2014年江苏高考数学试题及答案（www.ximiyu.com）.doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 开始 输出n 结束 （第3题） N Y 1. 已知集合A={}，，则 ▲ . 2. 已知复数(i为虚数单位),则的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的的值是 ▲ . 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数与(0≤),zxxk它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 100 80 90 110 120 130 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 底部周长/cm （第6题） 7. 在各项均为正数的等比数列中,,则的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分别为，，若它们的侧面积相等，且，则的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为 ▲ . 10. 已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数) zxxk过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是 ▲ . A B D C P （第12题） 12. 如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 ▲ . 13. 已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 ▲ . 14. 若△的内角满足,则的最小值是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，学科网解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分) 已知,. (1)求的值； (2)求的值. 16.(本小题满分14分) 如图，在三棱锥中，，E，F分zxxk别为棱的中点.已知, 求证: (1)直线平面； (2)平面平面. 17.(本小题满分14分) 如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结. F1 F2 O x y B C A (第17题) (1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程； (2)若求椭圆离心率e的值. 18.(本小题满分16分) 如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形学科网保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),. (1)求新桥BC的长； (2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？ 170 m 60 m 东 北 O A B M C （第18题） 19.(本小题满分16分) 已知函数,其中e是自然对数的底数. (1)证明:是R上的偶函数； (2)若关于的不等式≤在上恒成立，学科网求实数的取值范围； (3)已知正数满足：存在，使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论. 20.(本小题满分16分) 设数列的前项和为.若对任意正整数，学科网总存在正整数，使得，则称是“H数列”. (1)若数列的前n项和(N),证明: 是“H数列”; (2)设 是等差数列,其首项,公差.若 是“H数列”,求的值； (3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得 (N)成立. 三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】 21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D． 　 【选修4-2：矩阵与变换】 22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值． 　 【选修4-3：极坐标及参数方程】 23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长． 　 【选修4-4：不等式选讲】 24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy． 　 (二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分） 25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P； （2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）． 　 26．（10分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*． （1）求2f1（）+f2（）的值； （2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立． 2014年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=　{﹣1，3}　． 考点： 交集及其运算．菁优网版权所有 专题： 集合． 分析： 根据集合的基本运算即可得到结论． 解答： 解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}， ∴A∩B={﹣1，3}， 故答案为：{﹣1，3} 点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　 2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为　21　． 考点： 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 根据复数的有关概念，即可得到结论． 解答： 解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i， 故z的实部为21， 故答案为：21 点评： 本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础． 　 3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是　5　． 考点： 程序框图．菁优网版权所有 专题： 算法和程序框图． 分析： 算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案． 解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值， ∵24=16＜20，25=32＞20， ∴输出n=5． 故答案为：5． 点评： 本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 　 4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是　　． 考点： 古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 专题： 概率与统计． 分析： 首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可． 解答： 解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个， 所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个， 故所求概率P=． 故答案为：． 点评： 本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件． 　 5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是　　． 考点： 三角方程；函数的零点．菁优网版权所有 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析： 由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出． 解答： 解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点， ∴=． ∵0≤φ＜π，∴， ∴+φ=， 解得φ=． 故答案为：． 点评： 本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题． 　 6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有　24　株树木的底部周长小于100cm． 考点： 频率分布直方图．菁优网版权所有 专题： 概率与统计． 分析： 根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数． 解答： 解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4， ∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）． 故答案为：24． 点评： 本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=． 　 7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是　4　． 考点： 等比数列的通项公式．菁优网版权所有 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 利用等比数列的通项公式即可得出． 解答： 解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0． ∵a8=a6+2a4， ∴， 化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2． ∴a6===1×22=4． 故答案为：4． 点评： 本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题． 　 8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是　　． 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有 专题： 立体几何． 分析： 设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比． 解答： 解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h； ∵=， ∴，它们的侧面积相等， ∴， ∴===． 故答案为：． 点评： 本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目． 　 9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为　　． 考点： 直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 专题： 直线与圆． 分析： 求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长． 解答： 解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2， ∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==， ∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2= 故答案为：． 点评： 本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题． 　 10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　（﹣，0）　． 考点： 二次函数的性质．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由条件利用二次函数的性质可得 ，由此求得m的范围． 