2016年山东省高考数学试卷（文科）.doc

2016年山东省高考数学试卷（文科） 　 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的. 1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则∁U（A∪B）=（　　） A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6} 2．（5分）若复数z=，其中i为虚数单位，则=（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　） A．56 B．60 C．120 D．140 4．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（　　） A．4 B．9 C．10 D．12 5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　） A．+π B．+π C．+π D．1+π 6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（　　） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 8．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（　　） A． B． C． D． 9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（　　） A．﹣2 B．1 C．0 D．2 10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　） A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3 　 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．（5分）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为　 　． 12．（5分）观察下列等式： （sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2； （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3； （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4； （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5； … 照此规律， （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=　 　． 13．（5分）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为　 　． 14．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　 　． 15．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　 　． 　 三、解答题：本大题共6小题，共75分 16．（12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下： ①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率； （Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 17．（12分）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2． （Ⅰ）求f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值． 18．（12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB． （Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB； （Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC． 19．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn． 20．（13分）设f（x）=xln x﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R． （1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间； （2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围． 21．（14分）已知椭圆 的长轴长为4，焦距为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B． （ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值； （ⅱ）求直线AB的斜率的最小值． 　 2016年山东省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的. 1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则∁U（A∪B）=（　　） A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6} 【分析】求出A与B的并集，然后求解补集即可． 【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}， 则A∪B={1，3，4，5}． ∁U（A∪B）={2，6}． 故选：A． 【点评】本题考查集合的交、并、补的运算，考查计算能力． 　 2．（5分）若复数z=，其中i为虚数单位，则=（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【分析】根据复数的四则运算先求出z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可． 【解答】解：∵z===1+i， ∴=1﹣i， 故选：B． 【点评】本题主要考查复数的计算，根据复数的四则运算以及共轭复数的定义是解决本题的关键．比较基础． 　 3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　） A．56 B．60 C．120 D．140 【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数． 【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7， 故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目． 　 4．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（　　） A．4 B．9 C．10 D．12 【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， ∵A（0，﹣3），C（0，2）， ∴|OA|＞|OC|， 联立，解得B（3，﹣1）． ∵， ∴x2+y2的最大值是10． 故选：C． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题． 　 5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　） A．+π B．+π C．+π D．1+π 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线， 由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=． 故R=，故半球的体积为：=π， 棱锥的底面面积为：1，高为1， 故棱锥的体积V=， 故组合体的体积为：+π， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 　 6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立． 【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”， 反之不成立． ∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题． 　 7．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（　　） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可． 【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2=a2 （a＞0）， 则圆心为（0，a），半径R=a， 圆心到直线x+y=0的距离d=， ∵圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2， ∴2=2=2=2， 即=，即a2=4，a=2， 则圆心为M（0，2），半径R=2， 圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1， 则MN==， ∵R+r=3，R﹣r=1， ∴R﹣r＜MN＜R+r， 即两个圆相交． 故选：B． 【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键． 　 8．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（　　） A． B． C． D． 【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1﹣cosA=1﹣sinA，即sinA=cosA，进行求解即可． 【解答】解：∵b=c， ∴a2=b2+c2﹣2bccosA=2b2﹣2b2cosA=2b2（1﹣cosA）， ∵a2=2b2（1﹣sinA）， ∴1﹣cosA=1﹣sinA， 则sinA=cosA，即tanA=1， 即A=， 故选：C． 【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键． 　 9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（　　） A．﹣2 B．1 C．0 D．2 【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论． 【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣）， ∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1． ∴f（6）=f（1）， ∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（1）=﹣f（﹣1）， ∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1， ∴f（﹣1）=﹣2， ∴f（1）=﹣f（﹣1）=2， ∴f（6）=2． 故选：D． 【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　） A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3 【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案． 【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y=sinx时，y′=cosx，满足条件； 当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件； 当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件； 当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件； 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档． 　 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．（5分）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为　1　． 【分析】根据程序框图进行模拟计算即可． 【解答】解：若输入n的值为3， 则第一次循环，S=0+﹣1=﹣1，1≥3不成立， 第二次循环，S=﹣1+=﹣1，2≥3不成立， 第三次循环，S=﹣1+﹣=﹣1=2﹣1=1，3≥3成立， 程序终止，输出S=1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，进行模拟运算是解决本题的关键． 　 12．（5分）观察下列等式： （sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2； （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3； （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4； （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5； … 照此规律， （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=　n（n+1）　． 