2015年广东省高考数学试卷（理科）.doc

2015年广东省高考数学试卷（理科） 　 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（　　） A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．{0} D．∅ 2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（　　） A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i 3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　） A．y= B．y=x+ C．y=2x+ D．y=x+ex 4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（　　） A． B． C． D．1 5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　） A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0 C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0 6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（　　） A．4 B． C．6 D． 7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（　　） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 8．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（　　） A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5 　 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题） 9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为　 　． 10．（5分）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=　 　． 11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=　 　． 12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了　 　条毕业留言．（用数字作答） 13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=　 　． 14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为　 　． 15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=　 　． 　 三、解答题 16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）． （1）若⊥，求tanx的值； （2）若与的夹角为，求x的值． 17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图： 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 2 3 4 5 6 7 8 9 40 44 40 41 33 40 45 42 43 10 11 12 13 14 15 16 17 18 36 31 38 39 43 45 39 38 36 19 20 21 22 23 24 25 26 27 27 43 41 37 34 42 37 44 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 34 39 43 38 42 53 37 49 39 （1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的均值和方差s2； （3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？ 18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB． （1）证明：PE⊥FG； （2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值； （3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值． 19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）ex﹣a． （1）求f（x）的单调区间； （2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点； （3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1． 20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B． （1）求圆C1的圆心坐标； （2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程； （3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由． 21．（14分）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+． （1）求a3的值； （2）求数列{an}的前 n项和Tn； （3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn． 　 2015年广东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（　　） A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．{0} D．∅ 【分析】求出两个集合，然后求解交集即可． 【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}， N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}， 则M∩N=∅． 故选：D． 【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力． 　 2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（　　） A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i 【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可． 【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i， 故选：A． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力． 　 3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　） A．y= B．y=x+ C．y=2x+ D．y=x+ex 【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可． 【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确； 对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确； 对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确； 对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确． 故选：D． 【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查． 　 4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（　　） A． B． C． D．1 【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可． 【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有； ∴基本事件总数为105； 设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A； 则A包含的基本事件个数为=50； ∴P（A）=． 故选：B． 【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理． 　 5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　） A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0 C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0 【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程． 【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则， 所以=，所以b=±5， 所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 故选：A． 【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题． 　 6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（　　） A．4 B． C．6 D． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值． 【解答】解：不等式组对应的平面区域如图： 由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+， 则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小， 此时z最小， 由，解得，即A（1，）， 此时z=3×1+2×=， 故选：B． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 　 7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（　　） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程． 【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0）， 可得：，c=5，∴a=4，b==3， 所求双曲线方程为：﹣=1． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 8．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（　　） A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5 【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断． 【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立； n大于4，也不成立； 在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立； 若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体， 第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心， 且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合， 但显然球的半径不等于棱长，故不成立； 同理n＞5，不成立． 故选：B． 【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题． 　 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题） 9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为　6　． 【分析】根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•，分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案． 【解答】解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•， 令2﹣=1，求得r=2， ∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题 　 10．（5分）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=　10　． 【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求答案． 【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25， 得到a5=5， 则a2+a8=2a5=10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础题． 　 11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=　1　． 【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b 【解答】解：∵sinB=， ∴B=或B= 当B=时，a=，C=，A=， 由正弦定理可得， 则b=1 当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾 故答案为：1 【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键 　 12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了　1560　条毕业留言．（用数字作答） 【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可． 【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条． 故答案为：1560． 【点评】本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键． 　 13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=　　． 【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可． 【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20， 可得np=30，npq=20，q=，则p=， 故答案为：． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力． 　 