解答： 解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上， 对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴， 即 ，解得﹣＜m＜0， 故答案为：（﹣，0）． 点评： 本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题． 　 11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是　﹣3　． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 专题： 导数的概念及应用． 分析： 由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案． 解答： 解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=， 曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行， ∴y′=2ax﹣， ∴， 解得：， 故a+b=﹣3， 故答案为：﹣3 点评： 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键． 　 12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是　22　． 考点： 向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题： 平面向量及应用． 分析： 由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案． 解答： 解：∵=3， ∴=+，=﹣， 又∵AB=8，AD=5， ∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2， 故•=22， 故答案为：22． 点评： 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键． 　 13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是　（0，）　． 考点： 根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： 在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可． 解答： 解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知． 故答案为：（0，）． 点评： 本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用． 　 14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是　　． 考点： 余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有 专题： 三角函数的图像与性质；解三角形． 分析： 根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论． 解答： 解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b）， 由余弦定理得cosC=== =≥=， 当且仅当时，取等号， 故≤cosC＜1，故cosC的最小值是． 故答案为：． 点评： 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键． 　 二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=． （1）求sin（+α）的值； （2）求cos（﹣2α）的值． 考点： 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析： （1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值； （2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值． 解答： 解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣= （1）sin（+α）=sincosα+cossinα==﹣； ∴sin（+α）的值为：﹣． （2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣ ∴cos（﹣2α）=coscos2α+sinsin2α==﹣． cos（﹣2α）的值为：﹣． 点评： 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力． 　 16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC． 考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有 专题： 空间位置关系与距离；空间角；立体几何． 分析： （1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF； （2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可． 解答： 证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA， 又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， ∴PA∥平面DEF； （2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3； 又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4； ∴DE2+EF2=DF2， ∴∠DEF=90°， ∴DE⊥EF； ∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC； ∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC； ∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC． 点评： 本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目． 　 17．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C． （1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程； （2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值． 考点： 椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．菁优网版权所有 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值． （2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值． 解答： 解：（1）∵C的坐标为（，）， ∴，即， ∵， ∴a2=（）2=2，即b2=1， 则椭圆的方程为+y2=1． （2）设F1（﹣c，0），F2（c，0）， ∵B（0，b）， ∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0， 解得x=0，或x=， ∵A（，），且A，C关于x轴对称， ∴C（，﹣）， 则=﹣=， ∵F1C⊥AB， ∴×（）=﹣1， 由b2=a2﹣c2得， 即e=． 点评： 本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大． 　 18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=． （1）求新桥BC的长； （2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 考点： 圆的切线方程；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 专题： 直线与圆． 分析： （1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案； （2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大． 解答： 解：（1）如图， 过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F， ∵∠ABC=90°，∠BEC=90°， ∴∠ABF=∠BCE， ∴． 设AF=4x（m），则BF=3x（m）． ∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°， ∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m）， ∴BE=（3x+60）m． ∵， ∴CE=（m）． ∴（m）． ∴， 解得：x=20． ∴BE=120m，CE=90m， 则BC=150m； （2）如图， 设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P， ∵∠POM=∠PQC=90°， ∴∠PMO=∠BCO． 设OM=xm，则OP=m，PM=m． ∴PC=m，PQ=m． 设⊙M半径为R， ∴R=MQ=m=m． ∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m， 则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80， ∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80． 解得：10≤x≤35． ∴当且仅当x=10时R取到最大值． ∴OM=10m时，保护区面积最大． 点评： 本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题． 　 19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数． （1）证明：f（x）是R上的偶函数； （2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围； （3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有 专题： 导数的综合应用． 分析： （1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数； （2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围； （3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论． 