2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）.doc

2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 　 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（　　） A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4） 3．（5分）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（　　） A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i 4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（　　） A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 7．（5分）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（　　） A． B． C．10 D．12 8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　） A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z 9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（5分）已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣ 11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 12．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．4 　 二、本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n=　 　． 14．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=　 　． 15．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为　 　． 16．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为　 　． 　 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED； （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积． 19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． （xi﹣）2 （wi﹣）2 （xi﹣）（yi﹣） （wi﹣）（yi﹣） 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中wi=i，= （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣． 20．（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N两点． （1）求k的取值范围； （2）若•=12，其中O为坐标原点，求|MN|． 21．（12分）设函数f（x）=e2x﹣alnx． （Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数； （Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln． 　 四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】 22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E． （Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； （Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小． 　 五、【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程； （Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积． 　 六、【选修4-5：不等式选讲】 24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集； （Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 　 2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据集合的基本运算进行求解． 【解答】解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}， 则A∩B={8，14}， 故集合A∩B中元素的个数为2个， 故选：D． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　 2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（　　） A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4） 【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之． 【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3）， 则向量==（﹣7，﹣4）； 故选：A． 【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒． 　 3．（5分）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（　　） A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i 【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z﹣1，进一步求得z． 【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1=， ∴z=2﹣i． 故选：C． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 　 4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可． 【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种， 其中只有（3，4，5）为勾股数， 故这3个数构成一组勾股数的概率为． 故选：C． 【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题． 　 5．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果． 【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合， 可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：， 抛物线的准线方程为：x=﹣2， 由，解得y=±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）． |AB|=6． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 　 6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（　　） A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8， 解得r=， 故米堆的体积为××π×（）2×5≈， ∵1斛米的体积约为1.62立方， ∴÷1.62≈22， 故选：B． 【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础． 　 7．（5分）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（　　） A． B． C．10 D．12 【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 【解答】解：∵{an}是公差为1的等差数列，S8=4S4， ∴8a1+×1=4×（4a1+）， 解得a1=． 则a10=+9×1=． 故选：B． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　） A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间． 【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）． 再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）． 由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得 2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z， 故选：D． 【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题． 　 9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件； 故输出的n值为7， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 　 10．（5分）已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣ 【分析】利用分段函数，求出α，再求f（6﹣α）． 【解答】解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解； α＞1时，﹣log2（α+1）=﹣3，∴α=7， ∴f（6﹣α）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣． 故选：A． 【点评】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础． 　 11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱， ∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2， 又∵该几何体的表面积为16+20π， ∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2， 故选：B． 【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 12．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．4 【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决． 【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数， y=log2x﹣a（x＞0）， 即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）． ∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称， ∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0， ∵f（﹣2）+f（﹣4）=1， ∴﹣log22+a﹣log24+a=1， 解得，a=2， 故选：C． 【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题 　 二、本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n=　6　． 【分析】由an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解． 【解答】解：∵an+1=2an， ∴， ∵a1=2， ∴数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列， ∴Sn===2n+1﹣2=126， ∴2n+1=128， ∴n+1=7， ∴n=6． 故答案为：6 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式． 　 14．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=　1　． 【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可． 【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2， 切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7）， 所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1）， 解得a=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力． 　 15．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为　4　． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z， 由图可知，当直线y=﹣3x+z过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大， 此时z有最大值为3×1+1=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 16．