入计算即可.
【解答】解:原式=
=
当x=时,
原式==
19.(6分)(2019•广东)如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点.
(1)请用尺规作图法,在△ABC内,求作∠ADE,使∠ADE=∠B,DE交AC于E;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若=2,求的值.
【考点】作图—基本作图;相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】(1)利用基本作图(作一个角等于已知角)作出∠ADE=∠B;
(2)先利用作法得到∠ADE=∠B,则可判断DE∥BC,然后根据平行线分线段成比例定理求解.
【解答】解:(1)如图,∠ADE为所作;
(2)∵∠ADE=∠B
∴DE∥BC,
∴==2.
四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)
20.(7分)(2019•广东)为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩,随机抽取了部分男生进行测试,并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级,绘制如下不完整的统计图表,如图表所示,根据图表信息解答下列问题:
成绩等级频数分布表
成绩等级
频数
A
24
B
10
C
x
D
2
合计
y
(1)x= 4 ,y= 40 ,扇形图中表示C的圆心角的度数为 36 度;
(2)甲、乙、丙是A等级中的三名学生,学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验,用列表法或画树状图法,求同时抽到甲,乙两名学生的概率.
【考点】频数(率)分布表;扇形统计图;列表法与树状图法.菁优网版权所有
【分析】(1)随机抽男生人数:10÷25%=40(名),即y=40;C等级人数:40﹣24﹣10﹣2=4(名),即x=4;扇形图中表示C的圆心角的度数360°×=36°;
(2)先画树状图,然后求得P(同时抽到甲,乙两名学生)==.
【解答】(1)随机抽男生人数:10÷25%=40(名),即y=40;
C等级人数:40﹣24﹣10﹣2=4(名),即x=4;
扇形图中表示C的圆心角的度数360°×=36°.
故答案为4,40,36;
(2)画树状图如下:
P(同时抽到甲,乙两名学生)==.
21.(7分)(2019•广东)某校为了开展“阳光体育运动”,计划购买篮球、足球共60个,已知每个篮球的价格为70元,每个足球的价格为80元.
(1)若购买这两类球的总金额为4600元,求篮球,足球各买了多少个?
(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额,求最多可购买多少个篮球?
【考点】二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用.菁优网版权所有
【分析】(1)设购买篮球x个,购买足球y个,根据总价=单价×购买数量结合购买篮球、足球共60个\购买这两类球的总金额为4600元,列出方程组,求解即可;
(2)设购买了a个篮球,则购买(60﹣a)个足球,根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额,列不等式求出x的最大整数解即可.
【解答】解:(1)设购买篮球x个,购买足球y个,
依题意得:.
解得.
答:购买篮球20个,购买足球40个;
(2)设购买了a个篮球,
依题意得:70a≤80(60﹣a)
解得a≤32.
答:最多可购买32个篮球.
22.(7分)(2019•广东)在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的三个顶点均在格点上,以点A为圆心的与BC相切于点D,分别交AB、AC于点E、F.
(1)求△ABC三边的长;
(2)求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积.
【考点】勾股定理;切线的性质;扇形面积的计算.菁优网版权所有
【分析】(1)根据勾股定理即可求得;
(2)根据勾股定理求得AD,由(1)得,AB2+AC2=BC2,则∠BAC=90°,根据S阴=S△ABC﹣S扇形AEF即可求得.
【解答】解:(1)AB==2,
AC==2,
BC==4;
(2)由(1)得,AB2+AC2=BC2,
∴∠BAC=90°,
连接AD,AD==2,
∴S阴=S△ABC﹣S扇形AEF=AB•AC﹣π•AD2=20﹣5π.
五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
23.(9分)(2019•广东)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点,其中点A的坐标为(﹣1,4),点B的坐标为(4,n).
(1)根据图象,直接写出满足kx+b>的x的取值范围;
(2)求这两个函数的表达式;
(3)点P在线段AB上,且S△AOP:S△BOP=1:2,求点P的坐标.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.菁优网版权所有
【分析】(1)根据一次函数图象在反比例图象的上方,可求x的取值范围;
(2)将点A,点B坐标代入两个解析式可求k2,n,k1,b的值,从而求得解析式;
(3)根据三角形面积相等,可得答案.
【解答】解:(1)∵点A的坐标为(﹣1,4),点B的坐标为(4,n).
由图象可得:kx+b>的x的取值范围是x<﹣1或0<x<4;
(2)∵反比例函数y=的图象过点A(﹣1,4),B(4,n)
∴k2=﹣1×4=﹣4,k2=4n
∴n=﹣1
∴B(4,﹣1)
∵一次函数y=kx+b的图象过点A,点B
∴,
解得:k=﹣1,b=3
∴直线解析式y=﹣x+3,反比例函数的解析式为y=﹣;
(3)设直线AB与y轴的交点为C,
∴C(0,3),
∵S△AOC=×3×1=,
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×1+×4=,
∵S△AOP:S△BOP=1:2,
∴S△AOP=×=,
∴S△COP=﹣=1,
∴×3•xP=1,
∴xP=,
∵点P在线段AB上,
∴y=﹣+3=,
∴P(,).
