2014年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）.doc

绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1． 函数的最小正周期是　　　　　. 2. 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________. 3. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 4. 设若，则的取值范围为_____________. 5. 若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________. 6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 7. 已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是 . 8. 设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= . 9. 若，则满足的取值范围是 . 10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）. 11. 已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则= . 12. 设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则 . 13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为 . 14. 已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 . 二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 15. 设,则“”是“”的（ ） （A） 充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ） （A）1 (B)2 (C)4 (D)8 17. 已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ） （A） 无论k，如何，总是无解 （B)无论k，如何，总有唯一解 （C）存在k，，使之恰有两解 （D）存在k，，使之有无穷多解 18. 若是的最小值，则的取值范围为（ ）. (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) 三．解答题（本大题共5题，满分74分） 19、（本题满分12分） 底面边长为2的正三棱锥,其表面学科网展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积. zxxk 20. （本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。 设常数，函数 （1） 若=4，求函数的反函数； （2） 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由. 21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为. （1） 设计中是铅垂方向，若要求zxxk，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2） 施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在学科网实测得求的长（结果精确到0.01米）？ 22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔。若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线. ⑴ 求证：点被直线分隔； ⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围； ⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线. 23. （本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列满足. （1） 若，求的取值范围； （2） 若是公比为等比数列，，zxxk求的取值范围； （3） 若成等差数列，且，学科网求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差. 上海数学（理）参考答案 一、 1. 2. 6 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.-1 12. 13. 14. 二、 15.B 16.A 17.B 18.D 19.解：∵由题得，三棱锥是正三棱锥 ∴侧棱与底边所成角相同且底面是边长为2的正三角形 ∴由题得，， 又∵三点恰好在构成的的三条边上 ∴ ∴ ∴，三棱锥是边长为2的正四面体 ∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于 ∴为中点，为的重心，底面 ∴，， 20. 解：（1）由题得， ∴， （2） ∵且 ∴①当时，， ∴对任意的都有，∴为偶函数 ②当时，，， ∴对任意的且都有，∴为奇函数 ③当且时，定义域为， ∴定义域不关于原定对称，∴为非奇非偶函数 21. 解：（1）由题得，∵，且， 即，解得，，∴米 （2） 由题得，， ∵，∴米 ∵，∴米 22. 证明：（1）由题得，，∴被直线分隔。 解：（2）由题得，直线与曲线无交点 即无解 ∴或，∴ 证明：（理科）（3）由题得，设，∴， 化简得，点的轨迹方程为。 ①当过原点的直线斜率存在时，设方程为。 联立方程，。 令，，显然是开口朝上的二次函数 ∴由二次函数与幂函数的图像可得，必定有解，不符合题意，舍去 ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为。 显然与曲线没有交点，在曲线上找两点。 ∴，符合题意 综上所述，仅存在一条直线是的分割线。 证明：（文科）（3）由题得，设，∴， 化简得，点的轨迹方程为。 显然与曲线没有交点，在曲线上找两点。 ∴，符合题意。∴是的分割线。 23. 解：（1）由题得， （理科）（2）由题得，∵，且数列是等比数列，， ∴，∴，∴。 又∵，∴当时，对恒成立，满足题意。 当时， ∴①当时，，由单调性可得，，解得， ②当时，，由单调性可得，，解得， （理科）（3）由题得，∵，且数列成等差数列，， ∴，∴，∴ 又∵，∴ ∴，∴，解得，， ∴的最大值为1999，此时公差为 2014年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷(理工农医类) 考生注意： 1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. （2014）函数的最小正周期是 . 【解析】：原式＝， 2. （2014）若复数，其中是虚数单位，则 . 