1_10.2　二项式定理.pptx

高考数学,专题十计数原理10.2二项式定理,考点二项式定理1.二项式定理(a+b)n=an+an-1b1+an-kbk+bn(nN*).这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,(k=0,1,2,n)叫做二项式系数.二项展开式中的an-kbk叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即通项为展开式的第k+1项:Tk+1=an-kbk.2.(a+b)n的展开式的特点1)项数为n+1.2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数之和为n.3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项增1直到n.,4)二项式系数从,一直到,.3.二项式系数的性质1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=.2)增减性与最大值:对于二项式系数(k=0,1,2,n),当k时,二项式系数是递减的.当n是偶数时,二项展开式的中间一项的二项式系数最大,即最大的二项式系数为;当n是奇数时,二项展开式的中间两项的二项式系数最大,即最大的二项式系数为和.,3)二项式系数的和(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n,即+=2n.二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即+=+=2n-1.,考法一求二项展开式中的特定项或特定项的系数求二项展开式中指定项或指定项的系数,通常是根据已知条件,利用通项求k,再求Tk+1或Tk+1的系数,有时还需先求幂指数n,再求k,才能求出Tk+1或Tk+1的系数.,例1(2022江苏常州高级中学模拟)(x2-x+1)(x-1)5的展开式中x4的系数为()A.-25B.25C.-5D.5,解析(x2-x+1)(x-1)5=x2(x-1)5-x(x-1)5+(x-1)5,(x-1)5的展开式的通项为Tk+1=x5-k(-1)k=(-1)kx5-k,k=0,1,2,5,令k=3,得(-1)3x2=-10 x2,则x2(-10 x2)=-10 x4;令k=2,得(-1)2x3=10 x3,则-x(10 x3)=-10 x4;令k=1,得(-1)x4=-5x4,(x2-x+1)(x-1)5的展开式中x4的系数为(-10)+(-10)+(-5)=-25.故选A.,答案A,考法二二项式系数的和与各项的系数和1.对于形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR)的式子,求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对于形如(ax+by)n(a,bR)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.2.一般地,对于(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+anxn,令f(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+=.,例2(多选)(2022南京天印高级中学模拟,10)的展开式中,下列结论正确的是()A.展开式共6项B.常数项为160C.所有项的系数之和为729D.所有项的二项式系数之和为64,解析因为的展开式的项数是7,故A不正确;的展开式的通项为Tk+1=x6-k=2kx6-2k,令6-2k=0,得k=3,则常数项为23=160,故B正确;对于,令x=1,可得=36=729,即的展开式的所有项的系数之和为729,故C正确;所有项的二项式系数之和为26=64,故D正确.故选BCD.,答案BCD,例3(2022广州三模,13)若x8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a8(x+1)8,则a3=.,解析由题意可知x8=(x+1)-18,(x+1)-18的展开式的通项为Tk+1=(x+1)8-k(-1)k,由x8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a8(x+1)8,得出所求对应的项是a3(x+1)3.令8-k=3,得k=5,所以a3=(-1)5=-56.,答案-56,例4(2023届长沙雅礼中学月考,14)若(1-2x)2 022=a0+a1x+a2x2+a2 022x2 022,则+的值为.,解析令x=0,得a0=1;令x=,得a0+=0,所以+=-1.,答案-1,例5(2022浙江,12,6分)已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=,a1+a2+a3+a4+a5=.,解析由(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,知含x2的项是由x+2中的x和2分别与(x-1)4的展开式中含x和x2的项相乘后再相加得到的,所以a2=(-1)3+2(-1)2=8.对于(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=0,得a0=2(-1)4=2;令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.,答案8-2,