24.(9分)(2019•广东)如图1,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.
(1)求证:ED=EC;
(2)求证:AF是⊙O的切线;
(3)如图2,若点G是△ACD的内心,BC•BE=25,求BG的长.
【考点】圆的综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)由AB=AC知∠ABC=∠ACB,结合∠ACB=∠BCD,∠ABC=∠ADC得∠BCD=∠ADC,从而得证;
(2)连接OA,由∠CAF=∠CFA知∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF,结合∠ACB=∠BCD得∠ACD=2∠ACB,∠CAF=∠ACB,据此可知AF∥BC,从而得OA⊥AF,从而得证;
(3)证△ABE∽△CBA得AB2=BC•BE,据此知AB=5,连接AG,得∠BAG=∠BAD+∠DAG,∠BGA=∠GAC+∠ACB,由点G为内心知∠DAG=∠GAC,结合∠BAD+∠DAG=∠GDC+∠ACB得∠BAG=∠BGA,从而得出BG=AB=5.
【解答】解:(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
又∵∠ACB=∠BCD,∠ABC=∠ADC,
∴∠BCD=∠ADC,
∴ED=EC;
(2)如图1,连接OA,
∵AB=AC,
∴=,
∴OA⊥BC,
∵CA=CF,
∴∠CAF=∠CFA,
∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF,
∵∠ACB=∠BCD,
∴∠ACD=2∠ACB,
∴∠CAF=∠ACB,
∴AF∥BC,
∴OA⊥AF,
∴AF为⊙O的切线;
(3)∵∠ABE=∠CBA,∠BAD=∠BCD=∠ACB,
∴△ABE∽△CBA,
∴=,
∴AB2=BC•BE,
∴BC•BE=25,
∴AB=5,
如图2,连接AG,
∴∠BAG=∠BAD+∠DAG,∠BGA=∠GAC+∠ACB,
∵点G为内心,
∴∠DAG=∠GAC,
又∵∠BAD+∠DAG=∠GDC+∠ACB,
∴∠BAG=∠BGA,
∴BG=AB=5.
25.(9分)(2019•广东)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+x﹣与x轴交于点A、B(点A在点B右侧),点D为抛物线的顶点,点C在y轴的正半轴上,CD交x轴于点F,△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE,点A恰好旋转到点F,连接BE.
(1)求点A、B、D的坐标;
(2)求证:四边形BFCE是平行四边形;
(3)如图2,过顶点D作DD1⊥x轴于点D1,点P是抛物线上一动点,过点P作PM⊥x轴,点M为垂足,使得△PAM与△DD1A相似(不含全等).
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标;
②直接回答这样的点P共有几个?
【考点】二次函数综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)利用抛物线解析式求得点A、B、D的坐标;
(2)欲证明四边形BFCE是平行四边形,只需推知EC∥BF且EC=BF即可;
(3)①利用相似三角形的对应边成比例求得点P的横坐标,没有指明相似三角形的对应边(角),需要分类讨论;
②根据①的结果即可得到结论.
【解答】解:(1)令x2+x﹣=0,
解得x1=1,x2=﹣7.
∴A(1,0),B(﹣7,0).
由y=x2+x﹣=(x+3)2﹣2得,D(﹣3,﹣2);
(2)证明:∵DD1⊥x轴于点D1,
∴∠COF=∠DD1F=90°,
∵∠D1FD=∠CFO,
∴△DD1F∽△COF,
∴=,
∵D(﹣3,﹣2),
∴D1D=2,OD=3,
∴D1F=2,
∴=,
∴OC=,
∴CA=CF=FA=2,
∴△ACF是等边三角形,
∴∠AFC=∠ACF,
∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE,
∴∠ECF=∠AFC=60°,
∴EC∥BF,
∵EC=DC==6,
∵BF=6,
∴EC=BF,
∴四边形BFCE是平行四边形;
(3)∵点P是抛物线上一动点,
∴设P点(x,x2+x﹣),
①当点P在B点的左侧时,
∵△PAM与△DD1A相似,
∴或=,
∴=或=,
解得:x1=1(不合题意舍去),x2=﹣11或x1=1(不合题意舍去)x2=﹣;
当点P在A点的右侧时,
∵△PAM与△DD1A相似,
∴=或=,
∴=或=,
解得:x1=1(不合题意舍去),x2=﹣3(不合题意舍去)或x1=1(不合题意舍去),x2=﹣(不合题意舍去);
当点P在AB之间时,
∵△PAM与△DD1A相似,
∴=或=,
∴=或=,
解得:x1=1(不合题意舍去),x2=﹣3(不合题意舍去)或x1=1(不合题意舍去),x2=﹣;
综上所述,点P的横坐标为﹣11或﹣或﹣;
②由①得,这样的点P共有3个.
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