2015年山东省高考数学试卷（理科）.doc

2015年山东省高考数学试卷（理科） 　 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（　　） A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（　　） A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（　　）个单位． A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（　　） A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2 5．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（　　） A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，1） C．（1，4） D．（1，5） 6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 7．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　） A． B． C． D．2π 8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　） （附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%） A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　） A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣ 10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（　　） A．[，1] B．[0，1] C．[，+∞） D．[1，+∞） 　 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）观察下列各式： C=40； C+C=41； C+C+C=42； C+C+C+C=43； … 照此规律，当n∈N*时， C+C+C+…+C=　 　． 12．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为　 　． 13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为　 　． 14．（5分）已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=　 　． 15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为　 　． 　 三、解答题 16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值． 17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面FGH； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小． 18．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn． 19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分． （Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”； （Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX． 20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q． （i）求||的值； （ii）求△ABQ面积的最大值． 21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R， （Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围． 　 2015年山东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（　　） A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集． 【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}， 则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）． 故选：C． 【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力． 　 2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（　　） A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可． 【解答】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i， 可得z=1﹣i． 故选：A． 【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查． 　 3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（　　）个单位． A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可． 【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]， 要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点． 　 4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（　　） A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2 【分析】由已知可求，，根据=（）•=代入可求 【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°， ∴=a2，=a×a×cos60°=， 则=（）•== 故选：D． 【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题 　 5．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（　　） A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，1） C．（1，4） D．（1，5） 【分析】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可． 【解答】解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1； ②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4； ③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅． 综上知解集为（﹣∞，4）． 故选：A． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题． 　 6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 则A（2，0），B（1，1）， 若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2， 此时，目标函数为z=2x+y， 即y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件， 若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3， 此时，目标函数为z=3x+y， 即y=﹣3x+z， 平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件， 故a=2， 故选：B． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键． 　 7．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　） A． B． C． D．2π 【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可． 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥， 几何体的体积为：=． 故选：C． 【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键． 　 8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　） （附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%） A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 【分析】由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论． 【解答】解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%， 所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%． 故选：B． 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题． 　 9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　） A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣ 【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出． 【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3）， 故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0． ∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1， 化为24k2+50k+24=0， ∴k=或﹣． 故选：D． 【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题． 　 10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（　　） A．[，1] B．[0，1] C．[，+∞） D．[1，+∞） 【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：令f（a）=t， 则f（t）=2t， 当t＜1时，3t﹣1=2t， 由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2tln2， 在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增， 即有g（t）＜g（1）=0， 则方程3t﹣1=2t无解； 当t≥1时，2t=2t成立， 由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1； 或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1． 综上可得a的范围是a≥． 故选：C． 【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 　 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）观察下列各式： C=40； C+C=41； C+C+C=42； C+C+C+C=43； … 照此规律，当n∈N*时， C+C+C+…+C=　4n﹣1　． 【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果． 【解答】解：因为C=40； C+C=41； C+C+C=42； C+C+C+C=43； … 照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同， 可得：当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1； 故答案为：4n﹣1． 【点评】本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键． 　 12．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为　1　． 【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围． 【解答】解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题， 可得tanx≤1，所以，m≥1， 实数m的最小值为：1． 故答案为：1． 【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力． 　 13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为　　． 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：赋值：n=1，T=1， 判断1＜3， 执行T=1+=1+=1+，n=2； 判断2＜3， 执行T=+==，n=3； 判断3＜3不成立，算法结束，输出T=． 故答案为：． 【点评】本题考查程序框图，考查定积分的求法，是基础题． 　 14．（5分）已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=　　． 【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案． 