2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版ⅱ）（含解析版）.doc

2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅱ） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（　　） A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5} 2．（5分）不等式＜0的解集为（　　） A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＞3} 3．（5分）已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 4．（5分）函数的反函数是（　　） A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） B．y=e2x﹣1+1（x＞0） C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R） D．y=e2x﹣1+1（x∈R） 5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（　　） A．14 B．21 C．28 D．35 7．（5分）若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（　　） A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣2 8．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 9．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（　　） A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 10．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（　　） A．+ B．+ C．+ D．+ 11．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（　　） A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个 12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（　　） A．1 B． C． D．2 　 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则cosα=　 　． 14．（5分）（x+）9展开式中x3的系数是　 　．（用数字作答） 15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=　 　． 16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=　 　． 　 三、解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD． 18．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++） （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=（an+）2，求数列{bn}的前n项和Tn． 19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1． （Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小． 20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求P； （Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率． 21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx． （Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围． 22．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）． （Ⅰ）求C的离心率； （Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切． 　 2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅱ） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（　　） A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5} 【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由全集U={x∈N+|x＜6}，可得U={1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解． 【解答】解：∵A={1，3}，B={3，5}， ∴A∪B={1，3，5}， ∵U={x∈N+|x＜6}={1，2，3，4，5}， ∴∁U（A∪B）={2，4}， 故选：C． 【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算． 　 2．（5分）不等式＜0的解集为（　　） A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＞3} 【考点】73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集． 【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0 即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解； 或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3， 所以不等式的解集为﹣2＜x＜3 故选：A． 【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题． 　 3．（5分）已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）=﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案． 【解答】解：∵sina=， ∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣． 故选：B． 【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆． 　 4．（5分）函数的反函数是（　　） A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） B．y=e2x﹣1+1（x＞0） C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R） D．y=e2x﹣1+1（x∈R） 【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数． 【解答】解：由原函数解得 x=e 2y﹣1+1， ∴f﹣1（x）=e 2x﹣1+1， 又x＞1，∴x﹣1＞0； ∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R， 故选：D． 【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）． 　 5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合． 【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可． 【解答】解：作出可行域，作出目标函数线， 可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点， ∴即为B（1，1），当x=1，y=1时zmax=3． 故选：C． 【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 　 6．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（　　） A．14 B．21 C．28 D．35 【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 【分析】由等差数列的性质求解． 【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4， ∴a1+a2+…+a7==7a4=28 故选：C． 【点评】本题主要考查等差数列的性质． 　 7．（5分）若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（　　） A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣2 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用． 【分析】由y=x2+ax+b，知y′=2x+a，再由曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，求出a和b． 【解答】解：∵y=x2+ax+b， ∴y′=2x+a， ∵y′|x=1=2+a， ∴曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b=（2+a）（x﹣1）， ∵曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0， ∴a=﹣1，b=2． 故选：B． 【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答． 　 8．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值． 【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF， ∵正三角形ABC， ∴E为BC中点， ∵BC⊥AE，SA⊥BC， ∴BC⊥面SAE， ∴BC⊥AF，AF⊥SE， ∴AF⊥面SBC， ∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2， ∴AE=，AS=3， ∴SE=2，AF=， ∴sin∠ABF=． 故选：D． 【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角． 　 9．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（　　） A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果． 【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题， ∵先从3个信封中选一个放1，2，有=3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有=6种放法， ∴共有3×6×1=18． 故选：B． 【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列． 　 10．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（　　） A．+ B．+ C．+ D．+ 【考点】9B：向量加减混合运算．菁优网版权所有 【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案． 【解答】解：∵CD为角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC=BD：CD 　 11．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（　　） A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题． 【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论． 【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系， 并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P， 因为=（1，1，1）， 所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1． 作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F， 则PF是点P到直线A1D1的距离． 