2014年浙江高考数学(理科)试卷(含答案).doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数 学（理科） 一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，,则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( ) A. 90 B. 129 C. 132 D. 138 4. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ） A. 向右平移 个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 5.在的展开式中,记项的系数，则= （ ） A. 45 B. 60 C. 120 D. 210 6. 已知函数 ，且（ ） A. B. C. D. 7. 在同一直角坐标系中，函数， 的图像可能是（ ） 8. 记，，设为平面向量，则（ ） A． B. C. D. 9. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中. （a）放入 个球后，甲盒中含有红球的个数记为； （b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为. 则 ( ) A. B. C. D. 10. 设函数，，，， ，记， 则 ( ) A. B. C. D. 二. 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11. 若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________. 12. 随机变量的取值为0,1,2，若，，则=________. 13.当实数满足时，恒成立，则实数的取值范围是________. 14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）. 15.设函数若，则实数的取值范围是______ 16.设直线() 与双曲线（）两条渐近线分别交于点A，B.若点满足,则该双曲线的离心率是__________ 17、如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小.若 ，，,则的最大值是 (仰角 为直线AP与平面ABC所成角) 三. 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.（本题满分14分） 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 （Ⅰ）求角C的大小；  （Ⅱ）若 ，求△ABC的面积．  19.（本题满分14分） 已知数列和满足.若为等比数列，且 (Ⅰ) 求与 ； (Ⅱ) 设.记数列的前项和为, （i）求； （ii）求正整数，使得对任意均有. 20.（本题满分15分） 如图，在四棱锥中，平面^平面 ,，,,. (Ⅰ) 证明：^平面; (Ⅱ) 求二面角的大小. 21(本题满分15分) 如图，设椭圆C:动直线与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限. (Ⅰ) 已知直线的斜率为，用表示点P的坐标； (Ⅱ) 若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为. 22. （本题满分14分） 已知函数 (Ⅰ) 若在上的最大值和最小值分别记为，求； (Ⅱ) 设若对恒成立，求的取值范围. 2014年高考浙江理科数学试题参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【解析】=， 【答案】B 2.【解析】当时，，反之， 即 ，则 解得 或 【答案】A 3.【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为： . 【答案】D 4.【解析】= 而= 由 ，即 故只需将的图象向右平移 个单位. 故选C 【答案】C 5.【解析】令 ，由题意知即为 展开式中 的系数，故=，故选C 【答案】C 6.【解析】由得 解得 ，所以 ,由 得 ，即，故选C 【答案】C 7.【解析】函数，分别的幂函数与对数函数 答案A中没有幂函数的图像, 不符合；答案B中，中 ，中 ，不符合；答案C中，中，中，不符合；答案D中，中，中，符合. 故选D 【答案】D 8.【解析】由向量运算的平行四边形法可知与的大小不确定，平行四边形法可知所对的角大于或等于 ，由余弦定理知， （或）. 【答案】D 9.【解析1】 ， = ∴－= ， 故 又∵ ， ∴ 又 ∴ = =－= 所以 ，故选A 【答案】A 【解析2】：在解法1中取 ，计算后再比较。 10.【解析】由 ， 故 由 故 = 故 ，故选B 【答案】B 【解析2】估算法： 的几何意义为将区间 等分为99个小区间，每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和.如图为将函数 的区间 等分为4个小区间的情形，因 在上递增，此时 =，同理对题中给出的 同样有 ； 而略小于 ，略小于 ，所以估算得 【答案】B 三. 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11.【解析】第一次运行结果 第二次运行结果 第三次运行结果 第四次运行结果 第五次运行结果 x 0 1 2 P 此时 ，∴输出 ，【答案】6 12.【解析】设 时的概率为，的分布列为 由 ，解得 x 0 1 2 P 的分布列为即为 故 . 【答案】 13.【解析】作出不等式组所表示的区域如图，由恒成立，故 三点坐标代入，均成立得 解得 ，∴实数的取值范围是 ， 【答案】 【解析2】作出不等式组所表示的区域如图，由得，由图分析可知， 且在 点取得最小值，在 取得最大值，故 得，故实数的取值范围是 ， 【答案】 14.【解析1】不同的获奖分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张奖券，共有 二是有三人各获得一张奖券，共有 ，因此不同的获奖情况共有 种 【解析2】将一、二、三等奖各1张分给4个人有 种分法，其中三张奖券都分给一个人的有4种分法，因此不同的获奖情况共有64－4=60种. 