2010年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）（www.ximiyu.com）.doc

绝密★启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．已知集合A={1,3,m}，B={3,4}，A⋃B={1,2,3,4}，则m=_______________． 2．不等式的解集是_______________． 3．行列式的值是_______________． 4．若复数z=1-2i（i为虚数单位），则=_______________． 5．将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5:3:2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取_______________个个体． 6．已知四棱锥P—ABCD的底面是边长为6的正方体，侧棱PA^底面ABCD，且PA=8，则该四棱锥的体积是_______________． 7．圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=_______________． 8．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等， 则点P的轨迹方程为_________． 9．函数f(x)=log3(x+3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是_____． 10．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为____________（结果用最简分数表示）． 开始 T←9,S←0 输出T,S T≤19 T←T+1 输入a 结束 否 是 11．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________． 12．在n行n列矩阵中， 记位于第i行第j列的数为aij(i,j=1,2,···,n)． 当n=9时，a11+a22+a33+···+a99=_______________． 13．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若(a、bÎR)，则a、b满足的一个等式是_______________． 14．将直线l1:x+y-1=0、l2:nx+y-n=0、l3:x+ny-n=0(nÎN*,n≥2)围成的三角形面积记为Sn， 则=_______________． 二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．满足线性约束条件的目标函数z=x+y的最大值是 （ ） A．1 B． C．2 D．3 16．“(kÎZ)”是“tanx=1”成立的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．若x0是方程lgx+x=2的解，则x0属于区间 （ ） A．(0,1) B．(1,1.25) C．(1.25,1.75) D．(1.75,2) 18．若DABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13，则DABC （ ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分） 已知，化简：． 20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分． 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）． (1) 当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）； (2) 若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）． 21．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85,nÎN*． (1) 证明：{an-1}是等比数列； (2) 求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn+1>Sn成立的最小正整数n． 22．（本题满分16分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分． 若实数x、y、m满足|x-m|<|y-m|，则称x比y接近m． (1) 若x2-1比3接近0，求x的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近； (3) 已知函数f(x)的定义域D={x|x≠kp,kÎZ,xÎR}．任取xÎD，f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明） 23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆Γ的方程为，A(0,b)、B(0,-b)和Q(a,0)为Γ的三个顶点． (1) 若点M满足，求点M的坐标； (2) 设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若， 证明：E为CD的中点； (3) 设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足？令a=10，b=5，点P的坐标是(-8,-1)．若椭圆Γ上的点P1、P2满足，求点P1、P2的坐标． 2010年高考数学（理科）上海试题 2010-6-7 班级_____，学号_____，姓名_____________ 一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．不等式的解集是_______________． 2．若复数z=1-2i（i为虚数单位），则=_______________． 3．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为_________． 4．行列式的值是_______________． 5．圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=_______________． 开始 T←9,S←0 输出T,S T≤19 T←T+1 输入a 结束 否 是 6．随机变量的概率分布由下表给出： 7 8 9 10 x 0.3 P(=x) 0.2 0.35 0.15 则该随机变量的均值是_______________． 7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_______________． 8．对于不等于1的正数a，函数f(x)=loga(x+3)的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标为_______________． 9．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率______________(结果用最简分数表示)． 10．在n行n列矩阵中aij(i,j=1,2,···,n)．当n=9时，a11+a22+a33+···+a99=_______________． A B C D O 11．将直线l1：nx+y-n=0、l2：x+ny-n=0(nÎN*)、x轴、y轴围成的封闭区域的面积记为Sn， 则=_______________． 12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD 相交于点O，剪去DAOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A(B)、C、D、O为顶点的四面体的体积是_______________． x O y E1 E2 13．如图所示，直线与双曲线的渐近线交于、两点，记，，任取双曲线上的点P，若， 则a、b满足的一个等式是_______________． 14．从集合的子集中选出4个不同的子集， 需同时满足以下两个条件： (1) 都要选出；(2)对选出的任意两个子集A和B，必有或． 那么，共有___________种不同的选择． 二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．“(kÎZ)”是“tanx=1”成立的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．直线l的参数方程是，则l的方向向量可以是 （ ） A．(1,2) B．(2,1) C．(-2,1) D．(1,-2) 17．若x0是方程的解，则x0属于区间 （ ） A． B． C． D． 18．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是、、，则此人将 （ ） A．不能作出满足要求的三角形 B．作出一个锐角三角形 C．作出一个直角三角形 D．作出一个钝角三角形 三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分） 已知，化简：． 20．（本题满分13分）第1小题满分5分，第2小题满分8分． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85,nÎN*． (1) 证明：{an-1}是等比数列； (2) 求数列{Sn}的通项公式，并指出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由． A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 21．（本题满分14分）第1小题满分5分，第2小题满分8分． 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）． (1) 当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）； (2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 22．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分． 若实数x、y、m满足|x-m|﹥|y-m|，则称x比y远离m． (1) 若x2-1比1远离0，求x的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离； (3) 已知函数f(x)的定义域．任取xÎD，f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明） 23．