2015年浙江省高考数学试卷（文科）.doc

2015年浙江省高考数学试卷（文科） 　 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（　　） A．[3，4） B．（2，3] C．（﹣1，2） D．（﹣1，3] 2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　） A．8cm3 B．12cm3 C． D． 3．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　） A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m 5．（5分）函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　） A． B． C． D． 6．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（　　） A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz 7．（5分）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（　　） A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 8．（5分）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．则（　　） A．若t确定，则b2唯一确定 B．若t确定，则a2+2a唯一确定 C．若t确定，则sin唯一确定 D．若t确定，则a2+a唯一确定 　 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 9．（6分）计算：log2=　 　，2=　 　． 10．（6分）已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=　 　，d=　 　． 11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是　 　，最小值是　 　． 12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=　 　，f（x）的最小值是　 　． 13．（4分）已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||=　 　． 14．（4分）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是　 　． 15．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　 　． 　 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积． 17．（15分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*） （Ⅰ）求an与bn； （Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn． 18．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点． （Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC； （Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值． 19．（15分）如图，已知抛物线C1：y=x2，圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点． （Ⅰ）求点A，B的坐标； （Ⅱ）求△PAB的面积． 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点． 20．（15分）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）． （Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式． （Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围． 　 2015年浙江省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（　　） A．[3，4） B．（2，3] C．（﹣1，2） D．（﹣1，3] 【分析】求出集合P，然后求解交集即可． 【解答】解：集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1或x≥3}， Q={x|2＜x＜4}， 则P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）． 故选：A． 【点评】本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力． 　 2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　） A．8cm3 B．12cm3 C． D． 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可． 【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥， 所求几何体的体积为：23+×2×2×2=． 故选：C． 【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力． 　 3．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可． 【解答】解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立． 如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立， 所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查． 　 4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　） A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m 【分析】A根据线面垂直的判定定理得出A正确； B根据面面垂直的性质判断B错误； C根据面面平行的判断定理得出C错误； D根据面面平行的性质判断D错误． 【解答】解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确； 对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误； 对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误； 对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误． 故选：A． 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目． 　 5．（5分）函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x趋向于0时，f（x）＞0，结合所给的选项，得出结论． 【解答】解：对于函数f（x）=﹣（﹣x）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称， 且满足f（﹣x）=﹣（﹣+x）cosx=（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称． 故排除A、B． 当x=π，f（x）＞0，故排除D， 但是当x趋向于0时，f（x）＞0， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题． 　 6．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（　　） A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz 【分析】作差法逐个选项比较大小可得． 【解答】解：∵x＜y＜z且a＜b＜c， ∴ax+by+cz﹣（az+by+cx） =a（x﹣z）+c（z﹣x） =（x﹣z）（a﹣c）＞0， ∴ax+by+cz＞az+by+cx； 同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz） =b（z﹣x）+c（x﹣z） =（z﹣x）（b﹣c）＜0， ∴ay+bz+cx＜ay+bx+cz； 同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx） =a（z﹣y）+b（y﹣z） =（z﹣y）（a﹣b）＜0， ∴az+by+cx＜ay+bz+cx， ∴最低费用为az+by+cx 故选：B． 【点评】本题考查函数的最值，涉及作差法比较不等式的大小，属中档题． 　 7．（5分）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（　　） A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 【分析】根据题意，∠PAB=30°为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧面与平面α的交线，则答案可求． 【解答】解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线． 此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上， 再由斜线段AB与平面α所成的角为60°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义． 故可知动点P的轨迹是椭圆． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 　 8．（5分）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．则（　　） A．若t确定，则b2唯一确定 B．若t确定，则a2+2a唯一确定 C．若t确定，则sin唯一确定 D．若t确定，则a2+a唯一确定 【分析】根据代数式得出a2+2a=t2﹣1，sin2b=t2，运用条件，结合三角函数可判断答案． 【解答】解：∵实数a，b，t满足|a+1|=t， ∴（a+1）2=t2， a2+2a=t2﹣1， t确定，则t2﹣1为定值． sin2b=t2， A，C不正确， ∴若t确定，则a2+2a唯一确定， 故选：B． 【点评】本题考查了命题的判断真假，属于容易题，关键是得出a2+2a=t2﹣1，即可判断． 　 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 9．（6分）计算：log2=　　，2=　　． 【分析】直接利用对数运算法则化简求值即可． 【解答】解：log2=log2=﹣； 2===3． 故答案为：；． 【点评】本题考查对数的运算法则的应用，基本知识的考查． 　 10．（6分）已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=　　，d=　﹣1　． 【分析】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣a1，再由条件2a1+a2=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差． 【解答】解：由a2，a3，a7成等比数列， 则a32=a2a7， 即有（a1+2d）2=（a1+d）（a1+6d）， 即2d2+3a1d=0， 由公差d不为零， 则d=﹣a1， 又2a1+a2=1， 即有2a1+a1+d=1， 即3a1﹣a1=1， 解得a1=，d=﹣1． 故答案为：，﹣1． 【点评】本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用． 　 