2019年福建省中考数学试卷.doc

2019年福建省中考数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．（4分）（2019•福建）计算22+（﹣1）0的结果是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（4分）（2019•福建）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（　　） A．72×104 B．7.2×105 C．7.2×106 D．0.72×106 3．（4分）（2019•福建）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正方形 4．（4分）（2019•福建）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）（2019•福建）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 6．（4分）（2019•福建）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（　　） A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定 B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好 C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高 D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳 7．（4分）（2019•福建）下列运算正确的是（　　） A．a•a3＝a3 B．（2a）3＝6a3 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 8．（4分）（2019•福建）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（　　） A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685 C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685 9．（4分）（2019•福建）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（　　） A．55° B．70° C．110° D．125° 10．（4分）（2019•福建）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）（2019•福建）因式分解：x2﹣9＝　 　． 12．（4分）（2019•福建）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是　 　． 13．（4分）（2019•福建）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有　 　人． 14．（4分）（2019•福建）在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），则其第四个顶点是　 　． 15．（4分）（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是　 　．（结果保留π） 16．（4分）（2019•福建）如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝　 　． 三、解答题（共86分） 17．（8分）（2019•福建）解方程组． 18．（8分）（2019•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE． 19．（8分）（2019•福建）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣），其中x＝+1． 20．（8分）（2019•福建）已知△ABC和点A'，如图． （1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'． 21．（8分）（2019•福建）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E． （1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小； （2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形． 22．（10分）（2019•福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元． （1）求该车间的日废水处理量m； （2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围． 23．（10分）（2019•福建）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表； 维修次数 8 9 10 11 12 频率（台数） 10 20 30 30 10 （1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率； （2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？ 24．（12分）（2019•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF． （1）求证：∠BAC＝2∠CAD； （2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值． 25．（14分）（2019•福建）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式； （2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形． ①求点A的坐标和抛物线的解析式； ②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线． 2019年福建省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．（4分）（2019•福建）计算22+（﹣1）0的结果是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】有理数的加法；有理数的乘方；零指数幂．菁优网版权所有 【分析】分别计算平方、零指数幂，然后再进行实数的运算即可． 【解答】解：原式＝4+1＝5 故选：A． 2．（4分）（2019•福建）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（　　） A．72×104 B．7.2×105 C．7.2×106 D．0.72×106 【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【解答】解：将720000用科学记数法表示为7.2×105． 故选：B． 3．（4分）（2019•福建）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正方形 【考点】轴对称图形；中心对称图形．菁优网版权所有 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确． 故选：D． 4．（4分）（2019•福建）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有 【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可． 【解答】解：几何体的主视图为： 故选：C． 5．（4分）（2019•福建）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有 【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案． 【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形． 故选：B． 6．（4分）（2019•福建）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（　　） A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定 B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好 C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高 D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳 【考点】折线统计图；方差．菁优网版权所有 【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化． 方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好 【解答】解：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确； B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确； C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确 D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误． 故选：D． 7．（4分）（2019•福建）下列运算正确的是（　　） A．a•a3＝a3 B．（2a）3＝6a3 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．菁优网版权所有 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝a4，不符合题意； B、原式＝8a3，不符合题意； C、原式＝a3，不符合题意； D、原式＝0，符合题意， 故选：D． 8．（4分）（2019•福建）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（　　） A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685 C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．菁优网版权所有 【分析】设他第一天读x个字，根据题意列出方程解答即可． 【解答】解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x＝34685， 故选：A． 9．（4分）（2019•福建）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（　　） A．55° B．70° C．110° D．125° 【考点】圆周角定理；切线的性质．菁优网版权所有 【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解． 【解答】解：连接OA，OB， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∵∠ACB＝55°， ∴∠AOB＝110°， ∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°． 故选：B． 10．（4分）（2019•福建）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2； 【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n）， ∴二次函数的对称轴x＝， ∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近， ∵|a|＞0， ∴y1＞y3＞y2； 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）（2019•福建）因式分解：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　． 【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3）， 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 12．（4分）（2019•福建）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是　﹣1　． 【考点】数轴．菁优网版权所有 【分析】根据A、B两点所表示的数分别为﹣4和2，利用中点公式求出线段AB的中点所表示的数即可． 【解答】解：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣4和2， ∴线段AB的中点所表示的数＝（﹣4+2）＝﹣1． 即点C所表示的数是﹣1． 故答案为：﹣1 13．（4分）（2019•福建）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有　1200　人． 【考点】用样本估计总体．菁优网版权所有 【分析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数． 【解答】解：由题意得：2000×＝1200人， 故答案为：1200． 14．（4分）（2019•福建）在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），则其第四个顶点是　（1，2）　． 【考点】坐标与图形性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有 【分析】由题意得出OA＝3，由平行四边形的性质得出BC∥OA，BC＝OA＝3，即可得出结果． 