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 已知椭圆的方程为，点P的坐标为(-a,b)． (1) 若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)、B(a,0)满足，求点M的坐标； (2) 设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若， 证明：E为CD的中点； (3) 对于椭圆Γ上的点Q(acosq ,bsinq )(0<q <p)，如果椭圆Γ上存在不同的两点P1、P2使，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的q 的取值范围． 文科参考答案 一、填空题 1．2； 2．(-4,2)； 3．0.5； 4．6-2i； 5．20； 6．96； 7．3； 8．y2=8x； 9．(0,-2)； 10．； 11．S←S+a； 12．45； 13．4ab=1； 14．． 二、选择题 15．C； 16．A； 17．C； 18．C． 三、解答题 19．原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0． 20．(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0<r<0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p， 所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米； (2) 当r=0.3时，l=0.6，作三视图略． 21．(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以， 又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列； (2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)； 由Sn+1>Sn，得，，最小正整数n=15． 22．(1) xÎ(-2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，， 因为， 所以，即a2b+ab2比a3+b3接近； (3) ,kÎZ， f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0， 函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ． 23．(1) ； (2) 由方程组，消y得方程， 因为直线交椭圆于、两点， 所以D>0，即， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， 则， 由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p， 又因为，所以， 故E为CD的中点； (3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程． ，直线OF的斜率，直线l的斜率， 解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)． 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（文科） 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1.已知集合，，则 2 。 解析：考查并集的概念，显然m=2 2.不等式的解集是 。 解析：考查分式不等式的解法等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<2 3.行列式的值是 0.5 。 解析：考查行列式运算法则= 4.若复数（为虚数单位），则 。 解析：考查复数基本运算 5.将一个总数为、 、三层，其个体数之比为5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从中抽取 20 个个体。 解析：考查分层抽样应从中抽取 6.已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 96 。 解析：考查棱锥体积公式 7.圆的圆心到直线的距离 3 。 解析：考查点到直线距离公式 圆心（1,2）到直线距离为 8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 y2=8x 。 解析：考查抛物线定义及标准方程 定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x 9.函数的反函数的图像与轴的交点坐标是 (0,-2) 。 解析：考查反函数相关概念、性质 法一：函数的反函数为，另x=0，有y=-2 法二：函数图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数的反函数的图像与轴的交点为（0，-2） 10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率 为 （结果用最简分数表示）。 解析：考查等可能事件概率 “抽出的2张均为红桃”的概率为 11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 S←S+a 。 解析：考查算法 12.在行列矩阵中， 记位于第行第列的数为。当时， 45 。 解析：1+3+5+7+9+2+4+6+8=45 13.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是 4ab=1 。 解析：因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又 双曲线方程为，=， ，化简得4ab=1 14.将直线、、（，）围成的三角形面积记为，则 。 解析：B 所以BO⊥AC， = 所以 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。 15.满足线性约束条件的目标函数的最大值是 [答]（ ） （A）1. （B）. （C）2. （D）3. 解析：当直线过点B(1,1)时，z最大值为2 16.“”是“”成立的 [答]（ ） （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件. 解析：，所以充分；但反之不成立，如 17.若是方程式 的解，则属于区间 [答]（ ） （A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2） 解析： 知属于区间（1.75，2） 18.若△的三个内角满足，则△ （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形. （C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C为钝角 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。 19.（本题满分12分） 已知，化简： . 解析：原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0． 20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）; (2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出 用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0<r<0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p， 所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米； (2) 当r=0.3时，l=0.6，作三视图略． 21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。 已知数列的前项和为，且， (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数. 解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以， 又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列； (2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)； 由Sn+1>Sn，得，，最小正整数n=15． 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。 若实数、、满足，则称比接近. （1）若比3接近0，求的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近； （3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）. 解析：(1) xÎ(-2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，， 因为， 所以，即a2b+ab2比a3+b3接近； (3) ,kÎZ， f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0， 函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ． 23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点. （1）若点满足，求点的坐标； （2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点； （3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标. 解析：(1) ； (2) 由方程组，消y得方程， 因为直线交椭圆于、两点， 所以D>0，即， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， 则， 由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p， 又因为，所以， 故E为CD的中点； (3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程． ，直线OF的斜率，直线l的斜率， 解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)．