11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是　π　，最小值是　　． 【分析】由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值． 【解答】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1 =+sin2x+1 =sin（2x﹣）+． ∴最小正周期T=，最小值为：． 故答案为：π，． 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查． 　 12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=　　，f（x）的最小值是　2﹣6　． 【分析】由分段函数的特点易得f（f（﹣2））=的值；分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值，比较可得． 【解答】解：由题意可得f（﹣2）=（﹣2）2=4， ∴f（f（﹣2））=f（4）=4+﹣6=﹣； ∵当x≤1时，f（x）=x2， 由二次函数可知当x=0时，函数取最小值0； 当x＞1时，f（x）=x+﹣6， 由基本不等式可得f（x）=x+﹣6≥2﹣6=2﹣6， 当且仅当x=即x=时取到等号，即此时函数取最小值2﹣6； ∵2﹣6＜0，∴f（x）的最小值为2﹣6 故答案为：﹣；2﹣6 【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题． 　 13．（4分）已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||=　　． 【分析】根据数量积得出1，2夹角为60°，＜，1＞=＜，2＞=30°，运用数量积的定义判断求解即可． 【解答】解：∵1，2是平面单位向量，且1•2=， ∴1，2夹角为60°， ∵向量满足•1=•=1 ∴与1，2夹角相等，且为锐角， ∴应该在1，2夹角的平分线上， 即＜，1＞=＜，2＞=30°， ||×1×cos30°=1， ∴||= 故答案为： 【点评】本题简单的考查了平面向量的运算，数量积的定义，几何图形的运用，属于容易题，关键是判断夹角即可． 　 14．（4分）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是　15　． 【分析】由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值． 【解答】解：如图， 由x2+y2≤1， 可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0， 则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10， 令z=﹣3x﹣4y+10，得， 如图， 要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线在y轴上的截距最小， 由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0． 则，即z=15或z=5． 由题意可得z的最大值为15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题． 　 15．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　　． 【分析】设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可． 【解答】解：设Q（m，n），由题意可得， 由①②可得：m=，n=，代入③可得：， 可得，4e6+e2﹣1=0． 即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0， 可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0 解得e=． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力． 　 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积． 【分析】（Ⅰ）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解． （Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA，cosA．又由正弦定理可得b，由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC，利用三角形面积公式即可得解． 【解答】解：（Ⅰ）由tan（+A）=2．可得tanA=， 所以==． （Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA=，cosA=． 又由a=3，B=及正弦定理，可得b=3， 由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC=． 设△ABC的面积为S，则S=absinC=9． 【点评】本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用，同时考查了运算求解能力，属于中档题． 　 17．（15分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*） （Ⅰ）求an与bn； （Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn． 【分析】（Ⅰ）直接由a1=2，an+1=2an，可得数列{an}为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式； 再由b1=1，b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1，取n=1求得b2=2，当n≥2时，得另一递推式，作差得到，整理得数列{}为常数列，由此可得{bn}的通项公式； （Ⅱ）求出，然后利用错位相减法求数列{anbn}的前n项和为Tn． 【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得． 由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2， 当n≥2时，b1+b2+b3+…+=bn﹣1，和原递推式作差得， ，整理得：， ∴； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 因此 ， 两式作差得：， （n∈N*）． 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题． 　 18．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点． （Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC； （Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值． 【分析】（I）连接AO，A1D，根据几何体的性质得出A1O⊥A1D，A1D⊥BC，利用直线平面的垂直定理判断． （II）利用空间向量的垂直得出平面BB1C1C的法向量=（，0，1），|根据与数量积求解余弦值，即可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值． 【解答】证明：（I）∵AB=AC=2，D是B1C1的中点． ∴A1D⊥B1C1， ∵BC∥B1C1， ∴A1D⊥BC， ∵A1O⊥面ABC，A1D∥AO， ∴A1O⊥AO，A1O⊥BC ∵BC∩AO=O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC ∴A1D⊥平面A1BC 解：（II） 建立坐标系如图 ∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4 ∴O（0，0，0），B（0，，0），B1（﹣，，），A1（0，0，） 即=（0，，﹣），=（0，，0），=（，0，）， 设平面BB1C1C的法向量为=（x，y，z）， 即得出 得出=（，0，1），||=4，||= ∵=， ∴cos＜，＞==， 可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为 【点评】本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，空间想象能力，计算能力，属于中档题． 　 19．（15分）如图，已知抛物线C1：y=x2，圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点． （Ⅰ）求点A，B的坐标； （Ⅱ）求△PAB的面积． 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点． 【分析】（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4kt=0，利用△=0，解得k=t，可得A坐标．圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD对称，可得，解得B坐标． （II）由（I）可得：（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，可得点P到直线AB的距离d，又|AB|=．即可得出S△PAB=． 【解答】解：（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），联立， 化为x2﹣4kx+4kt=0， ∵△=16k2﹣16kt=0，解得k=t， ∴x=2t，∴A（2t，t2）． 圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD对称， ∴，解得． ∴B． （II）由（I）可得：kAB==，直线AB的方程为：y﹣t2=，化为（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0， ∴点P到直线AB的距离d===t， 又|AB|==t2． ∴S△PAB==． 【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题． 　 20．（15分）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）． （Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式． （Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值； （Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，得到s的不等式，讨论t的范围，得到st的范围，由分式函数的值域，即可得到所求b的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当b=+1时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为x=﹣， 当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递减，则g（a）=f（1）=+a+2； 当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f（﹣）=1； 当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递增，则g（a）=f（﹣1）=﹣a+2． 综上可得，g（a）=； （Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1， 则， 由于0≤b﹣2a≤1， 由此≤s≤（﹣1≤t≤1）， 当0≤t≤1时，≤st≤， 由﹣≤≤0，由=9﹣[（2（t+2）+]≤9﹣2， 得﹣≤≤9﹣4， 所以﹣≤b≤9﹣4； 当﹣1≤t＜0时，≤st≤， 由于﹣2≤＜0和﹣3≤＜0，所以﹣3≤b＜0， 故b的取值范围是[﹣3，9﹣4]． 【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法，属于中档题． 　 第21页（共21页）