【解答】解：∵O（0，0）、A（3，0）， ∴OA＝3， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，BC＝OA＝3， ∵B（4，2）， ∴点C的坐标为（4﹣3，2）， 即C（1，2）； 故答案为：（1，2）． 15．（4分）（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是　π﹣1　．（结果保留π） 【考点】正方形的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有 【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：延长DC，CB交⊙O于M，N， 则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1， 故答案为：π﹣1． 16．（4分）（2019•福建）如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝　6+2　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 【分析】连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D点坐标，便可求得结果． 【解答】解：连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G， ∵函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称， ∴O、A、C三点在同直线上，且∠COE＝45°， ∴OE＝AE， 不妨设OE＝AE＝a，则A（a，a）， ∵点A在在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴a2＝3， ∴a＝， ∴AE＝OE＝， ∵∠BAD＝30°， ∴∠OAF＝∠CAD＝∠BAD＝15°， ∵∠OAE＝∠AOE＝45°， ∴∠EAF＝30°， ∴AF＝，EF＝AEtan30°＝1， ∵AB＝AD＝2，AE∥DG， ∴EF＝EG＝1，DG＝2AE＝2， ∴OG＝OE+EG＝+1， ∴D（+1，2）， 故答案为：6+2． 三、解答题（共86分） 17．（8分）（2019•福建）解方程组． 【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：， ①+②得：3x＝9，即x＝3， 把x＝3代入①得：y＝﹣2， 则方程组的解为． 18．（8分）（2019•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE． 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有 【分析】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC， 在△ADF和△BCE中，， ∴△ADF≌△BCE（SAS）， ∴AF＝CE． 19．（8分）（2019•福建）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣），其中x＝+1． 【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有 【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝（x﹣1）÷ ＝（x﹣1）• ＝， 当x＝+1， 原式＝ ＝1+． 20．（8分）（2019•福建）已知△ABC和点A'，如图． （1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'． 【考点】三角形的面积；三角形中位线定理；作图—复杂作图；相似三角形的判定．菁优网版权所有 【分析】（1）分别作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC得△A'B'C'即可所求． （2）根据中位线定理易得∴△DEF∽△ABC，△D'E'F'∽△A'B'C'，故△DEF∽△D'E'F' 【解答】解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求． 证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴ （2）证明： ∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点， ∴DE＝，，， ∴△DEF∽△ABC 同理：△D'E'F'∽△A'B'C'， 由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′， ∴△DEF∽△D'E'F'． 21．（8分）（2019•福建）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E． （1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小； （2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形． 【考点】平行四边形的判定；旋转的性质．菁优网版权所有 【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，从而利用互余和计算出∠ADE的度数； （2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB＝AC，则BF＝AB，再根据旋转的性质得到∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，从而得到DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，接着证明△CFD≌△ABC得到DF＝BC，然后根据平行四边形的判定方法得到结论． 【解答】（1）解：如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上， ∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°， ∵CA＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°， ∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°； （2）证明：如图2， ∵点F是边AC中点， ∴BF＝AC， ∵∠ACB＝30°， ∴AB＝AC， ∴BF＝AB， ∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC， ∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB， ∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形， ∴BE＝CB， ∵点F为△ACD的边AC的中点， ∴DF⊥AC， 易证得△CFD≌△ABC， ∴DF＝BC， ∴DF＝BE， 而BF＝DE， ∴四边形BEDF是平行四边形． 22．（10分）（2019•福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元． （1）求该车间的日废水处理量m； （2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围． 【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有 【分析】（1）求出该车间处理35吨废水所需费用，将其与350比较后可得出m＜35，根据废水处理费用＝该车间处理m吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设一天产生工业废水x吨，分0＜x≤20及x＞20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜350， ∴m＜35． 依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370， 解得：m＝20． 答：该车间的日废水处理量为20吨． （2）设一天产生工业废水x吨， 当0＜x≤20时，8x+30≤10x， 解得：15≤x≤20； 当x＞20时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x， 解得：20＜x≤25． 综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤20． 23．（10分）（2019•福建）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表； 维修次数 8 9 10 11 12 频率（台数） 10 20 30 30 10 （1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率； （2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？ 【考点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；加权平均数；列表法与树状图法；利用频率估计概率．菁优网版权所有 【分析】（1）利用概率公式计算即可． （2）分别求出购买10次，11次的费用即可判断． 【解答】解：（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率＝＝0.6． （2）购买10次时， 某台机器使用期内维修次数 8 9 10 11 12 该台机器维修费用 24000 24500 25000 30000 35000 此时这100台机器维修费用的平均数 y1＝（24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10）＝27300 购买11次时， 某台机器使用期内维修次数 8 9 10 11 12 该台机器维修费用 26000 26500 27000 27500 32500 此时这100台机器维修费用的平均数 y2＝（26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10）＝27500， ∵27300＜27500， 所以，选择购买10次维修服务． 24．（12分）（2019•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF． （1）求证：∠BAC＝2∠CAD； （2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值． 【考点】等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形．菁优网版权所有 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∠ADB＝90°﹣∠CAD，从而得到∠BAC＝∠CAD，即可证得结论； （2）易证得BC＝CF＝4，即可证得AC垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tan∠BAD的值． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴＝，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°﹣∠CAD， ∴∠BAC＝∠CAD， ∴∠BAC＝2∠CAD； （2）解：∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴∠BDC＝2∠DFC， ∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC， ∴CB＝CF， 又BD⊥AC， ∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10． 又BC＝4， 设AE＝x，CE＝10﹣x， 由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2， 解得x＝6， ∴AE＝6，BE＝8，CE＝4， ∴DE＝＝＝3， ∴BD＝BE+DE＝3+8＝11， 作DH⊥AB，垂足为H， ∵AB•DH＝BD•AE， ∴DH＝＝＝， ∴BH＝＝， ∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝， ∴tan∠BAD＝＝＝． 25．（14分）（2019•福建）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式； （2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形． ①求点A的坐标和抛物线的解析式； ②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线． 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解； （2）①y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解． 【解答】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a， 则c＝4a； （2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1）， 且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1）， 又△ABC为等腰直角三角形， ∴点A为抛物线的顶点； ①c＝1，顶点A（1，0）， 抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1， ②， x2﹣（2+k）x+k＝0， x＝（2+k±）， xD＝xB＝（2+k﹣），yD＝﹣1； 则D， yC＝（2+k2+k， C，A（1，0）， ∴直线AD表达式中的k值为：kAD＝＝， 直线AC表达式中的k值为：kAC＝， ∴kAD＝kAC，点A、C、D三点共线． 第22页（共22页）