高考数学专题八立体几何8.5空间角与距离、空间向量及其应用基础篇考点一用向量法证明空间中的平行和垂直设直线l,l1,l2的方向向量分别为v,v1,v2,平面α和平面β的法向量分别为m,n.1.l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2;l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2=0.2.与平面α共面的两个不共线向量分别为a和b,则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x,y,使v=xa+yb.3.l∥α或l⊂α⇔v⊥m;l⊥α⇔v∥m.4.α∥β⇔m∥n;α⊥β⇔m⊥n⇔m·n=0.考点二空间角和空间距离1.用向量法求空间角1)线面所成角公式:设l为平面α的斜线,a为l的方向向量,n为平面α的法向量,θ为l与α所成的角,则sinθ=|cos
|=.2)二面角公式:设n1、n2分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则θ=或θ=π-(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cos=.2.用向量法求空间距离1)点面距离:已知平面α外一点B(x0,y0,z0),平面α内一点A(x1,y1,z1),平面α||||||anan1212||||nnnn||||BAnn注意:线面、面面距离均可转化为点到平面的距离,用点到平面的距离公式求解.2)两点间的距离:已知点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B两点间的距离为||=.AB222212121()()()xxyyzz综合篇考法一求解直线与平面所成角的方法1.定义法1)作:在斜线上选取恰当的点,过该点向平面引垂线,作出所求角,其中确定垂足的位置是关键;2)证:证明所作的角为直线与平面所成的角;3)求:构造角所在的三角形,利用解三角形的知识求角.2.公式法sinθ=(其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面α的距离,l为该点到斜足的距离,θ为斜线与平面α所成的角).hl3.向量法sinθ=|cos<,n>|=(其中AB为平面α的斜线,n为平面α的法向量,θAB||||||ABnABn为斜线与平面α所成的角).例1(2021浙江,19,15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=120°,AB=1,BC=4,PA=,M,N分别为BC,PC的中点,PD⊥DC,PM⊥MD.(1)证明:AB⊥PM;(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.15解析(1)证明:在△CDM中,DC=1,MC=2,∠DCM=60°,则DM=,所以CD⊥DM.又因为CD⊥PD,所以CD⊥平面PDM.因此CD⊥PM.又因为AB∥CD,所以AB⊥PM.(2)解法一(定义法):连接AC交DM于点E,过E作EF∥AN交PC于点F,过点F作FH∥CD,交PD于H,连接HE.由(1)知CD⊥平面PDM,所以FH⊥平面PDM.故∠FEH是直线AN与平面PDM所成的角.由(1)知PM⊥CD,又已知PM⊥MD,所以PM⊥平面ABCD.连接AM,在平行四边形ABCD中,AM=,AC=.在直角△PMA中,由PA=,AM=得PM=2.在直角△PMC中,由PM=2,MC=2得PC=2.在△PAC中,由PA=,P...