所以PF=； 同理点P到直线AB、CC1的距离也是． 所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等， 所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个． 故选：D． 【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法． 　 12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（　　） A．1 B． C． D．2 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k． 【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵，∴y1=﹣3y2， ∵，设，b=t， ∴x2+4y2﹣4t2=0①， 设直线AB方程为，代入①中消去x，可得， ∴，， 解得， 故选：B． 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用． 　 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则cosα=　　． 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有 【分析】根据，以及sin2α+cos2α=1可求出答案． 【解答】解：∵=，∴2sinα=﹣cosα 又∵sin2α+cos2α=1，α是第二象限的角 ∴ 故答案为： 【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识． 　 14．（5分）（x+）9展开式中x3的系数是　84　．（用数字作答） 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项Tr+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目． 【解答】解：写出（x+）9通项， ∵要求展开式中x3的系数 ∴令9﹣2r=3得r=3， ∴C93=84 故答案为：84． 【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题． 　 15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=　2　． 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，进而根据，可知M为A、B的中点， 可得p的关系式，解方程即可求得p． 【解答】解：设直线AB：，代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0， 又∵，即M为A、B的中点， ∴xB+（﹣）=2，即xB=2+， 得p2+4P﹣12=0， 解得p=2，p=﹣6（舍去） 故答案为：2 【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题． 　 16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=　3　． 【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得． 【解答】解法一：∵ON=3，球半径为4， ∴小圆N的半径为， ∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB， ∴NE=，同理可得，在直角三角形ONE中， ∵NE=，ON=3， ∴， ∴， ∴MN=3． 故填：3． 解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM=ON=3， 故小圆半径NB为 C为AB中点，故CB=2；所以NC=， ∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC= ∴MN=2EN=2•CN•=2××=3 故填：3． 【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 　 三、解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD． 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．菁优网版权所有 【分析】先由cos∠ADC=确定角ADC的范围，因为∠BAD=∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案． 【解答】解：由cos∠ADC=＞0，则∠ADC＜， 又由知B＜∠ADC可得B＜， 由sinB=，可得cosB=， 又由cos∠ADC=，可得sin∠ADC=． 从而sin∠BAD=sin（∠ADC﹣B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB==． 由正弦定理得， 所以AD==． 【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化． 　 18．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++） （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=（an+）2，求数列{bn}的前n项和Tn． 【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可 （2）由bn的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解 【解答】解：（1）设正等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意得：∴an=2n﹣1（6分） （2） ∴bn的前n项和Tn=（12分） 【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质 　 19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1． （Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小． 【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD垂直相交即可； （2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可． 【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F． 因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1， 又AE=3EB1，所以FE=EB1， 又D为BB1的中点， 故DE∥BF，DE⊥AB1． 作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点． 又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1， 故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD． 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线． （2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=． 作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角． B1H=，C1H=，AC1=，HK= tan∠B1KH=， ∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan． 【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处． 　 20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求P； （Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率． 【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p． （Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B=A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过Ti为事件Ai，i=1、2、3、4， A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流， 易得A1，A2，A3相互独立，且， P（）=（1﹣p）3=1﹣0.999=0.001， 计算可得，p=0.9； （Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过， 有B=A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3， 则P（B）=P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3） =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891． 【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算． 　 21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx． （Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围． 【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题． 【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可． （2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可． 【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx ∴ 解f′（x）＞0， 即：2x2﹣3x+1＜0 函数f（x）的单调递增区间是． （Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣， ∵f（x）在上为减函数， ∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立． 即a≤2x+恒成立． 设，则 ∵x∈时，＞4， ∴g′（x）＜0， ∴g（x）在上递减， ∴g（x）＞g（）=3， ∴a≤3． 【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强． 　 22．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）． （Ⅰ）求C的离心率； （Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切． 【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题． 【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率． （Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得． 【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简， 得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0， 设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，① 由M（1，3）为BD的中点知． 故，即b2=3a2，② 故， ∴C的离心率． （Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2=3a2，A（a，0），F（2a，0）， ． 故不妨设x1≤﹣a，x2≥a， ，， |BF|•|FD|=（a﹣2x1）（2x2﹣a）=﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2=5a2+4a+8． 又|BF|•|FD|=17，故5a2+4a+8=17． 解得a=1，或（舍去）， 故=6， 连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3， 从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴， 因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切， 所以过A、B、D三点的圆与x轴相切． 【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．