2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）.doc

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 　 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（　　） A． B． C． D．2 3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是（　　） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （　　） A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80 5．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（　　） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（　　） A．f（x）的一个周期为﹣2π B．y=f（x）的图象关于直线x=对称 C．f（x+π）的一个零点为x= D．f（x）在（，π）单调递减 7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　） A．π B． C． D． 9．（5分）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（　　） A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8 10．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（　　） A．﹣ B． C． D．1 12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（　　） A．3 B．2 C． D．2 　 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为　 　． 14．（5分）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=　 　． 15．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是　 　． 16．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最小值为60°； 其中正确的是　 　．（填写所有正确结论的编号） 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2． （1）求c； （2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； （2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值． 20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程． 21．（12分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若 f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （1）写出C的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径． 　 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 　 2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】解不等式组求出元素的个数即可． 【解答】解：由，解得：或， ∴A∩B的元素的个数是2个， 故选：B． 【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题． 　 2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（　　） A． B． C． D．2 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1． 则|z|=． 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是（　　） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案． 【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得： 月接待游客量逐月有增有减，故A错误； 年接待游客量逐年增加，故B正确； 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确； 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确； 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题． 　 4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （　　） A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80 【分析】（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1=（2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）rx5﹣ryr．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出． 【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1=（2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）rx5﹣ryr． 令5﹣r=2，r=3，解得r=3． 令5﹣r=3，r=2，解得r=2． ∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数=22×（﹣1）3+23×=40． 故选：C． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 5．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（　　） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程． 【解答】解：椭圆+=1的焦点坐标（±3，0）， 则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3， 双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x， 可得，即，可得=，解得a=2，b=， 所求的双曲线方程为：﹣=1． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力． 　 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（　　） A．f（x）的一个周期为﹣2π B．y=f（x）的图象关于直线x=对称 C．f（x+π）的一个零点为x= D．f（x）在（，π）单调递减 【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可． 【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确， B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确， C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确， D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误， 故选：D． 【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键． 　 7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论． 【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0， 要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”， 则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2， 要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”， 则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3， 要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体， 此时N的最小值为2， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　） A．π B． C． D． 【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r==，由此能求出该圆柱的体积． 【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上， ∴该圆柱底面圆周半径r==， ∴该圆柱的体积：V=Sh==． 故选：B． 【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题． 　 9．（5分）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（　　） A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8 【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{an}前6项的和． 【解答】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列， ∴， ∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0， 解得d=﹣2， ∴{an}前6项的和为==﹣24． 故选：A． 【点评】本题考查等差数列前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用． 　 10．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出． 【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2． ∴椭圆C的离心率e===． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（　　） A．﹣ B． C． D．1 【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论． 【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+）=0， 所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+）有唯一解， 等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾； ②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+）的图象的最高点为B（1，2a）， 由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象有两个交点，矛盾； ③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+）的图象的最低点为B（1，2a）， 由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件； 综上所述，a=， 故选：C． 【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题． 　 12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（　　） A．3 B．2 C． D．2 【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值． 【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系， 则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2）， ∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上， 设圆的半径为r， ∵BC=2，CD=1， ∴BD== ∴BC•CD=BD•r， ∴r=， ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=， 设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2）， ∵=λ+μ， ∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ， ∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故λ+μ的最大值为3， 故选：A． 【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题． 　 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为　﹣1　． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x﹣4y的最小值． 【解答】解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣， 经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值， 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1， 即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 　 14．（5分）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=　﹣8　． 【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，可得：a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解出即可得出． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3， ∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3， 解得a1=1，q=﹣2． 则a4=（﹣2）3=﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 15．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是　（，+∞）　． 【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可． 