【答案】60 15.【解析】由题意 或 ，解得 ∴当 或 解得 【答案】 16.【解析1】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为 和 ，分别与直线： 联立方程组，解得，,，设AB中点为，由 得，则 即 ，PQ与已知直线垂直， ∴ ，即 即得 ，即，即 ，所以 【解析2】不妨设 ，渐近线方程为即 由 消去 得 设AB中点为，由韦达定理得：……① ， 又 ，由得 即得得 代入①得 得 ，所以 ，所以 ，得 【答案】 17.【解析1】：∵AB=15cm，AC=25cm，∠ABC=90°，∴BC=20cm， 过P作PP′⊥BC，交BC于P′， 1°当P在线段BC上时，连接AP′，则 设BP′=x，则CP′=20-x，（ ） 由∠BCM=30°，得 在直角△ABP′中， ∴ 令，则函数在x∈[0，20]单调递减， ∴x=0时， 取得最大值为 2°当P在线段CB的延长线上时，连接AP′，则 设BP′=x，则CP′=20+x，（ ） 由∠BCM=30°，得 在直角△ABP′中， ∴， 令，则， 所以，当 时 ；当 时 所以当 时 此时时， 取得最大值为 综合1°，2°可知 取得最大值为 【解析2】：如图以B为原点，BA、BC所在的直线分别为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB=15cm，AC=25cm，∠ABC=90°，∴BC=20cm，由∠BCM=30°，可设 （其中 ）， ，，所以 设()， 所以，当 时 ；当 时 所以当 时 所以 取得最大值为 【解析3】:分析知，当 取得最大时，即最大，最大值即为平面ACM与地面ABC所成的锐二面角的度量值， 如图，过B在面BCM内作BD^BC交CM于D，过B作BH^AC于H，连DH，则ÐBHD即为平面ACM与地面ABC所成的二面角的平面角， 的最大值即为 ，在 中， 由等面积法可得=12， 所以 = 三. 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.【解析】：（Ⅰ）由题得 ， 即 由 得 ，又 ，得 即 ，所以 （Ⅱ），， ，得 由 得 ，从而 故 = 所以，△ABC的面积为 19.【解析】：（Ⅰ）∵ ①， 当n≥2，n∈N*时，②， 由①¸②知：当 时， ，令n=3，则有 ∵b3=6+b2， ∴a3=8． ∵{an}为等比数列，且a1=2，∴{an}的公比为q，则 由题意知an＞0，∴q＞0，∴q=2． ∴an＝2n（n∈N*）． 又由，得： 即 ∴bn=n（n+1）（n∈N*）． （Ⅱ）（i）∵ ∴ = = = = （ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0； 当n≥5时， 而 ，得 所以，当n≥5时，cn＜0， 综上，对任意n∈N*恒有 ，故k=4． 20.证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC= ， 由 ，AB=2得 ，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE， 从而AC⊥平面BCDE， 所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而 DE⊥平面ACD； (Ⅱ)【方法1】 作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AB交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC， 又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而 BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得 AC⊥CD． 在Rt△ACD中，由DC=2, ，得 ； 在Rt△AED中，由ED=1，得 ； 在Rt△ABD中，由 ，AB=2， 得 ， ，从而 ， 在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得 ， ． 在△BFG中, ， 所以，∠BFG= ，即二面角B-AD-E的大小为 . 【方法2】以D的原点，分别以射线DE，DC为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示. 由题意知各点坐标如下： ， ， ， ， . 设平面ADE的法向量为 平面ABD的法向量为，可算得： ， ， 由 即 ，可取 由即可取 于是 由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B-AD-E的大小为 21.【解析】：（Ⅰ）【方法1】设直线l的方程为 ，由 ，消去y得 由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即，解得点P的坐标为 又点P在第一象限，故点P的坐标为 【方法2】作变换 ，则椭圆C：变为圆 ： 切点 变为点 ，切线（ 变为 . 在圆 中设直线 的方程为（ ） ， 由 解得 即 ，由于 ， 所以 ，得 ， 即 代入得 即， 利用逆变换代入即得： （Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离 整理得: 因为，所以 当且仅当 时等号成立． 所以，点P到直线 的距离的最大值为 ． 23.【解析】：（Ⅰ）∵ , ∴，由于 （ⅰ）当 时，有 ，故 此时，f（x）在上是增函数，因此 ， ， 故 （ⅱ）当时，若x∈（a，1），，在（a，1）上是增函数；若x∈（-1，a），，在（-1，a）上是减函数， ∴ ， 由于 ，因此 当 时， ； 当 时，； （ⅲ）当时，有，故， 此时 在上是减函数， 因此，， 故； 综上， （Ⅱ）令，则 ， 因为[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立， 即对x∈[-1，1]恒成立， 所以由（Ⅰ）知， （ⅰ）当时，在上是增函数， 在上的最大值是，最小值，则且矛盾； （ⅱ）当 时，在上的最小值是，最大值是，所以且，从而 且 令，则，∴ 在 上是增函数， 故， 因此 （ⅲ）当 时，在上的最小值是，最大值是，所以由且，解得 (ⅳ)当时，在上的最大值是，最小值是， 所以由且，解得3a+b=0． 综上， 的取值范围是.