【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=ax+b在定义域上是增函数， 所以， 解得b=﹣1，=0不符合题意舍去； 当0＜a＜1时，函数f（x）=ax+b在定义域上是减函数， 所以 ， 解得b=﹣2，a=， 综上a+b=， 故答案为： 【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题． 　 15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为　　． 【分析】求出A的坐标，可得=，利用△OAB的垂心为C2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率． 【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x， 与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±， 取A（，），设垂心H（0，）， 则kAH==， ∵△OAB的垂心为C2的焦点， ∴×（﹣）=﹣1， ∴5a2=4b2， ∴5a2=4（c2﹣a2） ∴e==． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键． 　 三、解答题 16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间． （Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣ =sin2x﹣ =sin2x﹣ 由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z； 由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z； 所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）； （Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=， 由题意知A为锐角，所以cosA=， 由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA， 可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立． 因此S=bcsinA≤， 所以△ABC面积的最大值为． 【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查． 　 17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面FGH； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小． 【分析】（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH； （Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小． 【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB； △DEF∽△ABC，又AB=2DE， ∴BC=2EF=2BH， ∴四边形EFHB为平行四边形； ∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH； ∴BE∥平面FGH； 同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB； 又DE∥AB； ∴DE∥GH； ∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E； ∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE； ∴BD∥平面FGH； （Ⅱ）连接HE，则HE∥CF； ∵CF⊥平面ABC； ∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC； ∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则： H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）； 连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点； ∴BG⊥AC； 又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC； ∴BG⊥CF，AC∩CF=C； ∴BG⊥平面ACFD； ∴向量为平面ACFD的法向量； 设平面FGH的法向量为，则： ，取z=1，则：； 设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=； ∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°． 【点评】考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义． 　 18．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn． 【分析】（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1，可求得an=3n﹣1，从而可得{an}的通项公式； （Ⅱ）依题意，anbn=log3an，可得b1=，当n＞1时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3， 当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3， 此时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1， 所以an=． （Ⅱ）因为anbn=log3an，所以b1=， 当n＞1时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n， 所以T1=b1=； 当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n）， 所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n）， 两式相减得：2Tn=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n=﹣， 所以Tn=﹣，经检验，n=1时也适合， 综上可得Tn=﹣． 【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题． 　 19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分． （Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”； （Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX． 【分析】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”； （Ⅱ）随机变量X的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345； （Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为， 随机变量X的取值为：0，﹣1，1， 当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即； 当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即； 当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即． 则P（X=0）==，P（X=﹣1）==，P（X=1）==， X 0 ﹣1 1 P EX=0×+（﹣1）×+1×=． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键． 　 20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q． （i）求||的值； （ii）求△ABQ面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程； （Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），||=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值； （ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF1+PF2=2a=4，可得a=2， 又=，a2﹣c2=b2， 可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为+=1， （i）设P（x0，y0），||=λ，由题意可知， Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1， 又+=1，即（+y02）=1， 所以λ=2，即||=2； （ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得 （1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，① 则有x1+x2=﹣，x1x2=，所以|x1﹣x2|=， 由直线y=kx+m与y轴交于（0，m）， 则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|• =2，设=t，则S=2， 将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0， 由△≥0可得m2≤1+4k2，② 由①②可得0＜t≤1，则S=2在（0，1]递增，即有t=1取得最大值， 即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2， 由（i）知，△ABQ的面积为3S， 即△ABQ面积的最大值为6． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题． 　 21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R， （Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围． 【分析】（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况． （2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况． （3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况． （II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出． （2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出． （3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出； （4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出 【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）． =． 令g（x）=2ax2+ax﹣a+1． （1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点． （2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）． ①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点． ②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2． ∵x1+x2=， ∴，． 由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1． ∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增． 因此函数f（x）有两个极值点． （3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2． ∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减． 因此函数f（x）有一个极值点． 综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点； 当0≤a时，函数f（x）无极值点； 当a时，函数f（x）有两个极值点． （II）由（I）可知： （1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． ∵f（0）=0， ∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意． （2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． 又f（0）=0， ∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意． （3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0， ∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减． 又f（0）=0， ∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去； （4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0． ∴h（x）在（0，+∞）上单调递增． 因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x， 可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x， 当x＞时， ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去． 综上所述，a的取值范围为[0，1]． 【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题． 　 第25页（共25页）