2021年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）.doc

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 数学（文） 一､选择题 1.已知全集，集合，，则（ ) A. B. C. D. 2.设，则（ ） A. B. C. D. 3.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 答案： A 解析： 根据正弦函数的值域，，故，为真命题，而函数为偶函数，且时，，故，恒成立.则也为真命题，所以为真，选A. 4.函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A.和 B.和 C.和 D.和 答案： C 解析： ，. 故选C. 5.若满足约束条件则的最小值为（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： 根据约束条件可得图像如下，的最小值，即，轴截距最小值.根据图像可知过点时满足题意，即. 6.（ ） A. B. C. D. 答案： D 解析： ∴选D. 7.在区间随机取个数，则取到的数小于的概率为（ ） A. B. C. D. 答案： B 解析： 在区间随机取个数，可知总长度，取到的数小于，可知取到的长度范围，根据几何概型公式，∴选B. 8.下列函数中最小值为的是（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： 对于A，.不符合， 对于B，，令，∴， 根据对勾函数不符合， 对于C，，令， ∴， 当且仅当时取等，符合， 对于D，，令，. 根据对勾函数，不符合. 9.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 答案： B 解析： ， 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到为奇函数. 所以选B. 10.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为 A. B. C. D. 答案： D 解析： 做出图形，，所以为异面直线所成角，设棱长为. ，，，. ，即，故选D. 11.设是椭圆:的上顶点，点在上，则的最大值为 A. B. C. D. 答案： A 解析： 方法一：由， 则的参数方程：. . ∴，故选A. 方法二：设，则①，. 因此② 将①式代入②式化简得： ，当且仅当时的最大值为，故选A. 12.设，若为函数的极大值点，则 A. B. C. D. 答案： D 解析： 当时，原函数先增再减后增. 原函数在的较小零点时取得极大值. 即，即，∴. 当时，原函数先减再增后减. 原函数在的较大零点时取得极大值. 即，，，故选D. 二、填空题 13.已知向量，，若，则 . 答案： 解析： 由已知可得. 14.双曲线的右焦点到直线的距离为 . 答案： 解析： 的右焦点为，到直线的距离. 15.记的内角，，的对边分别为，，，面积为， ,，则 . 答案： 解析： 由面积公式，且，解得， 又由余弦定理，，且 解得. 16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）. 答案： ②⑤或③④ 解析： 由高度可知，侧视图只能为②或③. 侧视图为②，如图（1），平面平面，，，，俯视图为⑤. 俯视图为③，如图（2），平面，，，，俯视图为④. 17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和. （1）求，，，； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 答案： 见解析 解析： ； . . （2） . ∵则，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高； 没有显著提高. 18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且. （1）证明：平面平面﹔ （2）若，求四棱锥的体积. 答案： 见解析 解析： 19.设是首项为的等比数列，数列满足.已知，，，成等差数列. （1）求和的通项公式； （2）记，和分别为和的前项和.证明：. 答案： 见解析 解析： 设的公比为，则， 因为，，成等差数列，所以，解得， 故，. 又，则， 两边同乘，则， 两式相减，得， 即， 整理得， ， 故. 20.已知抛物线：的焦点到准线的距离为. （1）求的方程， （2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值. 答案： 见解析 解析： （1）由焦点到准线的距离为，则. 抛物线的方程：. （2）设点，，. ∵. ∴ 则. ∴直线斜率的最大值为. 21.已知函数. （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标. 答案： 见解析 解析： （1） （i）当，即时，恒成立，即在在上单调递增. （ii）当，即时，解得，，. ∴在，单调递增，在单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减. （2）设可原点切线的切点为，切线斜率.又，可得.化简得，即.∴切点为，斜率，切线方程为，将，联立可得，化简得，解得，.∴过原点的切线与公共点坐标为，. 22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为. （1）写出的一个参数方程; （2）过点作的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程. 答案： 见解析 解析： （1）的参数方程为（为参数） （2）的方程为 ①当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线距离为，舍去； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，化简为， 此时圆心到直线的距离为， 化简得， 两边平方有，所以 代入直线方程并化简得或化为极坐标方程为 或. 23.已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围. 答案： 见解析 解析： 当时，， 当时，不等式，解得； 当时，不等式，解得； 当时，不等式，解得. 综上，原不等式的解集为. （2）若，即， 因为（当且仅当时，等号成立），所以，所以，即或，解得.