【分析】由题意可以直接得到答案． 【解答】解：观察下列等式： （sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2； （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3； （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4； （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5； … 照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n（n+1）， 故答案为：n（n+1） 【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到相对应的规律，属于基础题． 　 13．（5分）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为　﹣5　． 【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可． 【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4）， ∴t+=（t+6，﹣t﹣4）， ∵⊥（t+）， ∴•（t+）=t+6+t+4=0， 解得t=﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了向量的数量积的运算以及向量垂直的条件，属于基础题． 　 14．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　2　． 【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值． 【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±， 由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，）， 由2|AB|=3|BC|，可得 2•=3•2c，即为2b2=3ac， 由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0， 解得e=2（负的舍去）． 故答案为：2． 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题． 　 15．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　（3，+∞）　． 【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可． 【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下： ∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2， ∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根， 必须4m﹣m2＜m（m＞0）， 即m2＞3m（m＞0）， 解得m＞3， ∴m的取值范围是（3，+∞）， 故答案为：（3，+∞）． 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m2＜m是难点，属于中档题． 　 三、解答题：本大题共6小题，共75分 16．（12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下： ①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率； （Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 【分析】（Ⅰ）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率； （Ⅱ）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， 满足xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ∴小亮获得玩具的概率为； （Ⅱ）满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个，∴小亮获得水杯的概率为； 小亮获得饮料的概率为1﹣﹣=， ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率． 【点评】本题考查概率的计算，考查古典概型，确定基本事件的个数是关键． 　 17．（12分）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2． （Ⅰ）求f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值． 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间． （Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（）的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x =sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1， 令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+， 可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z． （Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象； 再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象， ∴g（）=2sin+﹣1=． 【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题． 　 18．（12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB． （Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB； （Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC． 【分析】（Ⅰ）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面EFBD，从而证得AC⊥FB． （Ⅱ）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，从而证得GH∥平面ABC． 【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC， ∴△BAC、△EAC都是等腰三角形， ∴BD⊥AC，ED⊥AC． ∵EF∥DB，∴E、F、B、D四点共面，这样， AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD， ∴AC⊥平面EFBD． 显然，FB⊂平面EFBD，∴AC⊥FB． （Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O， 则OG∥EF，又∵EF∥DB，故有OG∥BD， 而BD⊂平面ABC，∴OG∥平面ABC． 同理，OH∥BC，而BC⊂平面ABC，∴OH∥平面ABC． ∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC． 【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题． 　 19．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn． 【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n， ∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5， n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5； ∵an=bn+bn+1， ∴an﹣1=bn﹣1+bn， ∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1． ∴2d=6， ∴d=3， ∵a1=b1+b2， ∴11=2b1+3， ∴b1=4， ∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1； （Ⅱ）cn========6（n+1）•2n， ∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①， ∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②， ①﹣②可得 ﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1] =12+6×﹣6（n+1）•2n+1 =（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2， ∴Tn=3n•2n+2． 【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题． 　 20．（13分）设f（x）=xln x﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R． （1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间； （2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数g（x）的单调区间即可； （2）通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调区间，结合函数的极大值，求出a的范围即可． 【解答】解：（1）由f′（x）=ln x﹣2ax+2a， 可得g（x）=ln x﹣2ax+2a，x∈（0，+∞）， 所以g′（x）=﹣2a=， 当a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 当a＞0，x∈（0，）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增， x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减． 所以当a≤0时，g（x）的单调增区间为（0，+∞）； 当a＞0时，g（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）．…（6分） （2）由（1）知，f′（1）=0． ①当0＜a＜时，＞1，由（1）知f′（x）在（0，）内单调递增， 可得当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，）时，f′（x）＞0． 所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增， 所以f（x）在x=1处取得极小值，不合题意． ②当a=时，=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减， 所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意． ③当a＞时，0＜＜1，当x∈（，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减． 所以f（x）在x=1处取极大值，符合题意． 综上可知，正实数a的取值范围为（，+∞）．…（12分） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 　 21．（14分）已知椭圆 的长轴长为4，焦距为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B． （ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值； （ⅱ）求直线AB的斜率的最小值． 【分析】（Ⅰ）结合题意分别求出a，c的值，再求出b的值，求出椭圆方程即可； （Ⅱ）（i）设出P的坐标，表示出直线PM，QM的斜率，作比即可； （ii）设出A，B的坐标，分别求出PA，QB的方程，联立方程组，求出直线AB的斜率的解析式，根据不等式的性质计算即可． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．由题意知， 所以．所以椭圆C的方程为． （Ⅱ）证明：（ⅰ）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）， 由M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）． 所以直线PM的斜率k1==，直线QM的斜率k2==﹣， 此时=﹣3．所以为定值﹣3． （ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y=kx+m， 直线QB的方程为y=﹣3kx+m． 联立 整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2﹣4=0． 由，可得， 所以．同理． 所以， ， 所以．由m＞0，x0＞0，可知k＞0， 所以，等号当且仅当时取得， 此时，即， 所以直线AB 的斜率的最小值为． 【点评】本题考查了椭圆的方程问题，考查直线的斜率以及椭圆的性质，考查函数求最值问题，是一道综合题． 　 第24页（共24页）