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为　12　． 【分析】利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积． 【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2 ≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号）， 直线AF′的方程为与x2﹣=1联立可得y2+6y﹣96=0， ∴P的纵坐标为2， ∴△APF周长最小时，该三角形的面积为﹣=12． 故答案为：12． 【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键． 　 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出． （II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出． 【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC， 由正弦定理可得：＞0， 代入可得（bk）2=2ak•ck， ∴b2=2ac， ∵a=b，∴a=2c， 由余弦定理可得：cosB===． （II）由（I）可得：b2=2ac， ∵B=90°，且a=， ∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=． ∴S△ABC==1． 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED； （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积． 【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED； （Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∵BE⊥平面ABCD， ∴AC⊥BE， 则AC⊥平面BED， ∵AC⊂平面AEC， ∴平面AEC⊥平面BED； 解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=， ∵BE⊥平面ABCD， ∴BE⊥BG，则△EBG为直角三角形， ∴EG=AC=AG=x， 则BE==x， ∵三棱锥E﹣ACD的体积V===， 解得x=2，即AB=2， ∵∠ABC=120°， ∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×=12， 即AC=， 在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边AE=EC=ED， ∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形， 则AE2+EC2=AC2=12， 即2AE2=12， ∴AE2=6， 则AE=， ∴从而得AE=EC=ED=， ∴△EAC的面积S==3， 在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F， 则AE=，AF==， 则EF=， ∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==， 故该三棱锥的侧面积为3+2． 【点评】本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式． 　 19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． （xi﹣）2 （wi﹣）2 （xi﹣）（yi﹣） （wi﹣）（yi﹣） 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中wi=i，= （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣． 【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出， （Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决； （Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可， （ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出． 【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型； （Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68， =﹣=563﹣68×6.8=100.6， 所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w， 因此y关于x的回归方程为=100.6+68， （Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6， 年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32， （ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12， 当==6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大． 【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题． 　 20．（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N两点． （1）求k的取值范围； （2）若•=12，其中O为坐标原点，求|MN|． 【分析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围． （2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解． 【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在， 设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0． 由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1． 故由＜1， 故当＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点． （2）设M（x1，y1）；N（x2，y2）， 由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1， 可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0， ∴x1+x2=，x1•x2=， ∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1 =•k2+k•+1=， 由•=x1•x2+y1•y2==12，解得 k=1， 故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0． 圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径． 所以|MN|=2． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力． 　 21．（12分）设函数f（x）=e2x﹣alnx． （Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数； （Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln． 【分析】（Ⅰ）先求导，在分类讨论，当a≤0时，当a＞0时，根据零点存在定理，即可求出； （Ⅱ）设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，根据函数f（x）的单调性得到函数的最小值f（x0），只要最小值大于2a+aln，问题得以证明． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e2x﹣alnx的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）=2e2x﹣． 当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f′（x）没有零点， 当a＞0时，∵y=e2x为单调递增，y=﹣单调递增， ∴f′（x）在（0，+∞）单调递增， 又f′（a）＞0， 假设存在b满足0＜b＜ln时，且b＜，f′（b）＜0， 故当a＞0时，导函数f′（x）存在唯一的零点， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0， 当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0， 当x∈（x0+∞）时，f′（x）＞0， 故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0+∞）单调递增， 所欲当x=x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0）， 由于﹣=0， 所以f（x0）=+2ax0+aln≥2a+aln． 故当a＞0时，f（x）≥2a+aln． 【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题． 　 四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】 22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E． （Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； （Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小． 【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线； （Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度． 【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB， 在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE， 连接OE，则∠OBE=∠OEB， 又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线； （Ⅱ）设CE=1，AE=x， 由已知得AB=2，BE=， 由射影定理可得AE2=CE•BE， ∴x2=，即x4+x2﹣12=0， 解方程可得x= ∴∠ACB=60° 【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题． 　 五、【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程； （Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积． 【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程． （Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值． 【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ=﹣2， 故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为： （ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1， 化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0． （Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入 圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1， 可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0， 求得ρ1=2，ρ2=， ∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N， △C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=． 【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题． 　 六、【选修4-5：不等式选讲】 24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集； （Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1， 即①，或②， 或③． 解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2． 综上可得，原不等式的解集为（，2）． （Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=， 由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0）， B（2a+1，0）， 故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1）， 由△ABC的面积大于6， 可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2． 故要求的a的范围为（2，+∞）． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 第27页（共27页）