2018年天津市高考数学试卷（文科）.doc

2018年天津市高考数学试卷（文科） 　 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5.00分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（　　） A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4} 2．（5.00分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（　　） A．6 B．19 C．21 D．45 3．（5.00分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（5.00分）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 6．（5.00分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　） A．在区间[]上单调递增 B．在区间[﹣，0]上单调递减 C．在区间[]上单调递增 D．在区间[，π]上单调递减 7．（5.00分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（　　） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 8．（5.00分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0 　 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5.00分）i是虚数单位，复数=　 　． 10．（5.00分）已知函数f（x）=exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为　 　． 11．（5.00分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为　 　． 12．（5.00分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为　 　． 13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为　 　． 14．（5.00分）已知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是　 　． 　 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 16．（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值． 17．（13.00分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值． 18．（13.00分）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求Sn和Tn； （Ⅱ）若Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，求正整数n的值． 19．（14.00分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值． 20．（14.00分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列． （Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值； （Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d的取值范围． 　 2018年天津市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5.00分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（　　） A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4} 【分析】直接利用交集、并集运算得答案． 【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}， ∴（A∪B）={1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}={﹣1，0，1，2，3，4}， 又C={x∈R|﹣1≤x＜2}， ∴（A∪B）∩C={﹣1，0，1}． 故选：C． 【点评】本题考查交集、并集及其运算，是基础的计算题． 　 2．（5.00分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（　　） A．6 B．19 C．21 D．45 【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y的最大值． 【解答】解：由变量x，y满足约束条件， 得如图所示的可行域，由解得A（2，3）． 当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大， z取得最大值． 将其代入得z的值为21， 故选：C． 【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值． 　 3．（5.00分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由x3＞8得到|x|＞2，由|x|＞2不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案． 【解答】解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2， 反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2， 则x3＜﹣8或x3＞8． 即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题． 　 4．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据程序框图进行模拟计算即可． 【解答】解：若输入N=20， 则i=2，T=0，==10是整数，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立， 循环，=不是整数，不满足条件．，i=3+1=4，i≥5不成立， 循环，==5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立， 输出T=2， 故选：B． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键． 　 5．（5.00分）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【分析】把a，c化为同底数，然后利用对数函数的单调性及1的关系进行比较． 【解答】解：∵a=log3，c=log=log35，且5， ∴， 则b=（）＜， ∴c＞a＞b． 故选：D． 【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是基础题． 　 6．（5.00分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　） A．在区间[]上单调递增 B．在区间[﹣，0]上单调递减 C．在区间[]上单调递增 D．在区间[，π]上单调递减 【分析】由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合y=Asin（ωx+φ）型函数的单调性得答案． 【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x． 当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增； 当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减； 当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增； 当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增． 故选：A． 【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换及其性质，是中档题． 　 7．（5.00分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（　　） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可． 【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线 y=，即bx﹣ay=0，F（c，0）， AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形， F是AB的中点，EF==3， EF==b， 所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得， 可得：，解得a=． 则双曲线的方程为：﹣=1． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力． 　 8．（5.00分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0 【分析】解法Ⅰ，由题意判断BC∥MN，且BC=3MN， 再利用余弦定理求出MN和∠OMN的余弦值，计算•即可． 解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形， 由题意求得的值． 【解答】解：解法Ⅰ，由题意，=2，=2， ∴==2，∴BC∥MN，且BC=3MN， 又MN2=OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7， ∴MN=； ∴BC=3， ∴cos∠OMN===， ∴•=||×||cos（π﹣∠OMN）=3×1×（﹣）=﹣6． 解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形， 由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2， 知=﹣=3﹣3=﹣3+3， ∴=（﹣3+3）• =﹣3+3• =﹣3×12+3×2×1×cos120° =﹣6． 故选：C． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题． 　 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5.00分）i是虚数单位，复数=　4﹣i　． 【分析】根据复数的运算法则计算即可． 【解答】解：====4﹣i， 故答案为：4﹣i 【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题． 　 10．（5.00分）已知函数f（x）=exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为　e　． 【分析】根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f′（1）的值． 【解答】解：函数f（x）=exlnx， 则f′（x）=exlnx+•ex； ∴f′（1）=e•ln1+1•e=e． 故答案为：e． 【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题． 　 11．（5.00分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为　　． 【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积． 【解答】解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和， 四棱锥的高：A1C1=． 则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：=． 故答案为：． 【点评】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键． 　 12．（5.00分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为　（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）　． 【分析】【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程． 【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程． 【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示， 结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆， 其圆心为（1，0），半径为1， 则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1． 【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则， 解得D=﹣2，E=F=0； ∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0． 故答案为：（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）． 【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，是基础题． 　 13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为　　． 【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可． 【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0， 可得：3b=a+6， 则2a+==≥2=， 当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号． 