【解析】：原式＝ 3. （2014）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 . 【解析】：椭圆右焦点为，即抛物线焦点，所以准线方程 4. （2014）设 若，则的取值范围为 . 【解析】：根据题意，，∴ 5. （2014）若实数满足，则的最小值为 . 【解析】： 6. （2014）若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【解析】：设圆锥母线长为，底面圆半径为，∵，∴，即，∴，即母线与底面夹角大小为 7. （2014）已知曲线的极坐标方程为，则与极轴的交点到极点的距离是 . 【解析】：曲线的直角坐标方程为，与轴的交点为，到原点距离为 8. （2014）设无穷等比数列的公比为，若，则 . 【解析】：，∵，∴ 9. （2014）若，则满足的的取值范围是 . 【解析】：，结合幂函数图像，如下图，可得的取值范围是 10. （2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则 选择的天恰好为连续天的概率是 （结果用最简分数表示）. 【解析】： 11. （2014）已知互异的复数满足，集合，则 . 【解析】：第一种情况：，∵，∴，与已知条件矛盾，不符； 第二种情况：，∴，∴，即； 12. （2014）设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则 . 【解析】：化简得，根据下图，当且仅当时，恰有三个交点， 即 13. （2014）某游戏的得分为，随机变量表示小白玩该游戏的得分. 若，则小白得分的概率至少为 . 【解析】：设得分的概率为，∴， 且，∴，与前式相减得： ，∵，∴，即 14. （2014）已知曲线，直线. 若对于点，存在上的点和 上的使得，则的取值范围为 . 【解析】：根据题意，是中点，即，∵，∴ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. （2014）设，则“”是“且”的 （ ） (A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要条件. 【解析】：B 16. （2014）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱， 是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为 （ ） (A) . (B) . (C) . (D) . 【解析】：根据向量数量积的几何意义，等于乘以在方向上的投影，而在方向上的投影是定值，也是定值，∴为定值，∴选A 17. （2014）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于 和的方程组的解的情况是 （ ） (A) 无论如何，总是无解. (B) 无论如何，总有唯一解. (C) 存在，使之恰有两解. (D) 存在，使之有无穷多解. 【解析】：由已知条件，， ，∴有唯一解，选B 18. （2014）设 若是的最小值，则的取值范围为（ ） (A) . (B) . (C) . (D) . 【解析】：先分析的情况，是一个对称轴为的二次函数，当时， ，不符合题意，排除AB选项；当时，根据图像，即符合题意，排除C选项；∴选D； 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. （2014）(本题满分12分) 底面边长为的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图. 求的各边长及此三棱锥的体积. 【解析】：根据题意可得共线， ∵，， ∴，∴，同理， ∴△是等边三角形，是正四面体，所以△边长为4； ∴ 20.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 设常数，函数. (1) 若，求函数的反函数； (2) 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由. 【解析】：（1）∵，∴，∴，∴， ∴， （2）若为偶函数，则，∴， 整理得，∴，此时为偶函数 若为奇函数，则，∴， 整理得，∵，∴，此时为奇函数 当时，此时既非奇函数也非偶函数 21.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长米. 设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为和. (1) 设计中是铅垂方向. 若要求，问的长至多为多少（结果精确到米）？ (2) 施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，，求的长（结果精确到米）. 【解析】：（1）设的长为米，则，∵， ∴，∴，∴， 解得，∴的长至多为米 （2）设，， 则，解得， ∴，∴的长为米 22. （2014）(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在平面直角坐标系中，对于直线和点，记. 若，则称点被直线分割. 若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分割，则称直线为曲线的一条分割线. (1) 求证：点被直线分割； (2) 若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围； (3) 动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线. 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线. 【解析】：（1）将分别代入，得 ∴点被直线分割 （2）联立，得，依题意，方程无解， ∴，∴或 （3）设，则， ∴曲线的方程为 ① 当斜率不存在时，直线，显然与方程①联立无解， 又为上两点，且代入，有， ∴是一条分割线； 当斜率存在时，设直线为，代入方程得：， 令，则， ，， 当时，，∴，即在之间存在实根， ∴与曲线有公共点 当时，，即在之间存在实根， ∴与曲线有公共点 ∴直线与曲线始终有公共点，∴不是分割线， 综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线 23. （2014）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分. 已知数列满足，，. (1) 若，求的取值范围； (2) 设是公比为的等比数列，. 若，， 求的取值范围； (3) 若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及 取最大值时相应数列的公差. 【解析】：（1）依题意，，∴，又，∴， 综上可得； （2）由已知得，又，∴ 当时，，，即，成立 当时，，，即， ∴，此不等式即，∵， ∴， 对于不等式，令，得，解得， 又当时，， ∴成立， ∴ 当时，，，即， 即， ∵ ∴时，不等式恒成立 综上，的取值范围为 （3）设公差为，显然，当时，是一组符合题意的解， ∴，则由已知得， ∴，当时，不等式即， ∴，， ∴时，， 解得，∴， ∴的最大值为，此时公差