2015年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）.docx

2015年高考山东省理科数学真题 一、选择题 1.已知集合，，则（ ） A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 2.若复数Z满足，其中i为虚数为单位，则Z=（ ） A．1-i B．1+i C．-1-i D．-1+i 3.要得到函数的图像，只需要将函数y=sin4x的图像（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 4.已知菱形ABCD的边长为，，则（ ） A． B． C． D． 5.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是（ ） A． B． C．（1，4） D．（1，5） 6.已知x,y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 7.在梯形ABCD中，，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ） （附：若随机变量服从正态分布， 则，。） A．4.56% B．12.59% C．27.18% D．31.74% 9.一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 10.设函数，则满足的a取值范围是（ ） A． B．[0，1] C． D． 二、填空题 11.观察下列各式： 照此规律，当当nN时，C02n-1 + C12n-1 + C22n-1 +…+ Cn-12n-1 = . 12.若“x[0，]，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为 . 13.执行下面的程序框图，输出的T的值为 . 14.已知函数 的定义域和值域都是 ，则________ 15.平面直角坐标系xOy中，双曲线C：（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py(p>0)交于O，若的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为___________． 16.设。 （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求面积的最大值。 17.如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点。 （Ⅰ）求证：BC//平面FGH； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小。 18.设数列的前n项和为。已知。 （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若数列满足，求的前n项和。 19.若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）. 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分. （Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”； （Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望. 20.平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是。以为圆心以3为半径的圆与以为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上。 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆为椭圆C上任意一点，过点P的直线交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q. （i）求的值； （ii）求面积的最大值。 将 代入椭圆C的方程 21设函数，其中。 （Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若成立，求的取值范围。 2015年高考山东省理科数学真题答案 一、选择题 1.答案：C 解析过程： ，， 所以，选C 2.答案：A 解析过程： 因为，所以， 所以，，选A 3.答案：B 解析过程： 因为， 所以，只需要将函数的图象 向右平移个单位，选B 4.答案：D 解析过程： 因为 = ，选D. 5.答案：A 解析过程： 原不等式可转化为以下三个不等式的并集： （Ⅰ），解得 （Ⅱ），解得 （Ⅲ），解得 综上，原不等式的解集为，选A 6.答案：B 解析过程： 作出可行域如图 若的最大值为4，则最优解可能为或 经检验不是最优解，是最优解，此时 7.答案：C 解析过程： 直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面 所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱 挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体， 所以该组合体的体积为： ，选C 8.答案：B 解析过程： 用表示 零件的长度，根据正态分布的性质得： ，选B. 9.答案：D 解析过程： 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点， 设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为： ，即 又因为光线与圆相切， 所以，，整理得 解得：或，选D 10.答案：C 解析过程： 当时，， 所以，，即符合题意； 当时，，若， 即，，所以符合题意； 综上，的取值范围是，选C 二、填空题 11.答案： 解析过程： 由归纳推理得： 12.答案：1 解析过程： 在上单调递增，所以 在上的最大值为 由题意得， 13. 答案： 解析过程： 初始条件 成立 ； 运行第一次： 成立； 运行第二次： 不成立； 输出的值： 结束 14.答案： 解析过程： 若，则在上为增函数 所以，此方程组无解； 若，则在上为减函数 所以，解得，所以 15.答案： 解析过程： 设 所在的直线方程为 , 则 所在的直线方程为 解方程组 得： ， 所以点 的坐标为 抛物线的焦点 的坐标为: 因为是 的垂心，所以 所以， 所以， 16.答案： （I）单调递增区间是；单调递减区间是 （II） 面积的最大值为 解析过程： （I）由题意知 由，， 可得，， 由，， 可得，， 所以，函数的单调递增区间是（） 函数的单调递减区间是（） （II）由，得 由题意得为锐角，所以 由余弦定理： 可得： 即：，当且仅当时等号成立 因此 所以面积的最大值为 17.答案： （I）详见解析；（II） 解析过程： （I）证法一：连接设,连接， 在三棱台中，分别为的中点，可得，所以四边形是平行四边形， 则为的中点，又是的中点，所以, 又平面，平面，所以平面. 证法二：在三棱台中， 由为的中点， 可得 所以为平行四边形，可得 在中，分别为的中点， 所以又， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面. （Ⅱ）解法一：设 ，则 在三棱台中， 为 的中点 由 ， 可得四边形 为平行四边形， 因此 又平面 所以平面 在 中，由 ， 是 中点， 所以 因此 两两垂直, 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 所以 可得 故 设 是平面 的一个法向量，则 由 可得 可得平面 的一个法向量 因为 是平面 的一个法向量， 所以 所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为 解法二： 作 于点 ，作 于点 ，连接 由 平面 ，得 又 所以 平面 因此 所以 即为所求的角 在 中, 由∽ 可得， 从而，由平面，平面得 ，所以，所以 所以平面与平面所成角（锐角）的大小为 18.答案：（I）; （II）. 解析过程： 解：（I）因为 所以， ，故 当 时， 此时，，即 所以， （II）因为， 当时， 所以，当时， 所以 两式相减得， 所以，，经检验，时也适合， 综上， 19.答案：（I）有：125，135，145，235，245，345； （II）X的分布列为 X 0 -1 1 P 解析过程： （I）个位数是5的“三位递增数”有：； （II）由题意知，全部“三位递增数”的个数为 随机变量的取值为：，因此 ；； 所以的分布列为 X 0 -1 1 P 因此 20.答案：（I）；（II）( i )2；（ii） . 解析过程： （I）由题意知，则， 又，，可得， 所以椭圆C的标准方程为 （II）由（I）知椭圆E的方程为 （i）设， ，由题意知 因为又 ， 即，所以 ，即 （ii）设 将代入椭圆E的方程， 可得 由 ，可得……① 则有 所以 因为直线与轴交点的坐标为 所以的面积 令 将 代入椭圆C的方程 可得 由 ，可得 ……② 由①②可知 因此 故 当且仅当 ，即 时取得最大值 由（i）知， 面积为 所以面积的最大值为 21.答案：（I）当 时，函数在上有唯一极值点； 当时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有两个极值点； （II）的取值范围是. 解析过程： 函数定义域为 令 （1）当 时， ， 在上恒成立 所以，函数在上单调递增无极值； （2）当 时， 若，即： ，则在上恒成立， 从而 在上恒成立，函数在上单调递增无极值； 若，即： ，由于 则 在在上有两个零点，从而函数在上有两个极值点 且； （3）当 时，在 上单调递增，在 上单调递减， 且， 所以， 在在上有唯一零点， 从而函数在上有唯一极值点. 综上： 当 时，函数在上有唯一极值点； 当时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有两个极值点； （II）由（I）知， （1）当时，函数在上单调递增， 因为，所以，时，，符合题意； （2）当时，由，得 所以，函数在上单调递增， 又，所以，时，，符合题意； （3）当时，由，可得 所以时，函数单调递减； 又，所以，当时，函数不符合题意； （4）当时，设 因为时， 所以在上单调递增， 因此当时， 即： 可得： 当时， 此时，，不合题意 综上所述，的取值范围是