2018年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标ⅲ）.doc

2018年云南省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ） 　 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5.00分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　） A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 2．（5.00分）（1+i）（2﹣i）=（　　） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 3．（5.00分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（　　） A． B． C． D． 4．（5.00分）若sinα=，则cos2α=（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 5．（5.00分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 6．（5.00分）函数f（x）=的最小正周期为（　　） A． B． C．π D．2π 7．（5.00分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（　　） A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x） 8．（5.00分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（　　） A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3] 9．（5.00分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 10．（5.00分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（　　） A． B．2 C． D．2 11．（5.00分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　） A． B． C． D． 12．（5.00分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　） A．12 B．18 C．24 D．54 　 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5.00分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=　 　． 14．（5.00分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　 　． 15．（5.00分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是　 　． 16．（5.00分）已知函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=　 　． 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12.00分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． （1）求{an}的通项公式； （2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m． 18．（12.00分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K2=， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19．（12.00分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． 20．（12.00分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）． （1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||． 21．（12.00分）已知函数f（x）=． （1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程； （2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10.00分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 　 [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|． （1）画出y=f（x）的图象； （2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值． 　 2018年云南省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5.00分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　） A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案． 【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}， ∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}． 故选：C． 【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题． 　 2．（5.00分）（1+i）（2﹣i）=（　　） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i． 故选：D． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 　 3．（5.00分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可． 【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A． 故选：A． 【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查． 　 4．（5.00分）若sinα=，则cos2α=（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果． 【解答】解：∵sinα=， ∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=． 故选：B． 【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 5．（5.00分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可． 【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件， 所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15=0.4． 故选：B． 【点评】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，是基本知识的考查． 　 6．（5.00分）函数f（x）=的最小正周期为（　　） A． B． C．π D．2π 【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论． 【解答】解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π， 故选：C． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题． 　 7．（5.00分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（　　） A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x） 【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果． 【解答】解：首先根据函数y=lnx的图象， 则：函数y=lnx的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y轴对称． 由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称． 则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln（2﹣x）． 即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）． 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的对称和平移变换． 　 8．（5.00分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（　　） A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3] 【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2，设P（2+，），点P到直线x+y+2=0的距离：d==∈[]，由此能求出△ABP面积的取值范围． 【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|==2， ∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+，）， ∴点P到直线x+y+2=0的距离： d==， ∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d=∈[]， ∴△ABP面积的取值范围是： [，]=[2，6]． 故选：A． 【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 9．（5.00分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可． 【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B． 函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1）， 由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0， 得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0， 得x＞或﹣＜x＜0，此时函数单调递减，排除C， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键． 　 10．（5.00分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（　　） A． B．2 C． D．2 【分析】利用双曲线的离心率求出a，b的关系，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可． 【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为， 可得=，即：，解得a=b， 双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x， 点（4，0）到C的渐近线的距离为：=2． 故选：D． 【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 　 11．（5.00分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　） A． B． C． D． 【分析】推导出S△ABC==，从而sinC==cosC，由此能求出结果． 【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． △ABC的面积为， ∴S△ABC==， ∴sinC==cosC， ∵0＜C＜π，∴C=． 故选：C． 【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 12．（5.00分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　） A．12 B．18 C．24 D．54 【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可． 【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6， 球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图： O′C==，OO′==2， 则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6， 则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：=18． 故选：B． 【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5.00分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=　　． 【分析】利用向量坐标运算法则求出=（4，2），再由向量平行的性质能求出λ的值． 【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2）， ∴=（4，2）， ∵=（1，λ），∥（2+）， ∴， 解得λ=． 故答案为：． 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 14．