【解答】解：若x≤0，则x﹣≤﹣， 则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞， 此时＜x≤0， 当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣， 当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立， 当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+， 此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立， 综上x＞， 故答案为：（，+∞）． 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键． 　 16．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最小值为60°； 其中正确的是　②③　．（填写所有正确结论的编号） 【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|=1，|AB|=，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为1， 故|AC|=1，|AB|=， 斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变， B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系， 则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量=（0，1，0），||=1， 直线b的方向单位向量=（1，0，0），||=1， 设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0）， 其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π）， ∴AB′在运动过程中的向量，=（cosθ，sinθ，﹣1），||=， 设与所成夹角为α∈[0，]， 则cosα==|sinθ|∈[0，]， ∴α∈[，]，∴③正确，④错误． 设与所成夹角为β∈[0，]， cosβ===|cosθ|， 当与夹角为60°时，即α=， |sinθ|===， ∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ=|cosθ|=， ∵β∈[0，]，∴β=，此时与的夹角为60°， ∴②正确，①错误． 故答案为：②③． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2． （1）求c； （2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出， （2）先根据夹角求出cosC，求出CD的长，得到S△ABD=S△ABC． 【解答】解：（1）∵sinA+cosA=0， ∴tanA=， ∵0＜A＜π， ∴A=， 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA， 即28=4+c2﹣2×2c×（﹣）， 即c2+2c﹣24=0， 解得c=﹣6（舍去）或c=4， 故c=4． （2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC， ∴16=28+4﹣2×2×2×cosC， ∴cosC=， ∴CD=== ∴CD=BC ∵S△ABC=AB•AC•sin∠BAC=×4×2×=2， ∴S△ABD=S△ABC= 【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题 　 18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 【分析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列． （2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200≤n≤500，根据300≤n≤500和200≤n≤300分类讨论经，能得到当n=300时，EY最大值为520元． 【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500， P（X=200）==0.2， P（X=300）=， P（X=500）==0.4， ∴X的分布列为： X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 （2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶， ∴只需考虑200≤n≤500， 当300≤n≤500时， 若最高气温不低于25，则Y=6n﹣4n=2n； 若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n﹣300）﹣4n=1200﹣2n； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n， ∴EY=2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2=640﹣0.4n， 当200≤n≤300时， 若最高气温不低于20，则Y=6n﹣4n=2n， 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n， ∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2=160+1.2n． ∴n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； （2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值． 【分析】（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO=AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明． （2）设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则=．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得===1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出． 【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD． ∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC． △ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD． ∵△ACD是直角三角形， ∴AC是斜边，∴∠ADC=90°． ∴DO=AC． ∴DO2+BO2=AB2=BD2． ∴∠BOD=90°． ∴OB⊥OD． 又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD． 又OB⊂平面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC． （2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则=． ∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分， ∴===1． ∴点E是BD的中点． 建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2． 则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E． =（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）． 设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=． 同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）． ∴cos===﹣． ∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为． 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程． 【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由•=0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得•=0，则坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得•=0，则坐标原点O在圆M上； （2）由题意可知：•=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程． 【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2）， 则=（2，2），=（2，﹣2），则•=0， ∴⊥， 则坐标原点O在圆M上； 当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）， ，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0， 则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0， 则y1y2=﹣4， 由•=x1x2+y1y2=0， 则⊥，则坐标原点O在圆M上， 综上可知：坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2， ，整理得：y2﹣2my﹣4=0，A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1y2=﹣4， 则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则•=x1x2+y1y2=0， 则⊥，则坐标原点O在圆M上， ∴坐标原点O在圆M上； （2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2=，y1+y2=，y1y2=﹣4， 圆M过点P（4，﹣2），则=（4﹣x1，﹣2﹣y1），=（4﹣x2，﹣2﹣y2）， 由•=0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0， 整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1， 当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4， 则x1+x2=，y1+y2=﹣1， 则M（，﹣），半径为r=丨MP丨==， ∴圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=． 当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2， 同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨=， ∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10， 综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=， 或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若 f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 【分析】（1）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论； （2）通过（1）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+）＜，k∈N*．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+）（1+）…（1+）＜e，另一方面可知（1+）（1+）…（1+）＞2，从而当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），比较可得结论． 【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0， 所以f′（x）=1﹣=，且f（1）=0． 所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）≥0矛盾； 当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a， 所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f（a）， 若a≠1，则f（a）＜f（1）=0，从而与f（x）≥0矛盾； 所以a=1； （2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1， 所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号， 所以ln（1+）＜，k∈N*． 一方面，ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+=1﹣＜1， 即（1+）（1+）…（1+）＜e； 另一方面，（1+）（1+）…（1+）＞（1+）（1+）（1+）=＞2； 从而当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e）， 因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m成立， 所以m的最小值为3． 【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （1）写出C的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径． 【分析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4； （2）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0化为普通方程：x+y﹣=0，再与曲线C的方程联立，可得，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=． 【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数）， ∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①； 又直线l2的参数方程为，（m为参数）， 同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②； 联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4； （2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0， ∴其普通方程为：x+y﹣=0， 联立得：， ∴ρ2=x2+y2=+=5． ∴l3与C的交点M的极径为ρ=． 【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题． 　 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集； （2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1， ∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2； 综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}． （2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x