解答： 解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x， ∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数； （2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立， 即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1， ∵x＞0， ∴ex+e﹣x﹣1＞0， 即m≤在（0，+∞）上恒成立， 设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立， ∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立， ∴m． （3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x）， 则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1）， 当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增， 故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a， 由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立， 故e+﹣2a＜0， 即a＞（e+）， 令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1， 则h′（x）=1﹣， 由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1， 当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减， 当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增， ∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1）， 注意到h（1）=h（e）=0， ∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0， 当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0， ∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立． ①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1， ②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1， ③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1． 点评： 本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大． 　 20．（16分）（2014•江苏）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”． （1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”； （2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值； （3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立． 考点： 数列的应用；等差数列的性质．菁优网版权所有 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出． （2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出； （3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出． 解答： 解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1， 当n=1时，a1=S1=2． 当n=1时，S1=a1． 当n≥2时，Sn=an+1． ∴数列{an}是“H”数列． （2）Sn==， 对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即， 取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得， ∵d＜0，∴m＜2， 又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1． （3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1， 对∀n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1， cn=（n﹣1）（a1+d）， 对∀n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d， 则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列． 数列{bn}的前n项和Tn=， 令Tn=（2﹣m）a1，则． 当n=1时，m=1；当n=2时，m=1． 当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*． 因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列． 数列{cn}的前n项和Rn=， 令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m=． ∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*． 因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列． 因此命题得证． 点评： 本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题． 　 三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】 21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D． 考点： 弦切角．菁优网版权所有 专题： 直线与圆． 分析： 利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论． 解答： 证明：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠B， ∵∠B=∠D， ∴∠OCB=∠D． 点评： 本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 　 【选修4-2：矩阵与变换】 22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值． 考点： 矩阵与向量乘法的意义．菁优网版权所有 专题： 矩阵和变换． 分析： 利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值． 解答： 解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B， ∴， ∴x=﹣，y=4， ∴x+y= 点评： 本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 【选修4-3：极坐标及参数方程】 23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长． 考点： 直线的参数方程．菁优网版权所有 专题： 计算题；坐标系和参数方程． 分析： 直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长． 解答： 解：直线l的参数方程为，化为普通方程为x+y=3， 与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0， ∴交点A（1，2），B（9，﹣6）， ∴|AB|==8． 点评： 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 【选修4-4：不等式选讲】 24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy． 考点： 不等式的证明．菁优网版权所有 专题： 证明题；不等式的解法及应用． 分析： 由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论． 解答： 证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥ 分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立， ∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy． 点评： 本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键． 　 (二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分） 25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P； （2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）． 考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 专题： 概率与统计． 分析： （1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可； （2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可． 解答： 解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况 ∴取出的2个球颜色相同的概率P=． （2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）= 于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=， X的概率分布列为 X 2 3 4 P 故X数学期望E（X）=． 点评： 本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题． 　 26．（10分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*． （1）求2f1（）+f2（）的值； （2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立． 考点： 三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用；三角函数的求值． 分析： （1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值； （2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证． 解答： 解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx， 则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′， ∵fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*， ∴f0（x）+xf1（x）=cosx， 两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx， 将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=﹣1， （2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+）， 恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π）， 再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+）， 同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π）， 猜想得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立， 下面用数学归纳法进行证明等式成立： ①当n=1时，成立，则上式成立； ②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即， ∵[kfk﹣1（x）+xfk（x）]′=kfk﹣1′（x）+fk（x）+xfk′（x） =（k+1）fk（x）+xfk+1（x） 又 ===， ∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时．等式也成立， 由①②得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立， 令x=代入上式得，nfn﹣1（）+fn（）=sin（+）=±cos=±， 所以，对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立． 点评： 本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．