函数的最小值为：． 故答案为：． 【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力． 　 14．（5.00分）已知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是　[]　． 【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可． 【解答】解：当x≤0时，函数f（x）=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1，抛物线开口向上， 要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立， 则只需要f（﹣3）≤|﹣3|=3， 即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2， 当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）=﹣x2+2x﹣2a，则直线y=x的下方或在y=x上， 由﹣x2+2x﹣2a=x，即x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0， 得a≥， 综上≤a≤2， 故答案为：[，2]． 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可．注意数形结合． 　 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果． （ii）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，利用列举法能求出事件M发生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学， ∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为： {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}， {B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}， {D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21个． （i）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C， 来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G， M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”， 则事件M包含的基本事件有： {A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5个基本事件， ∴事件M发生的概率P（M）=． 【点评】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力． 　 16．（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值． 【分析】（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos（B﹣）．由此能求出B． （Ⅱ）由余弦定理得b=，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，cosA=，由此能求出sin（2A﹣B）． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB， 又bsinA=acos（B﹣）． ∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+， ∴tanB=， 又B∈（0，π），∴B=． （Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=， 由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=， ∵a＜c，∴cosA=， ∴sin2A=2sinAcosA=， cos2A=2cos2A﹣1=， ∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==． 【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 17．（13.00分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2，∠BAD=90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC； （Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND，又M为棱AB的中点，可得∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦； （Ⅲ）连接CM，由△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM⊥AB，且CM=，再由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角，求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB， 得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC； （Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND， ∵M为棱AB的中点，故MN∥BC， ∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角， 在Rt△DAM中，AM=1，故DM=， ∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC， 在Rt△DAN中，AN=1，故DN=， 在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=． ∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为； （Ⅲ）解：连接CM，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点， 故CM⊥AB，CM=， 又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC， 故CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角． 在Rt△CAD中，CD=， 在Rt△CMD中，sin∠CDM=． ∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为． 【点评】本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题． 　 18．（13.00分）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求Sn和Tn； （Ⅱ）若Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，求正整数n的值． 【分析】（Ⅰ）设等比数列{bn}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{bn}的通项公式与前n项和可求；等差数列{an}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得Sn； （Ⅱ）由（Ⅰ）求出T1+T2+……+Tn，代入Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值． 【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{bn}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2﹣q﹣2=0． ∵q＞0，可得q=2． 故，； 设等差数列{an}的公差为d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4， 由b5=a4+2a6，得3a1+13d=16， ∴a1=d=1． 故an=n，； （Ⅱ）由（Ⅰ），可得T1+T2+……+Tn==2n+1﹣n﹣2． 由Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn， 可得， 整理得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=﹣1（舍）或n=4． ∴n的值为4． 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题． 　 19．（14.00分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值． 【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可． （Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）． 由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，x2=5x1， 联立方程求出由＞0.，可得k． 【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c， 由已知可得，又a2=b2+c2， 解得a=3，b=2， ∴椭圆的方程为：， （Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）． ∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]， ∴x2=5x1， 易知直线AB的方程为：2x+3y=6． 由，可得＞0． 由，可得， ⇒，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣或k=﹣． 由＞0．可得k，故k=﹣， 【点评】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 　 20．（14.00分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列． （Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值； （Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求出t2=0，d=1时f（x）的导数，利用导数求斜率，再写出切线方程； （Ⅱ）计算d=3时f（x）的导数，利用导数判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值； （Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点， 等价于关于x的方程f（x）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根， 利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3）， t2=0，d=1时，f（x）=x（x+1）（x﹣1）=x3﹣x， ∴f′（x）=3x2﹣1， f（0）=0，f′（0）=﹣1， ∴y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0）， 即x+y=0； （Ⅱ）d=3时，f（x）=（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3） =﹣9（x﹣t2） =x3﹣3t2x2+（3﹣9）x﹣+9t2； ∴f′（x）=3x2﹣6t2x+3﹣9， 令f′（x）=0，解得x=t2﹣或x=t2+； 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表； x （﹣∞， t2﹣） t2﹣ （t2﹣， t2+） t2+ （t2+， +∞） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 ∴f（x）的极大值为f（t2﹣）=﹣9×（﹣）=6， 极小值为f（t2+）=﹣9×=﹣6； （Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点， 等价于关于x的方程（x﹣t2+d）（x﹣t2）（x﹣t2﹣d）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根， 令u=x﹣t2，可得u3+（1﹣d2）u+6=0； 设函数g（x）=x3+（1﹣d2）x+6，则 曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有3个互异的公共点， 等价于函数y=g（x）有三个不同的零点； 又g′（x）=3x2+（1﹣d2）， 当d2≤1时，g′（x）≥0恒成立，此时g（x）在R上单调递增，不合题意； 当d2＞1时，令g′（x）=0，解得x1=﹣，x2=； ∴g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减， 在（x2，+∞）上也单调递增； ∴g（x）的极大值为g（x1）=g（﹣）=+6＞0； 极小值为g（x2）=g（）=﹣+6； 若g（x2）≥0，由g（x）的单调性可知， 函数g（x）至多有两个零点，不合题意； 若g（x2）＜0，即＞27，解得|d|＞， 此时|d|＞x2，g（|d|）=|d|+6＞0，且﹣2|d|＜x1； g（﹣2|d|）=﹣6|d|3﹣2|d|+6＜0， 从而由g（x）的单调性可知， 函数y=g（x）在区间（﹣2|d|，x1），（x1，x2），（x2，|d|）内各有一个零点，符合题意； ∴d的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）． 【点评】本题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义，运用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，是综合题． 　 第24页（共24页）