14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为　　． 【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可． 【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1， 点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）． 点A到直线l的距离为：=． 故答案为：． 【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力． 　 15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=　8　． 【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论． 【解答】解：连接OC，则OC⊥CD， ∵AB是圆O的直径， ∴BC⊥AC， ∵OP∥BC， ∴OP⊥AC，OP=BC=， Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD， ∴4=OD， ∴OD=8． 故答案为：8． 【点评】本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础． 　 三、解答题 16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）． （1）若⊥，求tanx的值； （2）若与的夹角为，求x的值． 【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值； （2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值． 【解答】解：（1）若⊥， 则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0， 即sinx=cosx sinx=cosx，即tanx=1； （2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx， ∴若与的夹角为， 则•=||•||cos=， 即sinx﹣cosx=， 则sin（x﹣）=， ∵x∈（0，）． ∴x﹣∈（﹣，）． 则x﹣= 即x=+=． 【点评】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础． 　 17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图： 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 2 3 4 5 6 7 8 9 40 44 40 41 33 40 45 42 43 10 11 12 13 14 15 16 17 18 36 31 38 39 43 45 39 38 36 19 20 21 22 23 24 25 26 27 27 43 41 37 34 42 37 44 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 34 39 43 38 42 53 37 49 39 （1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的均值和方差s2； （3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？ 【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可； （2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2； （3）求出样本和方差即可得到结论． 【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2， ∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9）， 其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37． （2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40． 由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=． （3）∵s2=．∴s=∈（3，4）， ∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数， 即40，40，41，…，39，共23人． ∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%． 【点评】本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础． 　 18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB． （1）证明：PE⊥FG； （2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值； （3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值． 【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论； （2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论； （3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值． 【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点， ∴PE⊥CD， 又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD， ∴PE⊥平面ABCD， 又∵FG⊂平面ABCD， ∴PE⊥FG； （2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD， 又∵CD⊥AD且PE∩CD=E， ∴AD⊥平面PDC， 又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD， 又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角， 在Rt△PDE中，由勾股定理可得： PE===， ∴tan∠PDC==； （3）解：连结AC，则AC==3， 在Rt△ADP中，AP===5， ∵AF=2FB，CG=2GB， ∴FG∥AC， ∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC， 在△PAC中，由余弦定理得 cos∠PAC= = =． 【点评】本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到勾股定理、余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）ex﹣a． （1）求f（x）的单调区间； （2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点； （3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1． 【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间． （2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点． （3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂． 【解答】解：（1）f′（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）2， ∴f′（x）≥0， ∴f（x）=（1+x2）ex﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数． （2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1， ∴1﹣a＜0，即f（0）＜0， ∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1， ∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0， 且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数， ∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点． （3）证明：f′（x）=ex（x+1）2， 设点P（x0，y0）则）f'（x）=ex0（x0+1）2， ∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行， ∴f′（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0， ∴x0=﹣1， 将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=． ∴， ∴， 要证m≤﹣1，即证（m+1）3≤a﹣， 需要证（m+1）3≤em（m+1）2， 即证m+1≤em， 因此构造函数g（m）=em﹣（m+1）， 则g′（m）=em﹣1，由g′（m）=0得m=0． 当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0， 当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0， ∴g（m）的最小值为g（0）=0， ∴g（m）=em﹣（m+1）≥0， ∴em≥m+1， ∴em（m+1）2≥（m+1）3， 即：， ∴m≤． 【点评】本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度． 　 20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B． （1）求圆C1的圆心坐标； （2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程； （3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由． 【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论； （2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论； （3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论． 【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0， 整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4， ∴圆C1的圆心坐标为（3，0）； （2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2）， 联立方程组， 消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0， 由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜ 由韦达定理，可得x1+x2=， ∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜， ∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3； （3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点． 理由如下： 联立方程组， 消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0， 令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±， 又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±， ∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时， k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}． 【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题． 　 21．（14分）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+． （1）求a3的值； （2）求数列{an}的前 n项和Tn； （3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn． 【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值； （2）利用作差法求出数列{an}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{an}的前 n项和Tn； （3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式． 【解答】解：（1）∵a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+． ∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2， 解得a2=， ∵a1+2a2+…+nan=4﹣，n∈N+． ∴a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=4﹣，n∈N+． 两式相减得nan=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2， 则an=，n≥2， 当n=1时，a1=1也满足， ∴an=，n≥1， 则a3=； （2）∵an=，n≥1， ∴数列{an}是公比q=， 则数列{an}的前 n项和Tn==2﹣21﹣n． （3）bn=+（1+++…+）an， ∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3， ∴bn=+（1+++…+）an， ∴Sn=b1+b2+…+bn=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）an =（1+++…+）（a1+a2+…+an）=（1+++…+）Tn =（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+）， 设f（x）=lnx+﹣1，x＞1， 则f′（x）=﹣． 即f（x）在（1，+∞）上为增函数， ∵f（1）=0，即f（x）＞0， ∵k≥2，且k∈N•时，， ∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞， ∴ln，，…， 即=lnn， ∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn， 即Sn＜2（1+lnn）=2+2lnn． 【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大． 　 第21页（共21页）