（5.00分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　分层抽样　． 【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解． 【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异， 为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查， 可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 则最合适的抽样方法是分层抽样． 故答案为：分层抽样． 【点评】本题考查抽样方法的判断，考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 15．（5.00分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是　3　． 【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过（2，3）时，z最大． 【解答】解：画出变量x，y满足约束条件表示的平面区域如图：由解得A（2，3）． z=x+y变形为y=﹣3x+3z，作出目标函数对应的直线， 当直线过A（2，3）时，直线的纵截距最小，z最大， 最大值为2+3×=3， 故答案为：3． 【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值． 　 16．（5.00分）已知函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=　﹣2　． 【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可． 【解答】解：函数g（x）=ln（﹣x） 满足g（﹣x）=ln（+x）==﹣ln（﹣x）=﹣g（x）， 所以g（x）是奇函数． 函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4， 可得f（a）=4=ln（﹣a）+1，可得ln（﹣a）=3， 则f（﹣a）=﹣ln（﹣a）+1=﹣3+1=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查计算能力． 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12.00分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． （1）求{an}的通项公式； （2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m． 【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{an}的通项公式． （2）当a1=1，q=﹣2时，Sn=，由Sm=63，得Sm==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，Sn=2n﹣1，由此能求出m． 【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． ∴1×q4=4×（1×q2）， 解得q=±2， 当q=2时，an=2n﹣1， 当q=﹣2时，an=（﹣2）n﹣1， ∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1． （2）记Sn为{an}的前n项和． 当a1=1，q=﹣2时，Sn===， 由Sm=63，得Sm==63，m∈N，无解； 当a1=1，q=2时，Sn===2n﹣1， 由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N， 解得m=6． 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 18．（12.00分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K2=， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； （2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表； （3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论． 【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知， 第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间， 第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； （2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后， 排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m==80； 由此填写列联表如下； 超过m 不超过m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40 （3）根据（2）中的列联表，计算 K2===10＞6.635， ∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题． 　 19．（12.00分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． 【分析】（1）通过证明CD⊥AD，CD⊥DM，证明CM⊥平面AMD，然后证明平面AMD⊥平面BMC； （2）存在P是AM的中点，利用直线与平面培训的判断定理说明即可． 【解答】（1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦所在平面垂直，所以AD⊥半圆弦所在平面，CM⊂半圆弦所在平面， ∴CM⊥AD， M是上异于C，D的点．∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CM⊥平面AMD，CM⊂平面CMB， ∴平面AMD⊥平面BMC； （2）解：存在P是AM的中点， 理由： 连接BD交AC于O，取AM的中点P，连接OP，可得MC∥OP，MC⊄平面BDP，OP⊂平面BDP， 所以MC∥平面PBD． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面培训的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力． 　 20．（12.00分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）． （1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||． 【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k==﹣=﹣ 又点M（1，m）在椭圆内，即，解得m的取值范围，即可得k＜﹣， （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2 由++=，可得x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|． 【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵线段AB的中点为M（1，m）， ∴x1+x2=2，y1+y2=2m 将A，B代入椭圆C：+=1中，可得 ， 两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0， 即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0， ∴k==﹣=﹣ 点M（1，m）在椭圆内，即， 解得0＜m ∴． （2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3）， 可得x1+x2=2 ∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0， ∴x3=1 由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=． 则|FA|+|FB|=4﹣， ∴|FA|+|FB|=2|FP|， 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题． 　 21．（12.00分）已知函数f（x）=． （1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程； （2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0． 【分析】（1） 由f′（0）=2，可得切线斜率k=2，即可得到切线方程． （2）可得=﹣．可得f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，注意到a≥1时，函数g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1＞0 只需（x）≥﹣e，即可． 【解答】解：（1）=﹣． ∴f′（0）=2，即曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=2， ∴曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）=2x． 即2x﹣y﹣1=0为所求． （2）证明：函数f（x）的定义域为：R， 可得=﹣． 令f′（x）=0，可得， 当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0． ∴f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增， 注意到a≥1时，函数g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1＞0 函数g（x）的图象如下： ∵a≥1，∴，则≥﹣e， ∴f（x）≥﹣e， ∴当a≥1时，f（x）+e≥0． 【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10.00分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 【分析】（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，进而求出或，由此能求出α的取值范围． （2）设直线l的方程为x=m（y+），联立，得（m2+1）y2+2+2m2﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程． 【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数）， ∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1， 当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立； 当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+， ∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点， ∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1， ∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1， ∴或， 综上α的取值范围是（，）． （2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+）， 设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3）， 联立，得（m2+1）y2+2+2m2﹣1=0， ， =﹣+2， =，=﹣， ∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）． 【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|． （1）画出y=f（x）的图象； （2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值． 【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可． （2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可． 【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x， 当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2， 当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x， 则f（x）=对应的图象为： 画出y=f（x）的图象； （2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b， 当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2， 当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立， 则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上， ∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2， 且各部分直线的斜率的最大值为3， 故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立， 即a+b的最小值为5． 【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键． 　 第26页（共26页）