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2020年北京市中考数学 满分：100分 时间：120分钟 一.选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1.右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A.圆柱 B.圆锥 C.三棱锥 D.长方体 （2020北京中考第2题）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ） A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1＞∠4+∠5 D.∠2＜∠5 4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） 5.正五边形的外角和为（ ） A.180° B.360° C.540° D.720° 6.实数在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数满足，则的值可以是（ ） A.2 B.-1 C.-2 D.-3 7.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ） A. B. C. D. 8.有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ） A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.二次函数关系 D.反比例函数关系 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 10.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 . 11.写出一个比大且比小的整数 . 12方程组的解为 . 13.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点.若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 . 14.在△ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）.只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可） 15.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为： （填“＞”，“＝”或“＜”） 16.下图是某剧场第一排座位分布图 甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2,3,4,5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1,2号座位的票，乙购买3,5,7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 . 三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.计算： 18.解不等式组： 19.已知，求代数式的值. 20.已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∥AB. 求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=. 作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP.线段BP就是所求作线段. （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：∵CD∥AB， ∴∠ABP= . ∵AB=AC， ∴点B在⊙A上. 又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据） ∴∠ABP=∠BAC 21.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF. （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长. 22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点（1,2）. （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围. 23.如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F. （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长. 24.小云在学习过程中遇到一个函数. 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当时， 对于函数，即，当时，随的增大而 ，且； 对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 . （2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 0 1 综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大.在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象. （3）过点（0，m）（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 . 25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下： .小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图： .小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下： 时段 1日至10日 11日至20日 21日至30日 平均数 100 170 250 （1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数） （2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍（结果保留小数点后一位）； （3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为.直接写出的大小关系. 26.在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中. （1）若抛物线的对称轴为，当为何值时， （2）设抛物线的对称轴为.若对于，都有，求的取值范围. 27.在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点.E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF. （1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）； （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明. 28.在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1. 给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”. （1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”； （2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围. 2020年北京市中考数学参考答案和解析 满分：100分 时间：120分钟 一.选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1.右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A.圆柱 B.圆锥 C.三棱锥 D.长方体 【解析】长方体的三视图都是长方形，故选D 2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【解析】将36000用科学记数法表示为，3.6×104，故选C 3.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ） A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1＞∠4+∠5 D.∠2＜∠5 【解析】由两直线相交，对顶角相等可知A正确；由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知B选项的∠2＞∠3，C选项∠1=∠4+∠5，D选项的∠2＞∠5.故选A. 4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） 【解析】正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，故选D 5.正五边形的外角和为（ ） A.180° B.360° C.540° D.720° 【解析】任意多边形的外角和都为360°，与边数无关，故选B 6.实数在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数满足，则的值可以是（ ） A.2 B.-1 C.-2 D.-3 【解析】由于且在与区间范围内，所以到原点的距离一定小于2，故选B 7.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ） A. B. C. D. 【解析】由题意，共4种情况：1+1；1+2；2+1；2+2，其中满足题意的有两种，故选C 8.有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ） A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.二次函数关系 D.反比例函数关系 【解析】因为水面高度“匀速”增加，且初始水面高度不为0，故选B 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 【解析】分母不能为0，可得，即 10.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 . 【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式△=0，∴，解得 11.写出一个比大且比小的整数 . 【解析】，可得2或3均可，故答案不唯一，2或3都对 12方程组的解为 . 【解析】两个方程相加可得，∴，将代入，可得， 故答案为 13.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点.若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 . 【解析】由于正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴ 14.在△ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）.只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可） 【解析】答案不唯一，根据等腰三角形三线合一的性质可得，要使△ABD≌△ACD，则可以填∠BAD=∠CAD或者BD=CD或AD⊥BC均可. 15.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为： （填“＞”，“＝”或“＜”） 【解析】由网格图可得，∴面积相等，答案为“=” 16.下图是某剧场第一排座位分布图 甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2,3,4,5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1,2号座位的票，乙购买3,5,7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 . 【解析】答案不唯一；丙先选择：1,2,3,4.丁选：5,7,9,11,13.甲选6,8.乙选10,12,14.∴顺序为丙，丁，甲，乙. 三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.计算： 【解析】解：原式= 18.解不等式组： 【解析】 解：解不等式①得：；解不等式②得： ∴此不等式组的解集为 19.已知，求代数式的值. 【解析】：解：原式= ∵，∴，∴，∴原式= 20.已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∥AB. 求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=. 作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP.线段BP就是所求作线段. （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：∵CD∥AB， ∴∠ABP= . ∵AB=AC， ∴点B在⊙A上. 又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据） ∴∠ABP=∠BAC 【解析】（1）如图所示 （2）∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 21.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF. （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长. 【解析】（1）∵四边形ABCD为菱形，∴点O为BD的中点，∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形. （2）∵点E为AD的中点，AD=10，∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，. ∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD=10，∴OE=AB=5 ∵四边形OEFG为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2 22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点（1,2）. （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围. 【解析】（1）∵一次函数由平移得到，∴ 将点（1,2）代入可得，∴一次函数的解析式为. （2）当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知： 临界值为当时，两条直线都过点（1,2），∴当时.都大于 .又∵，∴可取值2，即，∴的取值范围为 23.如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F. （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长. 【解析】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90° ∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF. （2） 设半径为，在Rt△OCD中，，∴，∴. ∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴OF∥BD ∴，∴OE=4， ∵，∴，∴ 24.小云在学习过程中遇到一个函数. 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当时， 对于函数，即，当时，随的增大而 ，且； 对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 . （2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 0 1 综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大.在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象. （3）过点（0，m）（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 . 【解析】（1）减小，减小，减小 （2）根据表格描点，连成平滑的曲线即可 （3）当时，，∴的最大值为 25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下： .小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图： .小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下： 时段 1日至10日 11日至20日 21日至30日 平均数 100 170 250 （1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数） （2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍（结果保留小数点后一位）； （3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为.直接写出的大小关系. 【解析】（1）平均数：（千克） （2）倍 （3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知： 26.在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中. （1）若抛物线的对称轴为，当为何值时， （2）设抛物线的对称轴为.若对于，都有，求的取值范围. 【解析】（1）抛物线必过（0，c），∵，∴点M，N关于对称， 又∵，∴ （2）情况1：当恒成立 情况2：当恒不成立 情况3：当要，必有 ∴∴ 27.在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点.E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF. （1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）； （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明. 【解析】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE为△ABC的中位线 ∴DE∥BC，∵∠C=90°，∴∠DEC=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90° ∴四边形DECF为矩形，∴DE=CF=，∴BF=CF， ∴BF=CF，∴DF=CE=AC，∴. （2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG. ∵BG∥AC，∴∠EAD=∠GBD，∠DEA=∠DGB ∵D是AB的中点，∴AD=BD，∴△EAD≌△GBD（AAS） ∴ED=GD，AE=BG. ∵DF⊥DE，∴DF是线段EG的垂直平分线 ∴EF=FG ∵∠C=90°，BG∥AC，∴∠GBF=90°， 在Rt△BGF中，，∴ 28.在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1. 给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”. （1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”； （2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围. 【解析】（1）平行；P3. （2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令，直线与轴交点为（-2,0），直线与轴夹角为60°，∴. 由垂径定理得： ∴ （3）如图，线段AB的位置变换，可以看做是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可； 点A到O的距离为. 如图，平移距离的最小值即点A到⊙O的最小值： 平移距离的最大值即点A到⊙O的最大值： ∴的取值范围为：